Universiteti olmaliq filiali oliy matematika


Download 0.69 Mb.
Pdf ko'rish
Sana11.11.2021
Hajmi0.69 Mb.


ISLOM KARIMOV NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT TEXNIKA 

UNIVERSITETI OLMALIQ FILIALI 

 

 

 

 

 “OLIY MATEMATIKA 



 (SIRTQI BO’LIM UCHUN)” 

fanidan 

 

MUSTAQIL



 

ISH

 

Variant№2 

 

 



Bajardi: 7 bs - guruh talabasi 

Abdurasulov Abduazim

 

 

 



 

Toshkent 2020 


Matritsalar va ular ustida amallar. Teskari matritsa. 

 

 

Sonlarning m ta satr va n ta ustundan tashkil topgan to‘g‘ri to‘rtburchakli 

 

 

 



 

 

 



 

 

jadvaliga m x n o‘lchamli matritsa deyiladi, bu yerda a



ij

 (i =1,m, j =1,n)-matritsaning i–

satr va j –ustunda joylashgan elementi. 

   1 x n o‘lchamli matritsa satr matritsa yoki satr-vektor, m x 1 o‘lchamli matritsa ustun 



matritsa yoki ustun-vektor deb ataladi. 

    n x n o‘lchamli maritsaga n - tartibli kvadrat matritsa deyiladi. Bosh diagonalidan bir 

tomonda yotuvchi barcha elementlari nolga teng bo‘lgan kvadrat matritsaga uchburchak 

matritsa  deyiladi.  Bosh  diagonali  elementlaridan  boshqa  barcha  elementlari  nolga  teng 

bo‘lgan  kvadrat  matritsaga  diagonal  matritsa  deyiladi.  Barcha  elementlari  birga  teng 

bo‘lgan diagonal matritsa birlik matritsa deb ataladi va E bilan belgilanadi. 

   Barcha  elementlari  nolga  teng  bo‘lgan  matritsaga  nol  matritsa  deyiladi  va  Q  bilan 

belgilanadi. 

    n - tartibli kvadrat matritsaning determinanti det A yoki | A| kabi belgilanadi. Bunda agar 



det A - 0 bo‘lsa, A maxsusmas (yoki xosmas) matritsa, agar det A - 0 bo‘lsa, A maxsus (yoki 

xos) matritsa deb ataladi. 

    A matritsada barcha satrlarni mos ustunlar bilan almashtirish natijasida hosil qilingan A* 

matritsaga  A  matritsaning  transponirlangan  matritsasi  deyiladi.  Bunda  A  =  A*  bo‘lsa  A 



simmetrik matritsa bo‘ladi. 

   Bir xil o‘lchamli A = (a



ij

va  B = (b

ij

) matritsalarning barcha mos elementlari teng, ya’ni 

a

ij

 = b

ij

 bo‘lsa bu matritsalarga teng matritsalar deyiladi va A = B deb yoziladi. 

   Bir xil o‘lchamli A = (a

ij

va B = (b

ij

) matritsalarning yig‘indisi deb, c

ij

 = a

ij

 + b

ij

 kabi 


aniqlanadigan shu o‘lchamdagi C = A+ B matritsaga aytiladi. 

   A  =  (a



ij

)  matritsaning 

𝜆  =  0  songa  ko‘paytmasi  deb,  elementlari  c



ij

  = 

𝜆a



ij

  kabi 


aniqlanadigan shu o‘lchamdagi C = 

𝜆 A matritsaga aytiladi. 



    -A = (-1)* A matritsa A matritsaga qarama-qarshi matritsa deb ataladi.  Bir xil o‘lchamli 

A = (a

ij

) va B = (b

ij

) matritsalarning ayirmasi A - B = A + (-B) kabi topiladi. 

   Matritsalarni qo‘shish  va ayirish amallari bir xil o‘lchamli  matritsalar uchun kiritiladi. 

Misol koramiz 

 

 



 matritsalar berilgan. 3A - 2B matritsani toping. 

 



Matritsani songa ko‘paytirish va matritsalarni qo‘shish ta’riflari asosida topamiz: 

 

 



 

 

 



 

 

m x p o‘lchamli A = (a



ij

)matritsaning p x n o‘lchamli B = (b

jk

) matritsaga ko‘paytmasi deb, 

elementlari c



ik

 = a

i1

b

1k

 + a

i2

b

2k

 + … + a

ik

b

ik

(qo‘shiluvchlari quyidagi sxemada keltirilgan) 

kabi aniqlanadigan mxn o‘lchamli C = AB matritsaga aytiladi. 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

 

 

Ikki  matritsani  ko‘paytirish  amali  1-matritsaning  ustunlari  soni  2  -matritsaning  satrlari 

soniga teng bo‘lgan holda kiritiladi. 

 

AB ko’paytmani topamiz. 



 

 

 



 

 

 



Yuqorida keltirilgan sxema asosida topamiz: 

 

 



 

 

 



 

 

 


 

 

 

 

 

Bir xil tartibli A va B kvadrat matritsalar uchun AB va BA ko‘paytmalarni topish mumkin. 

Bunda AB = BA bo‘lsa A va B kommutativ matritsalar deb ataladi. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Endi esa matritsaning teskari matritsasini topishni ko’rib chiqamiz. 

Ushbu 


𝐴 kvadrat matritsani qaraylik: 

 

 



Agar 

 

                                                                                                                                                                                                



bo’lsa, 𝐵 matritsa 𝐴 matritsa uchun teskari matritsa deb ataladi. 

    


𝐴 matritsaga teskari matrisani 𝐴

-1

 kabi belgilanadi. 



   1-teorema.  Agar 

𝐴  matritsa  xos,  ya’ni  𝑑𝑒𝑡𝐴  =  0  bo’lsa,  u  holda  𝐴

-1

  teskari  matritsa 



mavjud emas. 

   Isbot. 

𝐴 matritsa uchun 𝐴𝐵 = 𝐸 bo’ladigan 𝐵 matritsa mavjud deb faraz qilaylik. U holda 

det 

𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. Ushbu xossaga asosan: 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. Biroq, 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0 , 



𝑑𝑒𝑡𝐸 ≠0 ekanligini hisobga olsak, 0=1 ni hosil qilamiz. Bu ziddiyat teoremani isbot qiladi. 

   2-teorema.  Agar 

𝐴  matritsa  xosmas,  ya’ni  𝑑𝑒𝑡𝐴  ≠0  bo’lsa,  uholda  uning  uchun  𝐴

-1

 

teskari matritsa mavjud. 



   Isbot. (1) matritsaning determinantini ∆ orqali ifodalaymiz: 

 

   Bu  determinantni 



𝑎

𝑖𝑗

  elementining  algebraik  to’ldiruvchisi 



𝐴

𝑖𝑗

  orqali  ifodalaymiz. 



𝐴

𝑖𝑗

 



algebraik to’ldiruvchilardan yangi Ã matritsa tuzamiz. 

 

 



 

 

 



 

 



Bu matritsa 

𝐴 matritsaga biriktirilgan matritsa deb ataladi. 

Bu  matritsaning  barcha  elementlarini 

𝑑𝑒𝑡𝐴  =  ∆  ga  bo’lamiz.  U  holda  𝐵  matritsa  hosil 

bo’ladi: 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Bu  matritsa 

𝐴  matritsaga  teskari  matritsa  bo’ladi.  𝐵  matritsa  𝐴  matritsa  uchun  teskari 

matritsadir, ya’ni 𝐵 = 𝐴

−1 




   3-teorema. Agar 

𝐴 matritsa xosmas bo’lsa, u holda 𝐴

−1

 matritsa yagonadir. 



Shunday qilib, berilgan 

𝐴 matritsaga teskari 𝐴

−1

 matritsani 



hosil qilish uchun quyidagi ishlarni amalga oshirish zarur: 

1. 


𝑑𝑒𝑡𝐴 = ∆ ni hisoblash. 

2.  Agar  ∆≠0  bo’lsa  𝑑𝑒𝑡𝐴  ning  barcha  elementlari  uchun  algebraik  to’ldiruvchilardan 

tuzilgan 

𝐴 biriktirilgan matritsani (4) formulada ko’rsatilgandek tuzish. 

3. Bu matritsaning barcha elementlarini ∆= 𝑑𝑒𝑡𝐴 ga bo’lish. 

 

   1-misol. Ushbu 

 

 

 



 

 

 



matritsa uchun teskari matritsa tuzamiz. 

 

Yechish. Avval 

𝑑𝑒𝑡𝐴 ni topamiz: 

 

 



 

 

 



 

 

Matritsa barcha elementlarining algebraik to’ldiruvchilarini hisoblaymiz: 




 

 

A matritsaga biriktirilgan 



àmatritsa bunday bo’ladi. 

 

 



 

 

 



 

 

 



àmatritsaning hamma elementlarini ∆= 3 ga bo’lsak, teskari𝐴

−1

 matritsani hosil qilamiz. 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Teskari matritsaning ikkita xossasini keltiramiz: 



 

 

 



 

 

 



 

 

 




Xulosa: 

   Men ushbu mustaqil ishni tayyorlash mobaynida, matritsa haqidagi bilimlarimni yanada 

yaxshilab oldim va ular ustida amallar bajarib, ularni isbotladim. Shuningdek matritsaga 

teskari matritsa topish ketma-ketligini ko’rib chiqib, u haqida bilim va ko’nikmalarga ega 

bo’ldim. 

 

Foydalanilgan adabiyotlar: 

1.  Sh.R. Xurramov. Oliy matematika (masalalar to‘plami,nazorat topshiriqlari). Oliy 

ta’lim  muassasalari  uchuno‘quv  qo‘llanma.  1-qism.  –T.:  «Fan  va 

texnologiya»,2015, 408 bet. 

2.  Internet manbalari. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Download 0.69 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling