Universiteti qoshidagi sobir rahimov akademik litseyi
Download 1.49 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Y + U – Q = 2
- Fazoviy jismlarning sonli xususiyatlari
| O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O'RTA MAHSUS TA'LIM VAZIRLIGI MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI QOSHIDAGI SOBIR RAHIMOV AKADEMIK LITSEYI
Tasdiqlayman O’quv ishlari bo’yicha direktor o’rinbosari _________Sodiqova D.
Stereometriya bo’limi
TOSHKENT-2010 2 MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI QOSHIDAGI SOBIR RAHIMOV AKADEMIK LITSEYI Har bir jamiyatning kelajagi uning ajralmas qismi bo’lganta’lim tizimiining qay darajada rivojlanganligi bilanbelgilanadi.Og’irijtimoiy,iqtisodiy siyosiy qiyinchiliklarni yengib o’tish , taraqqiyot yo’liga kirgan mamlakatimizda ta’lim tizimini isloh qilish, unga rivojlangan mamlakatlarning ilg’or texnologiyalarini joriy qilish, milliy qadriyatlarimizni singdirgan holda ta’limni tashkil etish, bu jarayonni puxta va samarali amajga oshirish ishlaribugungi kunda davlat siyosati darajasiga ko’tarildi.Bu borada 1997-yil tarixiy hujjat Respublikamizda ―Ta’lim to’g’risida‖gi qonun va ―Kadrlar tayyorlash milliy‖ dasturi qabul qilindiki ,ular mamlakatimizda uzluksiz ta’lim tizimini isloh qilishning tashkiliy,ilmiy va metodik asosi bo’lib , asosiy maqsadiKomil inson va yetuk , malakali mutaxxasislar tayyorlashdir. ―Kadrlar tayyorlash milliy dasturi ‖ning asosiy tarkibiy qismlarini shaxs ,davlat va jamiyat, uzluksiz ta’lim , fan va ishlab chiqarish tashkil etib, ular o’zarobog’liq holda namoyon bo’ladi.
"Ta'lim to'g'risida"gi qonunni amalga oshirish yo’lida Vazirlar Mahkamasining qator qarorlari chiqarildiki, ularning har biri ta’lim sohasidagi islohatlarning muhim tomonlariga hamda uning mazmunini takomillashtirishga bag'ishlangan. Ta'lim to’g'risidagi islohatlarni uzluksiz ta'lim darajasida olib borish yo'lida ta'lim sohasidagi islohatlar bosqichlariga rioya qilgan holda, hozirgi kunga kelib, ta’lim tizimining barcha bosqichlarida ta'limning Davlat standartlari va shu asosda o'quv-reja va dasturlar yaratildi. Hozirgi kunda akademik litsey va kollejlarda ushbu davlat ta'lim standartlari bo'yicha o ’ qish olib borilmoqda. Ushbu "Ma'ruzalar matni" davlat ta'lim standartlariga ko'ra tuzilgan bo'lib, undan akademik litsey va kasb-hunar kollejlarida geometriya fanidan foydalanish mumkin.
Tuzuvchi: Matematika fani o’qituvchilari D.X.Akbarova Z.M.To’laganova
3
Mavzu: Stereometriya boshlang’ich tushunchalari. Stereometriya aksiomalari
Режа: 1.
Fazodagi geometriya. 2.
Stereometriya aksiomalari. 3.
Stereometriya aksiomalaridan kelib chiqadigan teoremalar. 4.
Fazoviy jismlar. 5.
Fazoviy jismlarning sonli xususiyatlari. Biz fazodagi geometriyani o'rganishga kirishamiz. U ko ’ p manbalarda stereometriya deb ataladi. Stereometriya, ya'ni fazodagi geometriyani o'rganishni biz uning aksiomalaridan boshiaymiz: S 1 . Tekislik qanday bo'lishidan qat'iy nazar, unga tegishli va unga tegishli bo'lmagan nuqtalar mavjud. S 2 . Agar ikkita har xil tckislik umumiy nuqtaga ega bo'lsa, bu tekisliklar shu nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq bo’yicya kesishadi. S 3
Yuqorida keltirilgan aksiomalar yordamida ba'zi teoremalarni isbotlaymiz. 1 – t e o r e m a. Agar to'g’ri chiziqning ikkita nuqtasi tekislikka tegishli bo'lsa, to'g'ri chiziq shu tekislikda yotadi. I s b o t i. To'g'ri chiziqning B va C nuqtalari tekislikda yotsin (1- chizma). U holda S 1 aksiomaga ko'ra
Bitta to'g'ri chiziqda yotmagan A, B, C nuqtalardan, S 3 aksiomaga ko'ra, yagona tekislik o'tkazish mumkin. Modomiki, A ekan, va har xil tekisliklardir. Lekin va
tekisliklar umumiy C nuqtaga ega, shu sababli S 2 aksiomaga ko'ra, ular C nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'yicha kesishadi. Ikkinchi tomondan, va tekisliklar umumiy B nuqtaga ega, shu sababli ular B nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. Shunday qilib, va tekisliklar B va C nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi, lekin B va C nuqtalar b to'g'ri chiziqda yotadi. Modomiki, ikkita har xil B v a C nuqtadan yagona to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin ekan, va tekisliklar B v a C nuqtalar yotgan b to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. Demak, BC to'g'ri chiziqning barcha nuqtalari tekislikka tegishli bo'ladi. Agar berilgan va
tekisliklar ikkita, mos ravishda, B va C nuqtalardan o'tuvchi har xil to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesishadi, deb faraz qilsak,
va tekisliklar ustma-ust tushishi lozim, bu esa yasalishiga ko'ra mumkin emas. Teorema isbotlandi. 1- chizma. 2 – t e o r e m a . Berilgan to'g’ri chiziq va unda yotmagan nuqta orqali yagona tekislik o'tkazish mumkin. I s b o t i. a — berilgan to'g'ri chiziq va C unda yotmagan berilgan nuqta bo'lsin. Berilgan a to'g'ri chiziqda (planimetriya aksiomasiga ko'ra), hech bo'lmaganda, ikkita A va B nuqta topiladi. A, B va C nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi. S 3 aksiomaga ko'ra, bitta to'g'ri chiziqda yotmagan uchta A, B va C nuqtadan yagona tekislik o'tkazish mumkin. 1- teoremaga muvofiq berilgan a to'g'ri chiziq shu tekislikda yotadi. Teorema isbotlandi. 3 – t e o r e m a. Berilgan kesishuvchi ikkita to'g'ri chiziq orqali yagona tekislik o'tkazish mumkin. I s b o t i. Berilgan a va b to'g'ri chiziqlar C nuqtada kesishsin, ya'ni a
bo'lsin. Planimetriya aksiomalariga ko'ra, a to'g'ri chiziqda, hech bo'lmaganda, yana bitta A nuqta va b to'g'ri chiziqda esa B nuqta topiladi. Bu A, B, C nuqtalar bar xil va bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi. S 3 aksiomaga ko'ra, A, B, C nuqtalar orqali yagona a tekislik o'tkazish mumkin. 1- teoremaga ko'ra a va b to'g'ri chiziqlar a tekislikda yotadi. Teorema isbotlandi. 4 Fazoviy jismlar: Stereometriyaning eng muhim obyektlari hech qanday tekislikda yotmaydigan fazoviy jismlar, masalan, shar, sfera, kub, parallelepiped, prizma, piramida, konus, silindr kabilar hisoblanadi. Geometrik jismlarning katta guruhini ko'pyoqlar tashkil qiladi. 1. Ko'pyoqlar. Sirti chekli sondagi ko'pburchaklardan iborat jism ko'pyoq deyiladi. Ko'pyoqni chegaralovchi ko'pburchaklar uning yoqlari deyiladi. Ko'pyoq qo'shni yoqlarining umumiy tomonlari uning qirralari deyiladi. Ko'pyoqning bitta nuqtada uchrashadigan yoqlari ko'p yoqli burchak tashkil qiladi va bunday ko'p yoqli burchaklarning uchlari ko'pyoqning uchlari deyiladi. Ko'pyoqning bitta yog'ida yotmagan ixtiyoriy ikkita uchini tutashtiruvchi to'g'ri chiziqlar uning diagonallan deyiladi. O'zining bar bir yog'i tekisligining bir tomonida joylashgan ko'pyoq qavariq ko'pyoq deyiladi. Masalan, prizma, kub, parallelepiped, piramida qavariq ko'pyoqlardir. Ko'pyoqning yoqlari soni Y, uchlari soni U va qirralari soni Q lar orasidagi bog'liqlik quyidagi teorema orqali beriladi. 1 – t e o r e m a (Eyler). Ixtiyoriy n yog uchun
Quyidagi jadvaldan buni yaqqol ko'rish mumkin: Ko'pyoq Y
Q Tetraedr 4 4
Parallelepiped 6 8 12 Olti burchakli prizma 8 12
18 O'n bir yoq 11 11
20 O'n ikki yoq 12 18
28 2 – t e o r e m a. Ko’pyoq tekis burchaklarining soni uning qirralari sonidan ikki marta ko'p. N a t i j a 1 a r . 1 . Ko 'pyoq tekis burchaklarining soni har doim juftdir.
3. Agar ko'pyoqning barcha yoqlari bir xil n tomonli ko 'pburchaklardan tashkil topgan bo'lsa, Y * n=2Q munosabat o 'rinli. 3 – t e o r e m a. Yoqlari soni Y va qirrralari soni Q bo'lgan ko'pyoq tekis burchaklarining yiffindisi uchun 360° (Y - Q) munosabat bajariladi. Agar ko'pyoq modelini tayyorlash talab qilinsa, u tekis ko'pburchaklarni — ko'pyoqning yoqlarini bir-biriga yopishtirish natijasida hosil qilinadi. Bunda faqat ko'pburchaklar majmuyiga ega bo’libgina qolmasdan, qaysi ko'pburchaklarni o'zaro yopishtirish zarjjrligini ham bilish lozim bo'ladi. Biror ko'pyoq yoqlariga teng ko'pburchaklar majrnuyi, qaysi tarafini, mos ravishda, yopishtirish kerakligi ko'rsatilgan holda, ko'pyoqning yoyilmasi deyiladi. Ko'pyoq berilganda uning yoyilmasini yasash mumkin. Teskari masala esa, ya'ni berilgan yoyilma bo'yicha ko'pyoqni yasash, quyidagi shartlar bajarilganda yechimga ega bo'ladi: 1) yoyilmaning bar bir tomoniga qolgan tomonlarning faqat bittasi mos ketishi; 2) agar a va (3 yoqlari umumiy A uchga ega bo'lsa, qolgan yoqlardan faqat o'sha A uchga ega bo'lganlarini tanlab olish zarur; 3) yoqlarni bir-biriga yopishtirish ketma-ketligi ko'rsatilishi mumkin bo'lishi; 4) yoyilmaning uchlari, yoqlari va qirralari soni Eyler tenglamasini qanoatlantirishi, ya'ni Y + U - Q = 2 shart bajarilishi; 5) ko'pburchaklarning yopishtiriladigan tomonlari bir xil uzunliklarga ega bo'lishi; 6) yoyilmaning har bir uchida tekis burchaklarning yig'indisi 360° dan kichik bo'lishi. Endi ko'pyoqlarning ba'zilarini qarab chiqamiz.
5
1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 kesmalar kubning yon qirralari, AB, BC, CD, DA, A l B l , B 1 C 1 , C 1 D 1, D 1 A 1 lar esa
kub asoslarining qirralari deyiladi (2- chizma). Kubning uchta yog'i kesishadigan A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1 nuqtalar uning uchlari deyiladi. Parallelepiped — barcha yoqlari parallelogrammlardan iborat ko'pyoqdir (3- chizma). Yon yoqlari to'g'ri to'rtburchaklardan iborat parallelepiped to'g'ri parallelepiped, hamma yoqlari to'g'ri to'rtburchaklardan iborat parallelepiped to'g'ri burchakli parallelepiped deyiladi. Parallelepipedning qirralari va uchlari tushunchalari kubniki kabidir.
2- chizma.
3- chizma.
4- chizma. 5- chizma. Prizma — asoslar deb ataladigan ikki yog'i parallel tekisliklarda yotuvchi, qolgan yoqlari parallelogrammlardan iborat ko'pyoqdir(4 chizma). Yon yoqlari asosga perpendikular bo'lsa, prizma to'g'ri prizma deyiladi. Asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lib, yon yoqlari to'g'ri to'rtburchaklardan iborat bo'lgan prizma
ko'pburchak bo'lib, qolgan yoqlari ketma-ket, juft-juft kesishadigan umumiy uchga ega uchburchaklar bo'lgan ko'pyoqdan iborat (5- chizma). Barcha uchburchaklar uchun umumiy S nuqta — piramidaning
uchburchaklar uning yon yoqlari, ABCDE ko'pburchak uning asosi 6- chizma deyiladi. S uchdan asosga tushirilgan SO perpendikular — piramidaning balandligi deyiladi. Agar piramidaning asosi muntazam ko'pburchak bo'lib, piramidaning SO balandligi asosining markazi orqali o'tsa, piramida muntazam piramida deyiladi. Muntazam piramida yon yog'ining balandligi uning apofemasi deyiladi. Agar piramida asosiga parallel tekislik bilan kesilsa va uning ABCA 1 B 1 C 1 qismi qaralsa (6- chizma), bu qism kesik piramida deyiladi. 6 2. Muntazam ko'pyoqlar. Agar berilgan ko'pyoq qavariq bo'lib, uning yon yoqlari o'zaro teng muntazam ko'pburchaklardan iborat bo'lsa hamda uning har bir uchida bir xil sondagi yoqlar tutashsa va uning barcha ikki yoqli burchaklari o'zaro teng bo'lsa, u muntazam ko'pyoq deyiladi. Muntazam ko'pyoqlarning besh xili mavjud bo'lib, ularning har biri o'z nomiga ega.
7- chizma. 8- chizma. Tetraedr — barcha yoqlari o'zaro teng muntazam uchburchaklardan iborat uchburchakli piramida. Kub — barcha yoqlari kvadratlardan iborat prizma. Oktaedr — barcha sakkizta yog'i o'zaro teng muntazam uchburchaklardan iborat ko'pyoqdir. Uni asoslari kvadratlardan iborat bo'lib, yon yoqlari o'zaro teng muntazam uchburchaklar bo'lgan ikkita muntazam piramidani bir-biriga birlashtirish bilan yasash mumkin.
ko'pyoqdir. 3. Aylanish jismlari. Biz planimetriyada ko'rib o'tgan to'g'ri to'rtburchak, to'g'ri burchakli uchburchaklarni bitta tomoni atrofida, yarim doirani diametri atrofida aylantirishdan hosil bo'lgan jismlar aylanish jismlari deyilad. Ularning ba'zilarini qaraymiz.
aylantirishdan hosil bo'lgan jismdan iborat (7-chizma). Aylanishda o'zgarmaydigan CD=H tomon silindrning simmetriya o'qi, AD=R tomon esa silindrning asosida yotuvchi doiraning radiusi
bo'ladigan jismdir. Bunda uning atrofida aylantirish ro'y beradigan SO — H katet (8- chizma) konusning balandligi va aylanish o'qi, OA=R katet konus asosining radiusi, AS=l gipotenuza esa konusning yasovchisi deyiladi. Agar konusning aylanish o'qi SO orqali tekislik o'tkazilsa, kesimda konusning o 'q kesimi deb ataladigan teng yonli ASB uchburchak hosil bo'ladi.
9- chizma. 10- chizma. Agar konusning S uchi orqali konusni kesuvchi tekislik o'tkazilsa, kesimda yana teng yonli uchburchak hosil qilamiz, lekin u konusning o'q kesimi bo'lmaydi. Agar konusning asosidan h < SO masofada asosga parallel tekislik o'tkazilsa, konusning asos va bu tekislik orasidagi qismi kesik konus deyiladi. Shar — yarim doiraning diametr atrofida aylanishidan hosil bo'lgan jismdan iborat. Sharni chegaralovchi sirt sfera deb ataladi (9- chizma). Agar shar diametrining K nuqtasi orqali diametrga 7 perpendikular tekislik o'tkazilsa, kesimda doira hosil bo'ladi. Bu doira sharni ikkita — AKBFA va AKBEA qismga bo'ladi, ularning bar biri shar segmenti deyiladi. Sharning ikkita AKB va COD parallel kesimi orasidagi qismi — shar qatlami deyiladi. Sferaning parallel AKB va COD kesimlar orasida joylashgan qismi — shar kamari deyiladi. Bizga AOBCA doiraviy sektor berilgan bo'lsin (10- chizma). AB vatarga perpendikular OC radius o'tkazamiz.
Doiraviy sektorning OC radius atrofida aylanishi natijasida shar sektori deb ataladigan sirt hosil bo'ladi. Fazoviy jismlarning sonli xususiyatlari: Fazoviy jisrnlaming o'ziga xos xususiyatlari ikkita skalar miqdor: l)jism sirtining yuzi va 2) jismning hajmi bilan aniqlanadi. Jism sirtining yuzini hisoblash uni tashkil etuvchi tekis shakllar: yon yoqlari, asoslari yuzlarini hisoblashga keltiriladi. Shu sababli biz tekislikda ko'rib o'tgan yuz aksiomalarini esda saqlash foydali: P l : har bir o'lchanuvchi tekis shaklning yuzi nomanfiy sondan iborat; P 2 : agar F shakl umumiy nuqtaga ega bo'lmagan ikkita F va F 2 shakllarga ajratilgan bo'lsa, uning yuzi F
Fazoviy jismlar uchun ikkinchi skalar miqdor — uning hajmi bo'lib, u berilgan jism egallab turgan fazoning sonli qismini ko'rsatadi. Tekis shaklning yuzi holidagi kabi, hajmlarni o'lchash hajm aksiomalariga asoslanadi: V 1: hap bir o'lchanayotgan F jismning V hajmi nomanfiy miqdordir, V(F}
V 2 : agar F jismni umumiy nuqtalarga ega bo'lmagan ikkita F 1 va F 2 qismga ajratish mumkin bo'lsa, F jismning hajmi uni tashkil etuvchi F 1 va F 2 jismlar hajmlari yig'indisiga teng: V(F)= V(F 1 ) + V(F 2 ) V 3 : teng jismlar teng hajmlarga ega; V 4
: to'g'ri silindrning hajmi uning asosining yuzi bilan balandligi ko'paytmasiga teng.
1. Nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik, fazolarni geometrik shakl (jism) deyish mumkinmi? 2. Aylana, kesma, konus, burchak, kublarning qaysilari tekis shakllardan iborat? 3. Berilgan l to'g'ri chiziq va a tekislik P nuqtada kesishadi. l to'g'ri chiziqning nechta nuqtasi
4. P nuqta berilgan m to'g'ri chiziq va berilgan a tekislikka ham tegishli bo'lsa, m to'g'ri chiziq va
tekislik o'zaro qanday joylashadi? 5. Agar a to'g'ri chiziq tekislikka, b to'g'ri chiziq tekislikka tegishli bo'lsa, bu to'g'ri chiziqlar bitta tekislikda yotmaydi deyish mumkinmi?
Foydalanilgan adabiyotlar
[1]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriya‖- I qism Toshkent ―O’qituvchi‖ 2004 yil [2]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriya‖- II qism Toshkent ―O’qituvchi‖ 2004 yil [3]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriyadan masalalar to’plami‖ - Toshkent ―O’qituvchi‖ 2001 yil [4]- A.V.Pogorelov ―Geometriya‖ - 7-11 sinflar uchun Toshkent ―O’qituvchi‖ 2001 yil 8
Mavzu: FAZODA IKKI TO'G'RI CHIZIQNI O’ZARO JOYLASHISHI: KESISHUVCHI VA
PARALLEL TEKISLIKLAR. IKKI TEKISLIKNING PARALLELLIK ALOMATI.
Reja:
1.
Fazodagi parallel to'g'ri chiziqlar 2.
Parallel to'g'ri chiziq va tekislik 3.
Parallel tekisliklar 4.
To'g'ri chiziqlarning parallellik alomati 5.
To'g'ri chiziq va tekislikning paralellik alomati 6.
Ikki tekislikning parallellik alomati
1- t a' r i f. Fazodagi ikkita a va b to 'g'ri chiziq bir tekislikda yotsa va kesishmasa, ular parallel to’g'ri chiziqlar deyiladi. a va b to'g'ri chiziqlarning parallelligi a // b kabi yoziladi. Tekislikda bo'lgani kabi, fazoda quyidagi teorema o'rinli. 1 – t e o r e m a. Fazoning berilgan to'g'ri chiziqda yotmagan nuqtasidan shu to'g'ri chiziqqa
I s b o t i. a — berilgan to'g'ri chiziq va M— bu to'g'ri chiziqda yotmagan nuqta bo'lsin (13 – chizma). a to'g'ri chiziq va M nuqta orqali tekislik o'tkazamiz. So'ngra tekislikda M nuqta orqali a to'g'ri chiziqqa parallel a
o'rinli. Jumladan, berilgan M nuqta orqali berilgan to'g'ri chiziqqa parallel yagona to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Haqiqatan, agar berilgan M nuqta orqali va a to'g'ri chiziqqa parallel ravishda o'tkazilgan boshqa a 2 to'g'ri chiziq mavjud deb faraz qilsak, a va a 2 to'g'ri chiziqlar orqali , tekislik o'tkazish mumkin. Ikkinchi tomondan, , tekislik a to'g'ri chiziq va M nuqta orqali o'tadi, demak, avvalgi bobda isbotlanganiga ko'ra, u tekislik bilan ustma-ust tushadi. Bundan, parallel to'g'ri chiziqlar aksiomasi bo'yicha a 1 va a 2 to'g'ri chiziqlarning ustma-ust tushishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. Bizga tekislik hamda ikkita a va b to'g'ri chiziqlar berilgan bo'lsin. a to'g'ri chiziq
tekislik bilan A nuqtada kesishsin, b to'g'ri chiziq esa tekislikda yotsin, lekin u A nuqta orqali o'tmasin (14 – chizma). a va b to'g'ri chiziqlar orqali tekislik o'tkazish mumkin emas, chunki, aks holda, b to'g'ri chiziq va A nuqta orqali ikkita har xil tekisliklar o'tkazish mumkin bo'ladi: ulardan
13- chizma. 14 – chizma. biri — a to'g'ri chiziqni kesib o'tuvchi tekislik bo'lsa, ikkinchisi esa a to'g'ri chiziq unda yotadigan tekislikdir. Sunday bo'lishi mumkin emas. Shunday qilib, fazodagi to'g'ri chiziqlar uch xil bo'lishi mumkin: 1. Kesishuvchi to'g'ri chiziqlar. 2. Parallel to'g'ri chiziqlar. 3. Parallel bo'lmagan va kesishmaydigan to'g'ri chiziqlar. 2-ta'rif. Fazodagi o'zaro parallel bo'lmagan va kesishmaydigan to'g'ri chiziqlar ayqash to’g’ri chiziqlar deyiladi. 2 – t e o r e m a (to'g'ri chiziqlarning parallellik alomati). Uchinchi to’g’ri chiziqqa parallel ikkita to’g’ri chiziq o'zaro paralleldir. 9 I s b o t i. Faraz qilaylik, b a va c b bo'lsin. c a bo'lishini isbotlaymiz. a va c to'g'ri chiziqlar o'zaro kesishmaydi, chunki, aks holda, a va c to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasi orqali bitta b to'g'ri chiziqning o'ziga parallel ikkita har xil a va c to'g'ri chiziq o'tishi kerak edi, lekin bunday bo'lishi mumkin emas. a va c to'g'ri chiziqlar ayqash bo'lsin, deb faraz qilaylik. Parallel a va b to'g'ri chiziqlar orqali
tekislik, parallel b va c to'g'ri chiziqlar orqali esa tekislik o'tkazamiz (15-chizma). a to'g'ri chiziq va c to'g'ri chiziqning biror C nuqtasi orqali tekislik o'tkazamiz. va
tekisliklarning kesishish chizig'i m to'g'ri chiziq bo'lsin. U holda b, c, m to'g'ri chiziqlar bitta a tekislikda yotadi, bunda c\\b bo'ladi. Shu sababli c to'g'ri chiziq bilan kesishuvchi m to'g'ri chiziq, unga parallel b to'g'ri chiziqni biror P nuqtada kesib o'tishi lozim. m va b to'g'ri chiziqlar, mos ravishda, va tekisliklarda yotadi. Shu sababli ular uchun umumiy P nuqta ularning kesishish chizig'i bo'lgan a to'g'ri chiziqda yotadi. Lekin bunda a va b to'g'ri chiziqlar, teoremaning shartiga zid ravishda, umumiy P nuqtaga ega bo'ladi. Demak, a va c to'g'ri chiziqlar kesishuvchi ham, ayqash ham bo'lishi mumkin emas, ular faqat parallel bo'ladi, ya'ni a // c . Teorema isbotlandi. Bitta to'g'ri chiziqda yoki parallel to'g'ri chiziqlarda yotuvchi ikkita va undan ko'p kesmalar
M a s a 1 a . Agar ikki parallel to'g'ri chiziqning biri tekislikni kesib o'tsa, ikkinchisi ham shu tekislikni kesib o'tadi.
15-chizma. 16- chizma. Y c c h i 1 i s h i. b a bo ’ lib, a to'g'ri chiziq tekislikni A nuqtada kesib o'tsin (16- chizma). Ikkita parallel a va b to'g'ri chiziq orqali yagona tekislik o'tkazish mumkin. va
tekisliklar umumiy A nuqtaga ega, shu sababli ular, S
tekislikda c to'g'ri chiziq parallel to'g'ri chiziqlardan birini — a to'g'ri chiziqni A nuqtada kesib o'tadi. Demak, c to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziqni ham B nuqtada kesib o'tadi. Modomiki, AB to'g'ri chiziqning A va S nuqtalari tekislikda yotgan ekan, AB to'g'ri chiziqning o'zi ham tekislikda yotadi. Shuningdek, B nuqta b to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lganligidan, b to'g'ri chiziq, haqiqatan ham, tekislikni B nuqtada kesib o'tadi. 3 – t a ' r i f. Agar a to'g'ri chiziq va
ular parallel deyiladi. a to'g'ri chiziq va tekislikning parallelligi a kabi belgilanadi. 3 – t e o r e m a (to'g'ri chiziq va tekislikning paralellik alomati). Agar to'g'ri chiziq tekislikda yotgan biror to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, u tekislikning o'ziga ham parallel bo'ladi. I s b o t i. Teoremaning shartiga ko'ra AB CD, CD (17-chizma). Shu sababli AB va CD to'g'ri chiziqlar orqali tekislik o'tkazish mumkin. U holda = CD bo'ladi hamda va
tekisliklarning barcha umumiy nuqtalari CD to'g'ri chiziqda yotadi. AB to'g'ri chiziq tekislik bilan qandaydir P nuqtada kesishadi, deb faraz qilaylik. AB to'g'ri chiziq tekislikda yotganligidan, P nuqta tekislikka tegishli bo'ladi. Ikkinchi tomondan, P nuqta tekislikka tegishli. P nuqta va tekisliklarga tegishli bo'lganligidan, u tekisliklarning kesishish chizig'i — CD to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lishi kerak. Shunday qilib, AB va CD to'g'ri chiziqlar P umumiy nuqtaga ega, ya'ni ular kesishadi. Bu esa teoremaning shartiga zid. Bundan farazimizning noto'g'ri 10
ekanligi kelib chiqadi. Demak, AB to'g'ri chiziq tekislik bilan kesishmaydi, ya'ni ular parallel bo'ladi. 4 – t e o r e m a. Agar tekislik (18 – chizma) boshqa tekislikka parallel AB to'g'ri chiziq orqali o'tib, shu tekislikni kesib o'tsa, kesishish chizig’i berilgan AB to'g'ri chiziqqa parallel bo'ladi. 17- chizma. 18- chizma. 19 – chizma.
I s b o t i. Modomiki, AB va CD to'g'ri chiziqlar bitta tekislikda yotgan ekan, parallel to'g'ri chiziqlar uchun birinchi shart bajariladi. AB va CD to'g'ri chiziqlar kesishmaydi, chunki, aks holda,
tekislik bilan kesishishi lozim. Shartga ko'ra esa AB to'g'ri chiziq va tekislik kesishmaydi. Demak, farazimiz noto'g'ri, shunday qilib, AB\\ CD. Teorema isbotlandi. N a t i j a . Agar a to 'g'ri chiziq kesishuvchi va tekisliklarning har biriga parallel bo'Isa (19 – chizma), u tekisliklarning kesishish chizig'i b ga ham parallel bo'ladi, ya 'ni a || , b || ,
= b munosabatlardan a\\b bo'lishi kelib chiqadi. 4- t a' r i f. Agar ikkita tekislik cheksiz davom ettirilganda ham kesishmasa, ular parallel tekisliklar deyiladi. 5 – t e o r e m a (ikki tekislikning parallellik alomati). Agar tekislikdagi ikkita kesishuvchi AB va AC to'g'ri chiziqlar tekislikdagi ikkita kesishuvchi A 1 B 1 va A 1 C 1 to'g'ri chiziqlarga, mos ravishda, parallel bo'Isa, tekisliklar ham o'zaro parallel bo'ladi (20 – chizma). I s b o t i. Modomiki, AC\\ A 1 C 1 , A 1 C 1 ekan, AC\\ P bo'ladi. Shunga o'xshash, AB|| , A t C t \\ , A1B1 bo'ladi. Isbotni teskarisini faraz qilish yo'li bilan o'tkazamiz. va
tekisliklar DE to'g'ri chiziq bo'ylab kesishsin, deb faraz qilamiz. U holda yuqorida isbotlangan teoremaga muvofiq, tekisliklar kesishgan DE to'g'ri chiziq bir vaqtning o'zida bitta A 20 – chizma. nuqta orqali o'tuvchi ikkita AB va AC to'g'ri chiziqqa parallel bo'ladi. Bunday bo'lishi mumkin emas va demak, farazimiz noto'g'ri. Bundan ||
ekani kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
21- chizma. 22- chizma. 11
Endi parallel tekisliklarning xossalarini qaraymiz. 6 – t e o r e m a. Agar ikkita parallel va tekislik uchinchi tekislik bilan kesishsa, ularning kesishish chiziqlari parallel bo'ladi(21 - chizma). I s b o t i. va
tekisliklar tekislik bilan a va b to'g'ri chiziqlar bo'yicha kesishsin. Demak, a va b to'g'ri chiziqlar bitta tekislikda yotadi, lekin ular kesishmaydi, chunki aks holda, va
tekisliklar kesishishi lozim bo'ladi, bu esa shartga ziddir. Shunday qilib, a va b to'g'ri chiziqlar bitta tekislikda yotadi va kesishmaydi, demak, a || b ekan. Teorema isbotlandi. 7 – t e o r e m a. Parallel to'g'ri chiziqlarning parallel tekisliklar orasida joylashgan kesmalari teng bo'ladi. I s b o t i. va
— parallel tekisliklar hamda AA l va BB 1 — va tekisliklar orasida joylashgan parallel kesmalar bo'lsin (22-chizma). Kesmalarning A va B uchlari tekislikda, A 1 va
B 1 uchlari esa tekislikda yotadi. Parallel AA 1 va BB 1 to'g'ri chiziqlar orqali, va tekisliklar bilan AB va A
tekislik o'tkazamiz (6- teorema). U holda AA 1 BB 1 to'rtburchak — parallelogramm bo'ladi va shu sababli AA 1 = BB 1. Teorema isbotlandi. 8- t e o r e m a. Agar to’g’ri chiziq parallel va tekisliklarning biriga perpendikular bo'lsa, ularning ikkinchisiga ham perpendikular bo’ladi. I s b o t i. BB 1 to'g'ri chiziq orqali parallel tekisliklarni parallel BC\\ B 1 C 1 , CD C 1 D 1 to'g'ri chiziqlar bo'yicha kesadigan ikkita har xil P va Q tekislik o'tkazamiz (23-chizma). Shartga ko'ra
, shu sababdan BB 1 BC va BB 1 BD bo'ladi. U holda BB 1 to'g'ri chiziq B 1 C 1 va B 1 D 1 to'g'ri chiziqlarga ham perpendikular bo'ladi. To'g'ri chiziq va tekislikning perpendikularlik alomatiga ko'ra, BB
bo'lishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
23- chizma. 24 - chizma. 9 – t e o r e m a (teskari teorema). Agar ikki tekislik bitta to’g'ri chiziqqa perpendikular bo'lsa, ular o’zaro parallel bo'ladi. I s b o t i.
tekisliklar berilgan va AB , AB bo'lsin (24 - chizma). Teskarisini faraz qilamiz, ya'ni va
teki sliklar kesishsin. AB to'g'ri chiziq va ,
tekisliklar kesishish chizig'ining ixtiyoriy C nuqtasi orqali tekislik o'tkazamiz. tekislik tekislikni AC to'g'ri chiziq bo'yicha, tekislikni esa BC to'g'ri chiziq bo'yicha kesib o'tadi. AB
bo'lganligidan, AB
tekislikda C nuqtadan AB to'g'ri chiziqqa ikkita CA va CB perpendikularlar o'tkazildi, bunday bo lishi mumkin emas. Demak, va
tekisliklar parallel. Teorema isbotlandi. Mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar: 1. Fazoda qanday to'g'ri chiziqlar parallel deyiladi? 2. Fazoda qanday to'g'ri chiziqlar ayqash deyiladi? 3. Fazoda to'g'ri chiziqlarning parallellik alomati. 4. Tekislikka parallel to'g'ri chiziqning ta'rifi. 5. To'g'ri chiziq va tekislikning parallellik alomati. 6. Ikki tekislik qachon parallel deyiladi? 7. Tekisliklarning parallellik alomati. 8. Parallel tekisliklar orasida joylashgan parallel to'g'ri chiziqlarning xossasi. 9. Parallel tekisliklardan birini kesib o'tuvchi to'g'ri chiziqning xossasi. 12
10. Parallel to'g'ri chiziqlardan birini kesib o'tuvchi tekislikning xossasi.
Mustaqil yechish uchun masalalar 1. SABCD to'rtburcha muntazam piramida berilgan. Piramida asosining 0 markazi orqali SB qirraga parallel to'g'ri chiziq o'tkazilgan. Agar piramida yon qirrasining uzunligi 18 sm ga teng bo'lsa, to'g'ri chiziqning piramida ichida yotgan OK kesmasi uzunligini toping. J a v o b: 9 sm. 2. ―a‖ to'g'ri chiziq tekislikda yotadi, ―b‖ to'g'ri chiziq esa ―а‖ to'g'ri chiziqqa parallel. ―b‖ to'g'ri chiziq tekislikni kesib o'tadimi? J a v o b: yo'q. 3. AB kesmaning A nuqtasi tekislikda yotadi. AB kesmaning B uchi va C nuqtasi orqali
tekislikni B 1 va C 1 nuqtalarda kesib o'tuvchi, o'zaro parallel bo'lgan BB 1 va CC 1 to'g'ri chiziqlar o'tkazilgan. Agar AB:AC =5:3 kabi va BB=25 sm bo'lsa, CC
kesmaning uzunligini toping. J a v o b: 15 sm. 4. AB kesmaning A nuqtasi tekislikda yotadi. Bu kesmaning B nuqtasi tekislikdan 15 sm masofada joylashgan. AB kesmada C nuqta shunday olinganki, AC—12 sm, AB—18 sm. C nuqtadan tekislikkacha bo'lgan masofani toping. J a v o b: 10 sm. 5.
tekislik ABC uchburchakning AB tomoniga parallel va AC tomonini A l nuqtada, BC tomonini B 1 nuqtada kesib o'tadi. Agar AB=22 sm, AA 1 : A 1 C= 8 : 3 kabi bo'lsa, A 1 B 1 kesmaning uzunligini toping.
J a v o b: 6 sm. 6. ABCD parallelogramm va uni kesib o'tmaydigan tekislik berilgan. Parallelogrammning uchlaridan tekislikni, mos ravishda, A 1 B 1 C 1 D 1 nuqtalarda kesib o'tuvchi o'zaro parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazilgan. Agar BB
= 8 sm, CC 1 = 11 sm, DD 1 =18 sm bo'lsa, AA 1 kesmaning uzunligini toping.
J a v o b: 15 sm.
Foydalanilgan adabiyotlar
[1]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriya‖- I qism Toshkent ―O’qituvchi‖ 2004 yil [2]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriya‖- II qism Toshkent ―O’qituvchi‖ 2004 yil [3]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriyadan masalalar to’plami‖ - Toshkent ―O’qituvchi‖ 2001 yil [4]- A.V.Pogorelov ―Geometriya‖ - 7-11 sinflar uchun Toshkent ―O’qituvchi‖ 2001 yil
13
TO'G'RI CHIZIQ VA TEKISLIKNING O'ZARO JOYLASHISHI:KESISHUVCHI TO’G’RI CHIZIQ VA TEKISLIKLAR. TO’G’RI CHIZIQ VA TEKISLIKLARNING PERPENDIKULYARLIK ALOMATLARI.
1.
To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro perpendikularligi 2.
To'g'ri chiziq va tekislikning perpendikularlik alomati 3.
tekislikkacha bo'lgan masofa 4.
Uch perpendikular haqida 5.
Perpendikular tekisliklar 6.
Ikki tekislikning perpendikularlik alomati 1 – t a' r i f. Agar fazoda berilgan ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak 90° ga teng bo'lsa, ular o'zaro perpendikular to'g'ri chiziqlar deyiladi. a va b to'g'ri chiziqlarning perpendikularligi a
b ko'rinishda yoziladi. Ta'rifdan perpendikular to'g'ri chiziqlarning o'zaro kesishuvchan, shuningdek, ayqash bo'lishi ham kelib chiqadi. 2 – t a' r i f. Agar a to'g'ri chiziq,
ixtiyoriy to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lsa, a to'g'ri chiziq tekislikka perpendikular deyiladi. (25- chizma). 1 – t e o r e m a (to'g'ri chiziq va tekislikning perpendikularlik alomati). Agar a to'g'ri chiziq, uning tekislik bilan kesishish nuqtasi orqali o'tuvchi ikkita to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lsa, a to'g'ri chiziq tekislikning o'ziga ham perpendikular bo'ladi. I s b o t i. a to'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasi A orqali a to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lgan ikkita AB va AC to'g'ri chiziqlar o'tkazilgan bo'lsin (26- chizma). a to'g'ri chiziq
tekislikdagi A nuqta orqali o'tuvchi yana bitta AD to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lishini isbotlash lozim bo'ladi. tekislikda AB va AC to'g'ri chiziqlarni, masalan, B va C nuqtalarda kesib o'tuvchi EC to'g'ri chiziq o'tkazamiz, u AD to'g'ri chiziq bilan D nuqtada kesishadi. a to'g'ri chiziqdagi A nuqtaning har xil tomonlarida o'zaro teng AA 1 =AA 2 kesmalarni joylashtiramiz. So'ngra A 1 va A 2 nuqtalarni B, C va D nuqtalar bilan tutashtiramiz. Natijada, ikkita
25- chizma. 26 – chizma teng yonli A 1 A 2 B va A 1 A 2 C uchburchaklarni hosil qilamiz: teng proyeksiyalarga ega og'malar sifatida, A 1 B= A 2 B va A 1 C = A 2 C. U holda tomonlari teng uchburchaklar sifatida,
1 BC=
2 BC bo'ladi, Bundan,
2 CB bo'lishi kelib chiqadi. Endi
1 CD va
2 CD larni taqqoslaymiz. Ularda CD — umumiy tomon, A 1 C — A 2 C hamda
1 CD =
2 СD , shuning uchun ular ikki tomoni va ular orasidagi burchagi bo'yicha o'zaro teng. Bundan A 1 D = A 2 D bo’lishini olamiz. Uchta tomonlari bo'yicha
2 AD bo'ladi. Bundan
1 AD=
2 AD bo'lishi kelib chiqadi. Bu burchaklar — qo'shni burchaklar bo'lganligidan, ularning bar biri 90° ga teng, ya'ni A
3 – t a' r i f. Tekislikni kesib o'tib, unga perpendikular bo 'Imagan to'g ri chiziq, bu tekislikka
Berilgan A nuqtadan tekislikka AB perpendikular va AC og'ma o'tkazilgan bo'lsin (27 – chizma). Peipendikular va og'malar tekislikni kesib o'tadigan B va C nuqtalarni tutashtirib, a 14
tekislikka AC og'maning proyeksiyasi deb ataladigan BC kesmani hosil qilamiz va quyidagicha yozamiz:
AC = BC
2 – t e o r e m a. Agar tekislikdan tashqarida yotuvchi P nuqtadan bu tekislikka PA perpendikular va PB, PC,... og’malar o’tkazilgan bo'lsa; 1) proyeksiyalari teng og’malar teng bo'ladi; 2) ikkita og’madan qaysi birining proyeksiyasi katta bo'lsa, o'sha og'ma katta bo'ladi. I s b o t i. Agar barcha uchburchaklar tekisliklarini PAB tekisligining ustiga yotqizsak (28 – chizma), fazodagi teorema planimetriyadagi teoremaga keltiriladi. U holda barcha og'malarning proyeksiyalari bitta AD to'g'ri chiziqda yotadi. Planimetriyada isbotlangan teorema bo'yicha AD> AB> AC dan PD> PB > PC bo'lishi kelib chiqadi.
27- chizma. 28 - chizma. I z o h. PA – to'g'ri burchakli uchburchakning kateti, PD, PB, PC,... gipotenuzalardan iborat (29-chizma), shuning uchun PA kesmaning uzunligi shu P nuqtadan o'tkazilgan ixtiyoriy og'maning uzunligidan kichik bo'ladi. 4- t a' r i f. P nuqtadan tekislikkacha bo'lgan masofa deb, P nuqtadan tekislikka o'tkazilgan perpendikularning uzunligiga aytiladi. P(x 0 ; y 0 ; z 0 ) nuqtadan : Ax + By + Cz + D = 0 tekislikkacha bo'lgan masofa 2 2 2 0 0 0 C B A D Cz By Ax d kabi yoziladi. Planimetriyadagi kabi, teskari tasdiqlar ham bajariladi. 3 – t e o r e m a (teskari teorema). Agar berilgan P nuqtadan tekislikka PA perpendikular va PB, PC, ... og’malar o'tkazilgan bo'lsa; 1) teng og’malar teng proyeksiyalarga ega bo’ladi; 2) ikkita proyeksiyadan qaysi biri katta og’maga mos kelsa, o’sha proyeksiya katta bo'ladi. 4 – t e o r e m a (uch perpendikular haqida). Tekislikda og’maning asosi orqali uning proyeksiyasiga perpendikular ravishda o’tkazilgan to'g’ri chiziq og’maning o'ziga ham perpendikular bo'ladi. I s b o t i. Berilgan tekislikka PA perpendikular va PB og'ma o'tkazilgan bo'lsin (30- chizma). A va B nuqtalarni tutashtirib, PB og'maninga tekislikka AB proyeksiyasini olamiz. B nuqtadan tekislikka AB ga perpendikular CD to'g'ri chiziq o'tkazamiz va CD PB bo'lishini isbotlaymiz. CD to'g'ri chiziqda ixtiyoriy, o'zaro teng BC= BD kesmalarni joylashtiramiz. U holda, o'zaro teng AC = AD proyeksiyalarga ega bo'lgan fazodagi og'malar sifatida, PC= PD bo'ladi. Endi PCD teng yonli uchburchak bo'ladi va shuning uchun uning PB medianasi balandlik ham bo'ladi, ya'ni PB
29 - chizma. 30 - chizma. Yuqoridagi chizmadan foydalanib, isbotlangan tasdiqqa teskari teoremani ham isbotlash mumkin. 15
5 – t e o r e m a (teskari teorema). Tekislikda PB og’maning asosi orqali og’maga perpendikular ravishda o'tkazilgan CD to'g’ri chiziq og’maning AB proyeksiyasiga ham perpendikular bo'ladi. Isbotini mustaqil ravishda amalga oshirish tavsiya qilinadi. Endi to'g'ri chiziqlar hamda tekisliklarning parallelligi va perpendikularligi orasidagi bog'lanishni ifodalovchi ba'zi tasdiqlarni qaraymiz. 6 – t e o r e m a. Agar tekislik o’zaro parallel AB, A 1 B 1 to'g'ri chiziqlarning bittasiga perpendikular bo'lsa, u to'g'ri chiziqlarnirig ikkinchisiga ham perpendikular bo'ladi. I s b o t i. tekislik va AB 1 1
A berilgan hamda AB
tekislikda B nuqta orqali ikkita BC va BD to'g'ri chiziqlarni o'tkazamiz. tekislikda B 1 nuqta orqali B 1 C 1 \\ BC, B 1 D 1 BD to'g'ri chiziqlarni o'tkazamiz. Shartga ko'ra, AB bo'lgandan, AB
bo'ladi. U holda, mos tomonlari parallel burchaklar sifatida,
1 B 1 bo'lishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. 7 – t e o r e m a (teskari teorema). Agar ikkita (AB va A
I s b o t i. Teskarisini faraz qilish yo'lini tutamiz. AB
1 B 1 , lekin A 1 B 1 to'g'ri chiziq AB to'g'ri chiziqqa parallel bo'lmasin (32-chizma). B 1 nuqta orqali B 1 C 1 \\BA to'g'ri chiziqni o'tkazamiz. Yuqorida isbotlangan teoremadan B 1 C 1 bo'lishi kelib chiqadi. Kesishuvchi B 1 A 1 va B 1 C 1 to'g'ri chiziqlar orqali tekislikni o'tkazamiz. Bunda va
tekisliklarning kesishish chizig'i B
boladi. B 1 A 1 , B 1 C 1 bo'lganligidan, B 1 A 1
1 D 1 va B 1 C 1
1 D 1 bo'ladi. Shunday qilib, B
31- chizma. 32- chizma. Bunday bolishi mumkin emas, demak, farazimiz noto'g'ri va B 1 A 1 BA bo'ladi. Teorema isbotlandi. 6 – t a' r i f. Agar ikkita tekislik o'zaro kesishganda ikki yoqli burchak hosil qiisa, ular o'zaro perpendikular tekisliklar deyiladi. 8 – t e o r e m a (ikki tekislikning perpendikularlik alomati). Agar a tekislik boshqa
tekislikka perpendikular bo’ladi. I s b o t i. va
tekisliklar DE to'g'ri chiziq bo'ylab kesishsin (35-chizma).
ko'ra, AB bo'lganligidan, AB
iborat. U holda unga mos BDEC ikki yoqli burchak ham to'g'ri burchakdan iborat. Ya'ni va
tekisliklar o'zaro perpendikular bo'ladi. Teorema isbotlandi. 9 – t e o r e m a. Ikkita perpendikular tekislikning birida yotuvchi to'g'ri chiziq, shu tekisliklar kesishgan to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lsa, u ikkinchi tekislikka ham perpendikular bo'ladi.
35 - chizma. 36 - chizma. 37 - chizma. 16
I s b o t i. va ular c to'g'ri chiziq bo'ylab kesishsin, ya'ni с (36-chizma).
tekislikda b c to'g'ri chiziq o'tkazilgan va b ekanligini isbotlash talab qilinadi. tekislikda b to'g'ri chiziq va tekislik kesishgan nuqtadan a
o'tkazamiz. a va b to'g'ri chiziqlarning har ikkalasi ham va
tekisliklar o'zaro kesishadigan c to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'ladi. Demak, a va b to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak va
tekisliklar orasidagi burchakka teng. Shartga ko'ra, bo'lganligidan, a va b to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak 90° ga teng bo'ladi. Shunday qilib, b to'g'ri chiziq tekislikda yotuvchi ikkita c va a to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lishi va, demak, b to'g'ri chiziq tekislikning o'ziga ham perpendikular bo'lishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. N a t i j a. Agar ikkita va tekislik uchinchi tekislikka perpendikular bo’Isa, ular kesishadigan to 'g'ri chiziq tekislikka perpendikular bo'ladi (37 - chizma). Katalog: kutubxona -> uploads -> adabiyot adabiyot -> O’zmu qoshidagi S. Raximov akademik litseyi 306-gurux o’quvchisi Karimjonova Dilfuza adabiyot -> O. A. Tadjibayeva n. K. Ramazonova adabiyot -> O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi adabiyot -> Sobir Mirvaliyev adabiyot -> Slayd-1 Mavzu: Din va ma’naviyat adabiyot -> O’zmu qoshidagi S. Raximov akademik litseyi 302-guruh o’quvchisi adabiyot -> «sharq» nashriyot-matbaa aksiyadorlik kompaniyasi bosh tahririyati adabiyot -> «sharq» nashriyot-matbaa aksiyadorlik kompaniyasi bosh tahririyati adabiyot -> Umumiy biologiya Download 1.49 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|