Uzluksiz tasodifiy miqdor va uning taqsimot (integral) funktsiyasi. Xossalari. Grafigi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi va uning grafigi. Tasodifiy miqdorning ma`lum oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimolligi
Download 205.32 Kb. Pdf ko'rish
|
6-Maruza AY SI 3-Semestr 20-21 013edb8362b5d5c0bfd5ae37c898bb5c
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2-misol.
- 6.1-teorema.
|
6-mavzu Uzluksiz tasodifiy miqdor va uning taqsimot (integral) funktsiyasi. Xossalari. Grafigi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi va uning grafigi. Tasodifiy miqdorning ma`lum oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimolligi Diskret tasodifiy miqdor uning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari va mos ehtimolliklari bilan berilishi mumkin. Biroq bu usulni uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun qo‘llab bo‘lmaydi. Masalan, mumkin bo‘lgan qiymatlari intervalni to‘ldiruvchi X tasodifiy miqdorni ko‘rib chiqaylik. X ning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlari ro‘yxatini tuzish mumkin emasligi ravshan. Shuning uchun ixtiyoriy turdagi tasodifiy miqdorlarni berishning umumiy usulini kiritish maqsadga muvofiqdir, buning uchun tasodifiy miqdor ehtimolliklarining taqsimot funksiyalari kiritiladi.
qilishidan iborat hodisaning ehtimolligini orqali belgilaymiz. Agar x o‘zgarsa, ham o‘zgaradi, ya'ni x ning funksiyasidir. X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deb
(6.1) funksiyaga aytiladi. Taqsimot funksiyasining xossalarini ko‘rib chiqaylik.
kesmada yotadi:
. (6.2) Isbot. Bu xossa taqsimot funksiyasining ehtimollik sifatida ta'riflanishidan kelib chiqadi: ehtimollik doimo 1 dan katta bo‘lmagan nomanfiy sondir. 6.2-xossa. —kamaymaydigan funksiya, ya'ni: agar
. (6.3) )
( b a x X ) (x F ) (x F ) (x F ) ( ) (
X P x F ] 1 , 0 [ 1 ) ( 0
F ) (x F 2 1 x x ) ( ) ( 2 1
F x F
2
intervalda yotuvchi qiymatni qabul qilish ehtimolligi taqsimot funksiyasining shu intervaldagi orttirmasiga teng:
. (6.4)
1-misol. X tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot funksiyasi bilan berilgan: . Tajriba natijasida X tasodifiy miqdor intervalga tegishli qiymatni qabul qilishining ehtimolligi topilsin: . Yechish. Shartga ko‘ra intervalda
bo‘lgani uchun bo‘ladi. Demak,
. 6.2-natija. X uzluksiz tasodifiy miqdorning aniq bir qiymatni qabul qilishining ehtimolligi nolga teng.
qiymatlari intervalga tegishli bo‘lsa, u holda: 1) da ; 2) da . Isbot. 1) bo‘lsin. U holda hodisa mumkin bo‘lmagan hodisadir (chunki, shartga ko‘ra, X miqdor dan kichik qiymatlarni qabul qilmaydi), demak, uning ehtimolligi nolga teng. 2)
bo‘lsin. U holda hodisa muqarrar hodisadir (chunki X ning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari dan kichik), demak, uning ehtimolligi birga teng.
) , ( b a ) ( ) ( ) ( a F b F b X a P 1 3 4 1 4 3 1 0 1 ) ( да x x да x да x x F ) 2 , 0 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 2 0 ( F F X P ) 2 , 0 ( 4 1 4 ) (
x F 2 1 ) 4 1 4 0 ( ) 4 1 4 2 ( ) 0 ( ) 2 ( F F 2 1 ) 2 0 ( X P ) , ( b a a x 0 ) ( x F b x 1 ) ( x F a x 1 1 x X 1 x b x 2 2 x X 2 x 3
; . (6.5)
Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining grafigi 6.1- xossaga asosan , to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan soha ichida joylashgan. 6.2-xossadan shu narsa kelib chiqadiki, tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlari joylashgan intervalda x o‘zgaruvchi o‘sganda, grafik yo yuqoriga qiya, yo gorizontal ko‘rinishda bo‘ladi. 6.3-xossaga asosan da grafikning ordinatalari nolga teng; da esa grafikning ordinatalari birga teng. Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining grafigi 6.1- rasmda joylashgan.
6.1 - rasm.
Diskret tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining grafigi pog‘ona ko‘rinishda bo‘ladi. 2-misol. X diskret tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan: 6.1 – j a d v a l
1 4 8 0,3
0,1 0,6
Taqsimot funksiyasi topilsin va uning grafigi chizilsin. Yechish. Agar bo‘lsa, u holda 6.3-xossaga asosan . Agar bo‘lsa, u holda . Haqiqatan, X miqdor 1 qiymatni 0,3 ehtimollik bilan qabul qilishi mumkin. 0 ) ( lim
x F x 1 ) ( lim
x F x 0 y 1 y ) , ( b a a x
x
x i p 1 x 0 ) (
F 4 1
3 ,
) ( x F F(x) 1 0 a b x 4 Agar bo‘lsa, u holda . Haqiqatan, agar
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda
hodisaning ehtimolligiga teng bo‘lib, bu hodisa X miqdor 1 qiymatni 0,3 ehtimollik bilan yoki 4 qiymatni 0,4 ehtimollik bilan qabul qilganda amalga oshishi mumkin. Bu ikkita hodisa birgalikda bo‘lmagani uchun 2.1-teoremaga asosan hodisaning ehtimolligi ehtimolliklar yig‘indisiga teng 0,3 + 0,1 = 0,4. Agar
bo‘lsa, u holda 6.3-xossaga asosan . Shunday qilib, taqsimot funksiyasi analitik ko‘rinishda quyidagicha yozilishi mumkin: . Bu funksiyaning grafigi 6.2-rasmda keltirilgan.
6.2 - rasm.
Uzluksiz tasodifiy miqdorni zichlik funksiyasi deb ataluvchi boshqa funksiyadan foydalangan holda ham berish mumkin. X uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi deb
(6.6) funksiyaga aytiladi. Bu yerdan taqsimot funksiyasi zichlik funksiyasi uchun boshlang‘ich funksiya ekanligi kelib chiqadi. Diskret tasodifiy miqdorning ehtimolliklari taqsimotini tasvirlash uchun zichlik funksiyasidan foydalanib bo‘lmaydi. 8 4
x 4 , 0 ) ( x F 1
8 4
) (
x F 1
X 1 x X 8 x 1 ) (
F 1 8 4 , 0 8 4 3 , 0 4 1 0 1 ) ( да x да x да x да x x F ) ( ) (
F x f F(x) 1 0 4 8
1 0,4
0,3 5 Zichlik funksiyasini bilgan holda, uzluksiz tasodifiy miqdor berilgan intervalga tegishli qiymat qabul qilishining ehtimolligini hisoblash mumkin. 6.1-teorema. X uzluksiz tasodifiy miqdor intervalga tegishli qiymat qabul qilishining ehtimolligi zichlik funksiyasidan a dan b gacha olingan aniq integralga teng:
. (6.7) Isbot. (6.4) formulaga asosan
bo‘ladi. Nyuton–Leybnits formulasiga asosan esa munosabat o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, . bo‘lgani uchun ni hosil qilamiz. 3-misol. X tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan: . Tajriba natijasida X tasodifiy miqdor intervalga tegishli qiymatni qabul qilishining ehtimolligi topilsin. Yechish. (6.7) formulaga asosan izlanayotgan ehtimollik ga teng.
zichlik funksiyasini bilgan holda taqsimot funksiyasini ) ,
b a
a dx x f b X a P ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
F b F b X a P
a b a dx x f dx x F a F b F ) ( ) ( ) ( ) ( b a dx x f b X a P ) ( ) ( ) ( ) ( b X a P b X a P b a dx x f b X a P ) ( ) ( 0 1 2 1 0 0 0 ) (
x x да x да x x f ) 1 ; 5 , 0 ( 75 , 0 25 , 0 1 2 ) 1 5 , 0 ( 1 5 , 0 2 1 5 , 0 | x dx x X P ) (x f ) (x F 6
(6.8) formula bo‘yicha topish mumkin 4-misol. Berilgan zichlik funksiyasi bo‘yicha taqsimot funksiyasi topilsin: . Topilgan funksiyaning grafigi yasalsin. Yechish. (6.8) formuladan foydalanamiz. Agar bo‘lsa, u holda , demak, . Agar bo‘lsa, u holda , demak, . Agar bo‘lsa, u holda . Demak, izlanayotgan taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega . Bu funksiyaning grafigi 6.3 rasmda tasvirlangan.
6.3 - rasm.
Zichlik funksiyasining ikkita xossasini keltiramiz. x dz z f x F ) ( ) ( 0 ) ( 1 0 ) ( да b x a b да b x a да a x x f a x 0 ) ( x f 0 ) (
F b x a ) ( 1 ) (
b x f a b a x dz a b dz dz z f x F x a a x 1 0 ) ( ) ( b x 1 0 1 0 ) ( a b a b dz dz a b dz x F x b b a a 1 ) ( ) ( 0 ) (
b x a b a x да b x a да a x x F F(x) 1 0 a b x 7
. (6.9) Isbot. Taqsimot funksiyasi — kamaymaydigan funksiya, demak, uning hosilasi — nomanfiy funksiya.
. (6.10)
0 ) ( x f ) ( ) (
f x F 1 ) (
x f Download 205.32 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|