Urganch davlat universiteti fizika matematika fakulteti matematika yo


Download 0.69 Mb.
Pdf ko'rish
Sana18.06.2020
Hajmi0.69 Mb.

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI 

 

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 

 

URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI 

 

FIZIKA MATEMATIKA FAKULTETI  



 

MATEMATIKA YO’NALISHI  

 

172-MATEMATIKA GURUHI TALABASI  

JUMANIYAZOVA RO’ZANING   

ODDIY DIFFERENSIAL  

TENGLAMALAR 

FANIDAN  

 

                          



                 

 

 

“LIMIT DAVRALAR. ERGASH FUNKSIYALAR” 

 

mavzusida tayyorlagan 

 

 



 

 

 



 

 

 



KURS ISHI 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

        


 

 

 



 

                             REJA: 

I.KIRISH 

II.ASOSIY QISM 

1.  Limit davra va uning yaqinidagi trayektoriyalar 

2.  Ergash funksiya va uning xossalari 

3.  Ergash funksiyaning geometrik tasviri 

4.  Lyapunovning harakteristik ko’rsatkichi. 

IV.XULOSA 

      Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 


 

                     



                          

 

 Kirish 

 

 



Limit davra va ergash funksiya  tushunchalarini ulug’  fransuz matematigi  

A.Puankare kiritgan bo’lib, bu tushunchalar haqida dastlabki ilmiy natijalar uning 

o’ziga tegishli.  Limit davralar texnikada turli asbob va qurilmalarni loyixalashda 

muhim rol o’ynaydi. Texnikada so’nmas tebranishlar shu limit davralar 

tushunchasiga mos keladi. Bu moslikni birinchi marta A.A.Andronov aniqlagan. 

 

Ushbu  



               





1

1



1

2

2



2

1

2



1

2

,



,...,

,

,



,...,

,

..........................



,

,...,


n

n

n

n

n

x

f x x

x

x

f

x x

x

x

f

x x

x



                                   (1) 

muxtor sistemani qaraylik. Unda 



1



1

2

1



2

,

,...,



,....

,

,...,



n

n

n

f x x

x

f

x x

x

 (qisqacha 

( )

f x

 vektor funksiya )  funksiyalar n o’lchovli fazoning biror   



n

D

 sohasida 

aniqlangan va o’zining xususiy hosilalari bilan uzluksiz deb qaraymiz. U holda 

n

D

 

sohaning har bir nuqtasidan (1) sistemaning faqat bitta trayektoriyasi o’tadi. 



Keyingi mulohazalarda ko’pincha n=2 bo’lgan hol ko’riladi. Unda soddalik uchun 

n

D

 soha sifatida butun     tekislik qaraladi.  

 

 

 



 

 

 



      

 

 



 

1.LIMIT DAVRA VA UNING YAQINIDAGI TRAYEKTORIYALAR

Endi limit davra tushunchasini kiritamiz (n=2) 



 1-ta’rif.  (1) muxtor sistemaning  yakkalangan davriy yechimi limit davra 

(sikl) deyiladi. To’laroq aytganda, 

( )

x

t



  vektor-funksiya  (1) sistemaning davriy 

yechimi bo’lib,    chiziq esa     tekislikda shu yechimning grafigi (yopiq egri 

chiziq, yopiq trayektoriya) bo’lsin. Agar shunday musbat son 

0



 mavjud bo’lsaki, 

P

 tekislikdagi    egri chiziqdan 

 dan kichik masofada joylashgan     



 nuqta 


qanday bo’lmasin, (1) sistemaning shu nuqtadan o’tadigan yechimi davriy 

bo’lmasa, u holda  

( )

x

t



 yechim  (yoki  K trayektoriya) (1) sistemaning limit 

davrasi deyiladi. 

Ta’rifdan ko’rinadiki, agar  

,

x



K

K



  va   


x



 bo’lsa, (1) 

sistemaning 

( )


x

t



  0 , 

 boshlang’ich qiymatlarida ega bo’lgan  



( , )

x

t

 


  

yechimi davriy bo’lmaydi. Boshqacha aytganda, limit davraga yaqin masofada 



sistemaning yopiq trayektoriyalari mavjud emas. 

Unday bo’lsa, limit davraga yaqin trayektoriyalar o’zini qanday tutadi? 

Quyida shuni o’rganamiz. 

1-teorema.  

( )


x

t



 yechim (1) sistemaning limit davrasi bo’lib, K unga 

mos yopiq trayektoriya bo’lsin. Yopiq trayektoriya, ma’lumki, tekislikni ikki ichki va 

tashqi sohaga bo’ladi. Muxtor sistemaning trayektoriyalari o’zaro kesisha olmasligi 

uchun (1) sistemaning  har bir K dan farqli trayektoriyasi unga nisbatan yo ichki, 

yo tashqi bo’ladi. Ham tashqi, ham ichki trayektoriyalar uchun biri ikkinchisini 

inkor qiladigan quyidagi ikki hol yuz berishi mumkin.  Ya’ni  K ga yaqin nuqtada 

boshlanadigan  barcha ichki trayektoriyalar yo 

t

 


 da, yoki  

t

 


 da spiral kabi K ga o’raladi. Xuddi shu tasdiq tashqi 

trayektoriyalar uchun ham o’rinli. 

Bu teoremaning isbotiga o’tishdan avval ba’zi yordamchi tasdiqlar kerak 

bo’ladi. 



Agar K ga yaqin barcha nuqtalardan boshlanadigan barcha trayektoriyalar  

t

 


 da K ga o’ralsa, u holda limit davra turg’un deyiladi. Agar K ga yaqin 

barcha nuqtalardan boshlanadigan barcha trayektoriyalar   



t

 


   da K ga 

o’ralsa, u holda limit davra  butunlay noturg’un deyiladi.  Qolgan ikki holda  

(xususan, ichki trayektoriyalar K ga 

t

 


   da, tashqi trayektoriyalar  

t

 


 

da o’ralsa va aksincha) limit davra yarim turg’un deyiladi. 

Limit davra  yaqinidagi trayektoriyalarning xossalarini, ya’ni ularning limit 

davraga o’ralashini bayon etishda ergash funksiya tushunchasi muhim rol 

o’ynaydi.  A.Puankarening katta xizmatlaridan  biri shu funksiyani kiritib, undan 

foydalanganligidadir. Ergash funksiyaning ta’rifini ikki og’iz so’z bilan bayon etib 

bo’lmaydi, uni ma’lum ma’noda ko’riladi. 

P  tekislikda  davri 

 bo’lgan davriy yechimning 



  

 grafigidan iborat yopiq 

egri chiziqni K deylik.   esa P tekislikda yotgan shunday to’g’ri chiziqli kesmaki, u 

K  egri chiziqni   ga nisbatan ichki bo’lgan yagona   nuqta noldan farqli burchak 

ostida (ya’ni urinmasdan ) kesib o’tsin 

L

  kesmasi yotgan to’g’ri chiziqda sonli koordinata kiritamiz.   nuqtaning 

koordinatasini  

0

u

,    kesmaning    dan farqli ixtiyoriy nuqtasini    deb, uning 

koordinatasini  deb belgilaymiz. Shunday qilib, 

0

( )


a

a u



( )

p

p u

. Endi    



nuqtadan (1) sistemaning 

( , )


t p

 trayektoriyasini o’tkazib, shu trayektoriya 



bo’yicha 

t

 ning o’sishiga mos yo’nalishda harakat qilamiz. Agar p nuqta a 

nuqtaga yaqin bo’lsa, u holda K ning yaqinida boshqa yopiq trayektoriya 

yo’qligidan   

( , )

t p

 trayektoriya har 



 ga yaqin vaqtda    kesmani kesib o’tadi. 

Shu trayektoriyaning   kesma bilan  p nuqtadan keyin birinchi uchrashuv 

nuqtasini   , uning koordinatasini esa 

1

( )


u

 deymiz. Agar p nuqtadan  



( , )

t p

 



trayektoriya bo’ylab, 

t

 ning kamayishiga mos yo’nalishda harakat qilsak, shu 

trayektoriya 

 ga yaqin vaqtda    bilan birinchi marta uchrashadi. Shu nuqtani 



r

koordinatasini esa  



1

( )


u



 deb belgilaymiz.Bunda  p nuqta K yopiq chizig’idan 

tashqarida olingan. Xuddi shuni p nuqta K ning ichida yotganda ham keltirish 

mumkin. Yuqorida ikki  

1

( )


u

 va 



1

( )


u



 funksiyalar kiritildi. Ular uzluksiz va 

o’zaro teskari funksiyalardir, ya’ni  

        

1

1



(

( ))


u

u

 


,  



1

1

(



( ))

u

u

 


 



Haqiqatan ham,  q nuqtadan t ning kamayishiga mos yo’nalishda 

trayektoriya bo’ylab harakat qilinsa,    kesmani birinchi marta p nuqtada kesib 

o’tadi, demak,   

1

1



(

( ))


u

u

 


. Shunga o’xshash, agar r nuqtadan t ning o’sishiga 



mos yo’nalishda tegishli trayektoriya bo’ylab harakat qilinsa, u holda bu 

trayektoriya birinchi marta      kesmani p nuqtada kesib o’tadi, demak,  

1

1

(



( ))

u

u

 


. Keyingi bandda  



1

( )


u

 va 



1

( )


u



 funksiyalarning xossalari 

o’rganiladi. 

1

( )


u

 funksiya ergash funksiya deyiladi, bu funksiya uzluksiz va 



uzluksiz teskari funksiyaga ega bo’lib,     

1

1



1

( )


( ) 

u

u





 xossa o’rinli. Ergash 

funksiyani  

                   

1

( )  



u

 


                                                                                         (2) 

deb belgilaymiz. Endi 1-teoremaning isbotiga o’tamiz. 

ISBOT.  P tekislikda shunda L kesma olamizki, u K egri chiziqni yagona a nuqtada 

urinmasdan va L ga nisbatan ichki nuqtada kesib o’tsin. L kesmada son 

koordinata (parametr) kiritamiz va 

0

u

 bilan a nuqtaning koordinaatasini 

belgilaymiz. Zarurat bo’lsa, 

0

u

 parameter yordamida a nuqtaning Dekart 

koordinatalaarini toppish mumkin. Uning uchun L kema yotgan to’g’ri chiziqning 

parametrik tenglamasini yozib, parametrga  

0

u



u

 qiymat berish yetarli. Albatta, 



u parametrning o’sishiga L kesma bo’yicha biror yo’nalish  mos keladi. Shu 

parameter biror yopiq oraliqda qiymatlar qabul qilganda kesmaning biror 

uchidan boshqa uchigacha bo’lgan nuqtalarni ketma-ket hosil qilish mumkin. 

Xususan, biz ko’rayotgan holda L kesmaning K dan tashqaridagi qismiga 

parametrning 

0

u

 dan kata qiymatlari, kesmaning K ning ichidagi qismiga esa 

0

u

 

dan kichik qiymatlari mos kelsin, deylik, L kesmaga mos ergash funksiyani  



( )

u

 



deb belgilaymiz. 

0

u



K

 bo’lgani uchun  



0

0

(



)

u

u



 bo’ladi. Endi  

-yetarli kichik 



musbat son bo’lsin. U holda 

0

u



u



 interval uchun (1) sistemaning 

koordinatasi shu intervaldan olingan 

( )

p u

L

 nuqtadan chiqadigan 



trayektoriyasi vaqt o’tishi bilan L kesmani birinchi marta q nuqtada kesib o’tadi. 

Shu nuqtaning koordinatasini 

( )

u

v



 deylik. Agar q nuqtaning koordinatasi 

ham p nuqtasinikidek u ga  teng bo’lsa, u holda p nuqtadan chiqadigan 

trayektoriya yana shu nuqtaga, ya’ni  

( ( ))


( )

q

u

p u



 nuqtaga keladi, demak, 

trayektoriya yopiq bo’ladi. Bu hol o’rinli bo’lishi uchun ushbu   

                                

( )


u

u



                                                                                      (3) 

tenglik o’rinli bo’lishi lozim. Ammo K chiziq (3) sistemaning yakkalangan 

trayektoriyasi bo’lgani uchun  

0

u



u



 intervalda (3) tenglama yagona 

yechimga ega. Endi limit davra K dan tashqarida unga yetarli yaqin 

trayektoriyalarni o’rganamiz, bu trayektoriyalarga       

0

0



u

u

u



 interval 

mos keladi.   

0

0

u



u

u



  intervalga mos ichki trayektoriyalar shunga 

o’xshash o’rganiladi.  

 

Shunday qilib, yuqoridagi mulohazalardan  



0

0

u



u

u



 intervalda 

quyidagi ikki tengsizlikdan biri bajariladi : 

                        

( )


u

u

                                                                                            (4)  



                        

( )


u

u

                                                                                             (5)   



Agar ko’rilayotgan intervalning bir qismida (4)  tengsizlik, ikkinchi qismida esa (5) 

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda  

( )

u

 funksiyaning uzluksizligi tufayli   



0

0

u



u

u



   intervalda (3) tenglik o’rinli bo’ladigan nuqta topilar edi. Bu 

bo’lishi mumkin emas. Olingan 

,

p

K

p

L



 nuqta K dan tashqarida bo’lib, bu 

nuqtada boshlanaadigan trayektoriyaa K ni kesib o’ta olmagani uchun 



q

L

 



nuqta ham K dan tashqarida yotadi. Shuning uchun  

0

u



u

 bo’lganidan 

                 

0

( )



u

u

                                                                                                    (6)                                               



tengsizlik o’rinli. 

 

Yetarli kichik  

0

0

u



u

u



   intervalda (4) tengsizlik o’rinli bo’lsin. 

Ko’rilayotgan intervaldan ixtiyoriy 

1

u

 sonni olamiz. Endi 

1

2

3



,

,

, ...



u u u

 sonlar 


ketma- ketligini  

                   

1

( ),


1,2, ...

i

i

u

u

i



                                                                        (7)  



 formula yordamida aniqlaymiz. (4), (5), (6)  munosabatlardan 

0

u



u

 va 


1

2

3



...

u

u

u

  tengsizliklar kelib chiqadi. Bundan  

 

i

u

 ketma-ketlik 

kamayuvchi ekani ko’rinib turibdi. Bu ketma-ketlik quyidan 

o

u

 bilan 


chegaralangan bo’lib, kamayuvchi ekanidan uning limiti mavjud. Limitni  

*

u

 

deylik :         



*

lim


i

i

u

u





 

 Ammo 


*

u

 nuqta  


0

0

u



u

u



  intervalga tegishli, shuning uchun (3) tenglama 

yechimining yagonaligidan 

*

u

u

 kelib chiqadi.   



 Demak,  

0

lim



i

i

u

u

L



 



  kesmaning  

i

u

 koordinataga mos nuqtasini 



i

p

 desak, 


yuqoridagi mulohazalardan  

lim


i

i

p

a





 

ekaninga ishonamiz. Albatta,  



i

p

  nuqtadan  

1

i

p

 nuqtaga tegishli trayektoriya 



bo’ylab kelish vaqti  

 ga yaqin. Shuning uchun  



i

p

  nuqtadan chiqadigan 

trayektoriya bilan K trayektoriya orasidagi minimal masofa vaqt ortishi bilan 

kamayib boradi. Agar biror momentda kamayish jarayoni bo’lmasa, xuddi shu 

momentda mos nuqta orqali L kesmani o’tkazib, 

 


i

u

 ketma-ketlikning 

kamayuvchiligiga zid natija olamiz. Bu mulohazalar ko’rsatadiki,  

1

p

 nuqtadan 

chiqadigan trayektoriya vaqt ortishi bilan K ga o’rala boshlaydi (spiral kabi). 

Shunday qilib, (4) tengsizlik bajarilganda L kesmaning   

0

0



u

u

u



   

intervaldan olingan koordinatasi ixtiyoriy nuqtasidan chiqadigan trayektoriya  



t

 


 da K ga spiral kabi o’raladi.  

 

Agar  


0

0

u



u

u



  intervalda  (5) tengsizlik bajarilsa,  

( )


u

 funksiyaga 



tekari 

1

 



( )

u



 funksiya uchun biror  

0

0



 u

u

u



   

0



 intervalda ushbu  

1

( )



v

v



 

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Endi yuqoridagi kabi, L kesmaning koordinatasi   ,  

0

0

u



v

u



  bo’lgan nuqtasidan chiqqan trayektoriya 

t

 


  da K  ga spiral 

kabi o’raladi. 



2.ERGASH FUNKSIYA VA UNING XOSSALARI. 

 

(1) sistemaning  0, 



 boshlang’ich qiymatlarga ega bo’lgan yechimini 

( , )

t a

 



( , )

t

 


, davri  

 bo’lgan va a nuqtadan o’tadigan davriy yechimini  



( , )

t a

 



deb belgilaymiz. 

( , )


t a

 yechimning grafigini -  yopiq egri chiziqni K, shu egri 



chiziqni yagona ichki a nuqtada urinmasdan kesadigan to’g’ri chiziqli kesmani L 

deylik. L kesmada parametr    kiritamiz. Shu koordinata yordamida L kesmaning 

parametrik tenglamasi  

( )


x

g v

 bo’lsin, a nuqtaning  koordinatasini 



0

v

u

 



deylik. Yetarli kichik musbat  

0



 berilganda ham ushbu   

( , ( ))


( , )

t g u

t u



 

trayektoriya  



0

u

u



  intervalda L kesmani t ning minimal musbat  

1

( )



t u

 

qiymatida kesib o’tsin.  



1

( )


u

 esa  



1

( )


t u

 momentda kesishish nuqtasining 

koordinatasi bo’lsin. Shunga o’xshash  

1

( )



t

u

  miqdor L  kesmani trayektoriya 



kesib o’tish momentining absolyut qiymati bo’yicha minimal qiymati, 

1

( )



u



 esa 

shu momentga mos kesishish nuqtasining koordinatasi bo’lsin. Agar yetarli kichik 

musbat son  

0



 berilgan bo’lsa, u holda  

0

u



u



 intervalda yuqorida 

ko’rsatilgan  

1

( )


t u

1



( )

u



1

( )


t

u



1

( )


u



 

 Funksiyalar uzluksiz va quyidagi  

1

0

1



0

0

1



0

1

0



0

( )


,

( )


,

( )


,

( )


t u

u

u

t

u

u

u

 


 





 

shartlarni  qanoatlantiradi. Shu bilan birga  



1

1

va





 funksiyalar yetarli kichik 

u lar uchun teskaridir,  ya’ni   

1

1

1



1

(

( ))



,

(

( ))



u

u

u

u

 


 



 



va uzluksiz differensiallanuvchidir. Bunda  

1

( )



u

 


 funksiya ergash funksiya 

deyiladi.  

3.  ERGASH FUNKSIYANING GEOMETRIK TASVIRI. 

Normal muxtor sistemalarning limit davralarini o’rganish uchun mos ergash 

funksiyani o’rganish yetarli. Albatta, har bir sistema uchun  ergash funksiyani 

tuzish mumkin bo’lavermaydi. Bu qiyin masala. Quyida biz ergash funksiya 

mavjud deb farz etib, uni sifat nuqtayi nazaridan tekshiramiz. Soddalik uchun 

ergash funksiyani  

( )

u

 deb belgilaymiz, ushbu  



                           

( )


v

u



             

( )


v

u



                                                                            

(8) egri chiziqning grafigini  o’rganamiz. Aslida biz (3) tenglamaning yechimi va       

(1) sistemaning unga mos limit daavrasini o’rganishimiz lozim.                              

Shu maqsadda     ,



u v

o’zgaruvchilar tekisligida (8) egri chiziq bilan 

                                  u

v

                                                                                         (9)  



bissektrissaning kesishish nuqtalarini o’rganamiz. Faraz etaylik, 

0

0



u

 va 


0

0

(



)

u

u



 bo’lsin. Shu 

0

u

 koordinataga (parametrga) mos limit davraning yetarli 

kichik atrofini o’rganishimiz kerak. Demak, grafiklar koordinatalar tekisligining I 

choragida o’rganiladi.  

  ,


u v

  o’zgaruvchilar tekisligi va unda chizilgan   

( )

v

u



va   u

v

  



chiziqlar grafigi Lamerey diagrammasi deyiladi.  

(3) tenglamaning barcha yechimlarini topish uchun (8) chiziqlarning barcha 

kesishish nuqtalarini toppish lozim. Biz  

0

0



(

,

)



u u

 nuqtani  

0

(

0)



u

chuqurroq 

o’rganamiz. Boshqa kesishish nuqtalari ham shunga o’xshash o’rganiladi.  

0

u



u

  ga mos kelgan yopiq trayektoriya limit davra bo’lishi uchun  



0

0

(



,

)

u u

 

nuqta yakkalangan bo’lishi zarur va yetarli. Agar 



0

(

)



1

u



  bo’lsa, u holda  

nuqtada  (8)   va (9) chiziqlarning grafigi o’zaro urinmaydi. Mos limit davraga esa 

qo’pol limit davra deyiladi. Ammo  

0

(

)



1

u



  bo’lsa, limit davraning turg’unligi 

yuqori tartibli hosilalar yordamida tekshiriladi.  

 


 Ushbu  

 

         



( )

( )


u

u

u



 



(10)     

yordamchi   funksiyani kiritamiz. Ravshanki, limit davraga mos kelgan 

0

u

u

 



uchun  

0

(



)

0

u



bo’ladi. Mulohazalarimizda 



 funksiya kerakli tartibli barcha 

hosilalarga ega bo’lsin deb faraz etamiz. 

0

u

  nuqtaning yetarli kichik atrofini  



0

0

:



,

0

I



u

u

u

 


 deb belgilaymiz. Biz ish ko’radigan barcha u 



nuqtalar  shu  

0

I

 intervaldan olinadi. Buni doim aytb o’tirmaymiz, 

v

u

 



bissektrissa   

I

 koordinata burchagini ikki  



1



( , ) :

I

u v

v

u

 va 



2



( , ) :

I

u v

v

u

 bo’lakka bo’ladi. 



Nihoyat, 

0

u



u

 nuqtaning 



0

I

 atrofida  

( )

u

 funksiya uchun Teylor 



formulasini yozamiz :       

        


( )

2

0



0

0

0



0

0

( )



( )

( )


( )(

)

(



)

...


(

)

0(



).

2!

!



k

k

k

o

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

k













    (11) 

bunda  

( )


( )

0

0



0

0

0



0

0( )


lim

0 ,


( )

( ) 1 ,


( )

( ), .... ,

( )

( ),...


k

k

z

z

u

u

u

u

u

u

z

















 



 

Limit davraning  turg’unligini ergash funksiya yordamida tekshirish uchun 

quyidagi hollarni ko’ramiz: 

I. 

 

0



(

)

0



u



  yoki baribir, 

0

( ) 1


u



  (qo’pol limit davra) 

a)     

0

( ) 0



u



   yoki baribir  

0

( ) 1



u



 

Agar  


0

u

u

 bo’lsa, 

( )

u

u

 va demak  



0

0

( )



u

u

u



 tengsizliklar o’rinli. 

Bundan   

0

0

( )



u

u

u u



 tengsizlik kelib chiqadi.   Shunga o’xshash, agar 

0

( )


    

1

 



u



 bo’lsa,  

( )


u

u

  va demak, 



0

0

0



( )

u

u

u

u



 ga egamiz. Bundan 



yana   

0

0



( )

u

u

u u



  tengsizlik kelib chiqadi. Demak, 

0

( ) 0


u



 ***** 

hamda  


0

( ) 1


u



  bo’lganda 

0

u

 ga mos limit davra turg’un bo’ladi. (6-rasm)    

b) 


0

(

)



0

u



 yoki baribir   

0

(



)

1

u



. Bu holda xuddi  a)  holdagi mulohazalar 



yordamida  

0

u

 nuqtaga mos limit davra butunlay noturg’un ekanini keltirib 

chiqaramiz.  



II. 

(

1)



0

0

( )



...

( )


0

k

u

u



 



,   


( )

0

( )



0

1, 2,3, ...



k

u

k



n. 


Demak, 

0

(



)

1

u





 bo’lgan hol ko’rilyapti.  

a)    k=2  bo’lganida 

0

(

)



0

u



,  


0

(

)



0

u





   ga egamiz. Demak, 

0

(

)



1

u



Shuning uchun 



  ( )

u

 funksiyaning grafigi bissektrissaga  



0

0

(



,

)

u u

 nuqtada urinadi 

(11) formuladan shu holda ushbu  

         

2

2



0

0

0



( )

( )


(

)

0(



)

2!

u



u

u

u

u

u







                                munosabat kelib 



chiqadi. Uning o’ng tomonidagi ifodaning ishorasi   ning 

0

I

 intervaldan olingan 

qiymatlarida 

0

( )


u





 miqdorning ishorasi bilan aniqlanadi. Shuning uchun  

0

(



)

0

u



  bo’lganda  



( )

0

u

 yoki  


( )

0

u



0



u

I

 tengsizlik o’rinli.  Demak, 



( )

u

 funksiyaning grafigi 



2

I

 to’plamda joylashgan bo’lib, 

0

u

 nuqtaning 

0

I

 

atrofida qavariqligi pastga qaragan bo’ladi. Shunga  



o’xshash  bo’lganda  

( )


u

  funksiyning grafigi 



1

I

 to’plamda joylashgan bo’lib, 

0

I

 

intervalda qavariqligi yuqoriga qaragan bo’ladi.  



Biz limit davraning yarim turg’un bo’lgan holiga egamiz.  

b) 


Endi k=3 bo’lsin. Bu holda  

0

0



0

( )


0 ,

( )


0 ,

( )


0

u

u

u











   (11) 


formuladan quyidagiga kelamiz :         

            

3

3

0



0

0

( )



( )

(

)



0(

).

3!



u

u

u

u

u

u







                                                      (12) 



Avvalo 

0

0



( )

( )


0

u

u







  bo’lgani  uchun 

0

0



(

,

)



u u

  nuqta   

( )

u

  funksiyaning 



burilish  nuqtasi  bo’ladi.  Demak,  funksiyaning  garfigi  v u

  bissektrissaning  bir 



tomonidan ikkinchi tomoniga unga urinib o’tadi.  Bunda yana ikki hol yuz beradi:  

     

1

b

0

0



(

)

(



)

0

u



u








   


 (12)   formulaga ko’ra bu holda 

0

u



u

 bo’lganda  

( )

0

u



  yoki  


( )

u

u

 



0

u

u

 bo’lganda esa  

( )

0

u



 yoki 


( )

u

u

 tengsizliklar o’rinli bo’ladi. 



Ko’rinadiki, 

( )


u

 funksiyaning grafigi   v u



 bissektrisani kesib 

1

I

 to’plamdan 

2

I

 

to’plamga o’tadi.  



     

2

b

)    

0

0



(

)

(



)

0

u



u








  bu holda 

1

b

 dagi mulohazalar yordamida 

0

u

 ga 


turg’un limit davra mos kelishini ko’rsatish mumkin.  

)

v

  

*

2



k

k



*

k

=1,2,3,….  Bu holda (11) formuladan topamiz.  

*

*

*



(2

)

2



2

0

0



0

*

( )



( )

(

)



0(

)

(2 )!



k

k

k

u

u

u

u

u

u

k





 

Xuddi k=2 dagi a) holdagi mulohazalar kabi bu holda ham limit davra yarim 



turg’un bo’ladi.  

)

g

  

*

*



2

1 ,


0,1,2, ...

k

k

k



  Bu holda ham (11) formuladan foydalanib 

quyidagini topamiz:  

*

*



*

(2

1)



2

1

2



1

0

0



0

*

( )



( )

(

)



0(

)

(2



1)!

k

k

k

u

u

u

u

u

u

k







 



Endi    b) holida yuritilgan mulohazalarni qo’llab,  

*

(2



1)

0

(



)

0

k



u



 bo’lganda limit 

davra butunlay noturg’un va 

*

(2

1)



0

(

)



0

k

u



 bo’lganda esa limit davra turg’un 

ekanini tasdiqlash mumkin.  



III. 

    


( )

0

0



0

( )


( )

...


( )

...


0

k

u

u

u







 


 

  yoki baribir           

( )

0

0



0

( ) 1 ,


( )

...


( )

...


0

k

u

u

u







 


 

 

Bu holda  (11) formuladan 



( )

0

u



 yoki baribir 



( )

u

u



 kelib chiqadi. 

Ko’ramizki, L kesmaning  

0

u

 koordinatali a nuqtasidan yetarli kichik masofadagi 

barcha nuqtalaridan yopiq trayektoriyalar o’tadi. Shuning  uchun ta’rifga ko’ra  

0

u

 ga mos limit davra K ajratilgan yopiq trayektoriya bo’la olmaydi. Bu hol 


ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli muxtor sistemaning holat tekisligidagi markaz 

manzarasiga o’xshaydi.  

 

Shunday qilib, biz ergash funksiyani to’la o’rgandik. k=1  bo’lganda limit 



davra oddiy deyiladi, k>1 bo’lganda k ning juft yoki toq bo’lishiga qarab mos 

ravishda juft karrali yoki toq karrali limit davralarga ajratamiz.  

k>1 ga mos limit davrani qisqacha murakkab limit davra deb ham yuritamiz. 

Yuqoridagi mulohazalardan quyidagi natija kelib chiqadi.  

 

Natija.  (1) sitemaning o’ng tomonidagi funksiyalar anlitik bo’lib, bu 

sistema  uchun yopiq trayektoriya mavjud bo’lsa, u holda bu trayektoriya yo 

yakkalangan, demak, limit davra bo’ladi yoki uning atrofidagi barcha 

trayektoriyalar yopiq bo’ladi.  



4.  LYAPUNOVNING HARAKTERISTIK KO’RSATKICHI 

   


Biz bu bandda Lyapunovning harakteristik ko’rsatkichi tushunchasini 

kiritib, u yordamida limit davraning turg’unligi va noturg’unligi shartini 

ifodlaymiz.  (1) sistemaning davri 

 ga teng bo’lgan K yopiq trayektoriyasining 



parametrik tenglamalari (n=2 bo’lganda) 

                                                  

( )

( )


x

t

y

t



 



                                                           (13) 

bo’lib, sistemaning o’zi quyidagi ko’rinishda yozilsin, deylik : 

                                           

( , )

( , )


x

P x y

y

Q x y



 

                                                                 (14)       



Bunda  

( , )


P x y

( , )



Q x y

 funksiyalar biror 

2

D

 sohada birinchi tartibli xususiy 

hosilalari  

P

dx



P

dy



Q

dx



Q

dy

 bilan birga uzluksiz deb faraz etamiz.  



2-ta’rif.  Ushbu  

              

0

1

( ( ), ( ))



( ( ), ( ))

P

t

t

Q

t

t

h

dt

x

y

 



 











                                      (15) 

ifoda yopiq K  trayektoriyaning  harakteristik  ko’rsatkichi deyiladi va Lyapunov 

nomi bilan ataladi.  

2-teorema.    Agar h<0 bo’lsa, yopiq K trayektoriya turg’un, h>0 bo’lsa, butunlay 

turg’unmas limit davra bo’ladi.  

 

Misol.     Ushbu  

                                



2



2

1 (


)

(

)



x

y

x

x

y

P

  




 

                            



2



2

1 (


)

(

)



y

x

y

x

y

Q

  




                                (16) 

sistemaning trayektoriyalari holat tekisligida o’rganilsin.  

 

Parametrik tenglamalari bilan berilgan 



(K)   

2

2



2

2

0



0

1

1



( 2cos

2sin )


( 2)

2

0



2

2

h



t

t dt

dt







  


           (17) 



                                           

chiziq markazi koordinata boshida va radiusi 1 ga teng bo’lgan aylanadan iborat 

bo’lib, (16) sistemaning yechimidir. (16) sistemaning umumiy yechimi  

0

0



0

0

2(



)

2(

)



cos(

)

sin(



)

,

1



1

t t

t t

t

t

t

t

x

y

Ce

Ce







 



formula bilan ifodalanadi.buni isbotlash uchun qutb koordinatalariga o’tish 

yetarli. Bundan C=0 bolsa, yuqorida eslatilgan trayektoriya-aylana hosil bo’ladi. 

Shu yopiq  trayektoriya (16) sistemaning yakkalangan yopiq trayektoriyasidir, 

chunki uning yetarli kichik qiymatlariga mos kelgan boshqa yopiq trayektoriya 

mavjud emas. Endi bu (K) trayektoriyaning turg’unligini Lyapunovning 

harakteristik ko’rsatkichi yordamida tekshiramiz. (17) trayektoriya bo’ylab  

2





 ga teng,  

( ( ), ( ))

P

t

t

x

 


,  



( ( ), ( ))

Q

t

t

y

 


  hosilalarni hisoblaymiz: 



2

2

2



( )

( )


0

( )


( )

(1 3


)

2cos ,


0

x

t

x

t

y

t

y

t

P

x

y

t

t

x







 


 


 



2

2

2



( )

( )


0

( )


( )

(1 3


)

2sin ,


0

x

t

x

t

y

t

y

t

Q

y

x

t

t

y







 


 


 



sodda hisoblashlar yordamida    ni topamiz (

2



): 



2

2

2



2

0

0



1

1

( 2cos



2sin )

( 2)


2

0

2



2

h

t

t dt

dt







  


 



 

 

  



 

 

 



 

 

 



 

 



 

 

Download 0.69 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling