Ускорение сходимости интервального итерационного метода типа рунге профессор Пулатова М. И., ст преп. Хамраева З. Х

УСКОРЕНИЕ СХОДИМОСТИ ИНТЕРВАЛЬНОГО ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА ТИПА РУНГЕ


Профессор Пулатова М.И., ст.преп. Хамраева З.Х.
Бухарский инженерно-технологический институт.
Широкое применение компьютерных технологий в различных областях науки и техники значительно изменило вопрос о точности расчета. Мы вынуждены считаться с определенной длиной слова, неизменным количеством цифр в наших результатах и не можем во время счета подгонять конченые десятичные значения к условиям на практике. Пробуют преодолеть эту трудность путем ввода достаточно большого количества запасных цифр, но и это не всегда приводит к желаемым результатам. Использование интервального анализа помогает нам в решении этой трудности.

Следует построить интервальный аналог итерационного метода типа Рунге, автоматически учитывающий и оценивающий все погрешности при реализации метода на компьютере.

Дальнейшее улучшение метода, состоит в следующем. Вместо интервалов можно взять числа

Коробку вычисляем так:

Для ограничения ошибок все вычисления проводим в интервальной арифметике. При этом скорость сходимости метода возрастает не менее, чем на два порядка. Для нахождения всех действительных решений системы нелинейных уравнений при неубывании ширины интервала хотя бы по одной координате производим деление соответствующих промежуточных интервалов с последующим анализом каждого такого подинтервала.

Эффективность метода еще более возрастает, если вычисление проводить так:

Соответственно меняется и процедура вычисления матрицы .
Значение обратных матриц можно удерживать постоянным на протяжении ряда итераций и даже на протяжении всех вычислений. Однако, это уменьшает скорость сходимости.
Для определения комплексных решений рассматриваем представление этого метода в комплексной интервальной арифметике.

Литература:

1. 
   Г.Алефельд, Ю.Херцбергер. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 2002, 353с.
   
2. 
   П.С.Сеньо. Построение интервального метода типа Рунге. Львов, 2005, с.50-51.