Weak Derivatives

Yuliya Gorb

Weak Derivatives

Lecture 26

November 26, 2013

Lecture 26

Weak Derivatives

Yuliya Gorb

Weak Derivatives

Suppose Ω ⊂ R

n

is an open set.

Definition

A function f ∈ L

1

loc

(Ω) is weakly differentiable w.r.t. x

i

if there exists a function

g

i

∈

L

1

loc

(Ω) s.t.

Z

Ω

f

∂φ

∂x

i

dx

= −

Z

Ω

g

i

φ dx,

for all φ ∈ C

∞

c

(Ω).

The function g

i

is called the

weak ith partial derivative

of f , and denoted

∂f

∂x

i

.

Since C

∞

c

(Ω) is dense in L

1

loc

(Ω), the weak derivative of a function, if it exists,

is

unique

up to pointwise (p.w.) almost everywhere (a.e.) equivalence.

The weak derivative of a continuously differentiable function coincides with the

p.w. derivative.

However, the existence of a weak derivative is not equivalent to the existence

of a p.w. derivative a.e.

Lecture 26

Weak Derivatives

Yuliya Gorb

Weak Derivatives (cont.)

Definition

Suppose that α ∈ N

n

0

is a multi-index. A function f ∈ L

1

loc

(Ω) has

weak derivative D

α

f

=

∂

α

f

∂x

α

i

∈ L

1

loc

(Ω) if

Z

Ω

∂

α

f

∂x

α

i

φ dx

= (−1)

|α|

Z

Ω

f

∂

α

φ

∂x

α

i

dx

,

for all φ ∈ C

∞

c

(Ω).

Lecture 26

Weak Derivatives

Yuliya Gorb

Examples

Ex. 1 (n=1): Continuous function and weakly differentiable

Consider f (x) = |x| ∈ C (R). Then f is weakly differentiable, with

f

′

(x) =

(

−1,

x

<

0

1,

x

≥ 0

Ex. 2 (n=1): Discontinuous function f : R → R

The function

f

(x) =

(

−1, x < 0

1,

x

≥ 0

is

not

weakly differentiable.

Lecture 26

Weak Derivatives

Yuliya Gorb

Examples (cont.)

Ex. 3 (n=1): Continuous but not weakly differentiable

Consider a continuous function that is p.w. differentiable a.e. but

does not have a weak derivative:

the

Cantor function

c

(x) ∈ C [0, 1]

Ex. 4: n-dim

For a ∈ R define f : R

n

→ R by

f

(x) =

1

|x|

a

is weakly differentiable if a + 1 < n with weak derivative

∂f

∂x

i

(x) = −

a

|x|

a

+1

x

i

|x|

Lecture 26

Weak Derivatives

Yuliya Gorb

References

Evans pp. 256–258

Lecture 26

Weak Derivatives

---

Document Outline

• Yuliya Gorb