Xayriyeva Nargiza Ziyoviddin qizi «Fundamental yechim tushunchasi va matematik fizikaning klassik tenglamalarining fundamental yechimlari»


Download 0.86 Mb.
bet1/3
Sana04.12.2020
Hajmi0.86 Mb.
  1   2   3

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS

TA’LIM VAZIRLIGI

BUXORO DAVLAT UNIVERSITETI

Fizika –matematika fakulteti

“Matematika” kafedrasi

Xayriyeva Nargiza Ziyoviddin qizi

«Fundamental yechim tushunchasi va matematik fizikaning klassik tenglamalarining fundamental yechimlari»

5130100-“Matematika” ta’lim yo’nalishi bo’yicha bakalavr

darajasini olish uchun



BITIRUV MALAKAVIY ISHI



“Ish ko’rildi va himoya qilishga

ruxsat berildi”

Kafedra mudiri

___________ I.M.Jo’rayev

“_______” ______________ 2017 y.


Ilmiy rahbar ________ prof.D.Q.Durdiyev

“_______” _________________2017 y.

Taqrizchi _____________ dots.M.X.Teshayev

“_______” ______________ 2017 y.




“Himoya qilishga ruxsat berildi”

Fakultet dekani __________ SH.M.Mirzayev

“_______” ______________ 2017 y.





Buxoro-2017

MUNDARIJA

Kirish…………..………………………………………………………………….3

I bob. Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalaning qo’yilishi.

1.1. Matematik fizikaning asosiy tenglamalari haqida ma’lumot……… ……….11

1.2. Matematik fizika tenglamalariga qo’yiladigan asosiy masalalar, hamda korrekt qo’yilgan masalalar ………………………………………………………………21

Xulosa


II bob. Matematik fizika tenglamalarining fundamental yechimlari.

2.1. To’lqin tarqalish tenglamasining fundamental yechimi...................................30

2.2. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi.......................41

2.3. Laplas tenglamasining fundamental yechimi...................................................51

Xulosa

Xotima....................................................................................................................62



Foydalanilgan adabiyotlar ..................................................................................63

KIRISH

Ta’lim va ma’rifat tizimini takomillashtirish, mamlakatimiz kelajagi bo’lgan yoshlarni zamonaviy bilim olishga yo’naltirish, barkamol shaxsni tarbiyalash bilan bog’liq ekanini biz yaxshi anglaymiz.

SH.M.Mirziyoev

Konstitutsiyamizda belgilab berilgan asosiy maqsadlarimiz barchamizga yaxshi ma’lum. Ya’ni, Bosh qomusimiz bozor iqtisodiyotiga asoslangan mustaqil demokratik davlat qurish, inson manfaatlari, huquq va erkinliklari, qonun ustuvorligi va mamlakatimiz barcha fuqarolari uchun qonun oldida tenglik tamoyili ta’minlanadigan fuqarolik jamiyatini shakllantirishning mustahkam poydevorini yaratib berdi.

O‘zbekistonimizga mos tarixiy, milliy, an’anaviy va iqtisodiy vaziyat va xususiyatlarni inobatga olmasdan turib, “bozor iqtisodiyotining shiddatli girdobiga o‘zingni tashlasang, uning o‘zi ko‘zlangan manzilga olib chiqadi” degan xom xayollardan butunlay voz kechdik. Va bugungi kunda butun dunyoda tan olingan, “o‘zbek modeli” deb nom olgan jamiyatimizni tubdan isloh etish, erkinlashtirish, demokratik yangi davlat qurish, uni modernizatsiya qilish bo‘yicha puxta o‘ylangan taraqqiyot yo‘limizni tanlab oldik.

Biz tanlagan va mashhur besh tamoyilga asoslangan taraqqiyot modelining naqadar haqqoniy va samarali ekani biz qurayotgan yangi demokratik tizimda, iqtisodiyotimiz rivojlanishining barqaror, barchani hayratda qoldirayotgan sur’atlarida, xalqimizning hayot darajasi va sifati ortib borayotganida o‘zining amaliy tasdig‘ini topmoqda.

O‘tgan davrda biz duch kelgan og‘ir sinov va muammolarga qaramasdan, mustaqillik yillarida O‘zbekiston iqtisodiyoti qariyb 5 barobar, aholi daromadlari jon boshiga o‘rtacha 8,7 barobar o‘sganini, mamlakatimiz aholisi bu davrda 1,5-marta ko‘payib, 2015-yilning 1-yanvarida 31 million 500 ming kishini tashkil etishini inobatga oladigan bo‘lsak, bunday ulkan natijalarga erishganimizni, ochig‘ini aytganda, ba’zan tasavvur qilishning o‘zi ham qiyin.

Mamlakatimizda amalga oshirilayotgan olamshumul o‘zgarishlar, shahar va qishloqlarimizning qiyofasi tobora chiroy ochib, aholimizning farovonligi yuksalib borayotgani haqida gapirganda, bunday yangilanishlarning g‘oyat muhim manbalari – avvalo, odamlarimizning ongu tafakkuri, dunyoqarashi va kayfiyati tubdan o‘zgarib, ularning yon-atrofimizda ro‘y berayotgan voqea-hodisalarga daxldorlik hissi, ertangi kunga munosabati va ishonchi tobora mustahkamlanib, siyosiy saviyasi va huquqiy madaniyati o‘sib borayotgani haqida alohida to‘xtalishni o‘rinli deb bilaman.

Jahon tarixi barchamizga bir haqiqatni doimo eslatib turadi – hayotimiz taraqqiyoti hech qachon bir joyda to‘xtab turmaydi, xuddi shu kabi jamiyatimizni isloh etish va demokratlashtirish, mamlakatni modernizatsiya qilish va yangilash bir muddatlik ish emas, balki muntazam davom etadigan uzluksiz jarayondir.

Ayniqsa, bugun biz XXI asrda – intellektual mehnat birlamchi ahamiyat kasb etayotgan globallashuv va internet asrida yashayotganimizni hisobga oladigan bo‘lsak, jahon bozorida raqobat kurashining miqyosi va keskinligi tobora ortib borayotgani bu haqiqatni yana tasdiqlab bermoqda.

Shuning uchun ham qo‘lga kiritilgan yutuqlar bilan chegaralanmasdan, xotirjamlik va havolanish kayfiyatiga berilmasligimiz, aksincha, yangi marralar sari intilishimiz, doimo izlanib yashashimiz, taraqqiyot va yangilanish yo‘lidan izchillik bilan yanada ilgarilab borishimiz zarur.

Istiqlol mamlakatimiz yosh olimlariga jahon ilm-fani oldida turgan dolzarb masalalarni hal etishda faol ishtirok etish imkonini berdi. Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy universiteti huzurida Kembrij universiteti (Buyuk Britaniya) ishtirokida Yuqori texnologiyalar markazining tashkil etilgani ham bunga yorqin misoldir. Innovatsion loyihalar ishlab chiquvchilar orasida yosh mutaxassislarning ulushi tobora ortib borayotir. Yosh olimlar kengashi iste’dodli yoshlarni qo‘llab-quvvatlash maqsadida ilmiy va innovatsion faoliyatni rivojlantirish bo‘yicha ilm-fan yo‘lini tanlagan yoshlarni rag‘batlantirishga qaratilgan maqsadli strategiyani ishlab chiqdi.

Respublikamiz mustaqillikka erishgandan keyin bizning o’zbek yigit-qizlari jahon arenalarida sport va ilm-fanning turli sohalarida yutuqlarga erishib yurtimiz sharafini himoya qilishmoqda. Ularga o’z sohasini mukammal biladigan mutaxassislar bo’lib yetishishi uchun jahon standartlari darajasida bilim berish, fanlarni chuqur o’rgatish, fanning ishlab chiqarish bilan aloqasini mustahkamlash bugungi kunning muhim vazifalaridan biridir.

O‘zbekiston mustaqilligining 21-yilligi arafasida Fanlar akademiyasining Astronomiya institutiga yaponiyalik olimlar tomonidan 22948-kichik sayyora-asteroid kashf etilgani, unga Xalqaro astronomiya ittifoqi "Maydanak" nomini bergani ham olimlarimiz ilmiy yutuqlari e’tirofidan dalolatdir. Garvard kichik sayyoralar markazi tomonidan chop etilgan xabarda Maydanak O‘zbekistonda joylashgan jahon miqyosidagi astronomik observatoriya ekani ta’kidlangan. Umuman, chet ellik astronomlar turli vaqtlarda kashf etilgan besh kichik sayyoraga jahon ilm-fani rivojiga beqiyos hissa qo‘shgan buyuk ajdodlarimiz sharafiga O‘zbekiston, Avitsenna, Ulug‘bek, Beruniy va Xorazmiy nomini bergan. Yana bir sayyora 2009-yilda o‘zbekistonlik olimlar tomonidan Maydanak observatoriyasida kashf etildi. Birinchi prezidentimiz Islom Karimovning taklifiga binoan unga azaldan jahon astronomiyasi markazi bo‘lgan shahar Samarqand nomi berildi.


O‘tgan yillar davomida Fanlar akademiyasi olimlari xalqaro ahamiyatga molik boshqa ko‘plab muhim fundamental ilmiy natijalarga erishdi. Gen-nokaut texnologiyasi yordamida g‘o‘zaning ildiz tizimi rivojlangan, hosildorligi yuqori, tolasi sifatli, ertapishar va sho‘rlanishga chidamli noyob transgen navining yaratilgani mamlakatimiz paxtachiligida erishilgan eng katta ilmiy yutuq bo‘ldi. Olimlarimiz tomonidan serhosil "Mehnat" va "AN-16" g‘o‘za navlari ham yaratilib, ular har yili katta maydonlarda yetishtirilmoqda. Bundan tashqari, 10 jildli noyob "Tabiiy birikmalar (tabiiy resurslar, tuzilma va xususiyatlar)" ilmiy-amaliy nashri tayyorlanib, ilk bor ingliz tilida chop etildi, mahalliy o‘simlik xomashyosi asosida o‘ttizdan ziyod dorivor preparatlar yaratildi.
Ayni paytda O‘zbekiston Fanlar akademiyasi muassasalarining jahondagi yirik ilmiy markazlar bilan to‘g‘ridan-to‘g‘ri ilmiy aloqalari tenglik va o‘zaro manfaatdor. Oliy ta’lim muassasalarida tabiiy fanlarning o‘qitilishi integratsiyasining afzalligi, birinchidan, mavzu, bo‘lim, bob va fanlararo bog‘lanishlar natijasida talabalarda mustaqil fiklash, tashabbuskorlik, bilimlarni puxta va ongli o‘zlashtirish ko‘nikmalari takomilrlashadi, ular tabiiy va ijtimoiy hodisalarni kuzatadi, qiyoslaydi, xulosalaydi va xotirada saqlaydi. Natijada talabada ijodiy tafakkur, mustaqil ishlash qobilyati rivojlantiradi.lik asosida sezilarli ravishda kengayib bormoqda. Har qanday voqelik makon va zamonda ro‘y berishi tabiiy fan namoyandalarning doimiy e’tiborida bo‘lib kelgan. Akademik I. P. Gerasimovning bilimlarni kundalik hayot bilan uyg‘unlashtirish jamiyatning muhim talabi ekanligini ta’kidlab o‘tganligi zamonaviylik sifat ko‘rsatgichiga mos keladi.

XXI asrga kelib, tabiat va jamiyat munosabatlari tufayli 40 dan ziyod sayyoraviy-global muammolar yuzaga keldi-ki, ularning vujudga kelishida asosan inson omili yetakchilik qiladi. Demak, dunyo hamjamiyati mazkur muammolarni bartaraf qilishda antropogen omillarga katta e’tibor qaratmoqda. Har bir kishi tabiat boyliklaridan samarali, tejab, asrab-avaylab foydalanishi bugungi kunning talabi ekanligini doimo mas’uliyat bilan his qilishi lozim.

Mamlakatimizda mazkur yo‘nalishning echimi sifatida “Komil inson” tarbiyasi asos qilib olindi. “Komil inson” ning asosiy fazilatlaridan biri uning ma’naviy etukligidir. O‘zbekiston Respublikasi birinchi prezidenti I. A. Karimovning “Yuksak ma’naviyat – yengilmas kuch” nomli asarida ma’naviyat tushunchasi shunday ta’riflangan: “Ma’naviyat tushunchasi jamiyat hayotidagi g‘oyaviy, mafkuraviy, ma’rifiy, madaniy, diniy va axloqiy qarashlarni o‘zida to‘la mujassam etadi ” (20 b.). Mazkur ma’naviyat so‘zining poydevorlaridan biri sifatida ma’rifat va madaniyat tushunchalarining ham alohida qayd qilinganligi e’tiborga loyiq. Komil insondagi asosiy xususiyatlardan yana biri fan sirlarini chuqur o‘zlashtirishidir. Ushbu vazifani fanlar amalga oshiradi. Bugungi kunda olimlar o‘rtasida fan tushunchasi o‘rniga fanlar tizimi (sistema) so‘zi keng iste’molga kirdi.

O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti SH. MIRZIYOEV 2017 yil 7 fevral

Ta’lim va fan sohasini rivojlantirish borasida chiqargan qonunda quyidagilar aytilgan: Uzluksiz ta’lim tizimini yanada takomillashtirish, sifatli ta’lim xizmatlari imkoniyatlarini oshirish, mehnat bozorining zamonaviy ehtiyojlariga mos yuqori malakali kadrlar tayyorlash siyosatini davom ettirish;

ta’lim muassasalarini qurish, rekonstruksiya qilish va kapital ta’mirlash, ularni zamonaviy o‘quv va laboratoriya asboblari, kompyuter texnikasi va o‘quv-metodik qo‘llanmalar bilan jihozlash orqali ularning moddiy-texnika bazasini mustahkamlash yuzasidan maqsadli chora-tadbirlarni ko‘rish;

maktabgacha ta’lim muassasalari tarmog‘ini kengaytirish va ushbu muassasalarda bolalarning har tomonlama intellektual, estetik va jismoniy rivojlanishi uchun shart-sharoitlarni tubdan yaxshilash, bolalarning maktabgacha ta’lim bilan qamrab olinishini jiddiy oshirish va foydalanish imkoniyatlarini ta’minlash, pedagog va mutaxassislarning malaka darajasini yuksaltirish;

umumiy o‘rta ta’lim sifatini tubdan oshirish, chet tillar, informatika hamda matematika, fizika, kimyo, biologiya kabi boshqa muhim va talab yuqori bo‘lgan fanlarni chuqurlashtirilgan tarzda o‘rganish;

bolalarni sport bilan ommaviy tarzda shug‘ullanishga, ularni musiqa hamda san’at dunyosiga jalb qilish maqsadida yangi bolalar sporti ob’ektlarini, bolalar musiqa va san’at maktablarini qurish, mavjudlarini rekonstruksiya qilish;

kasb-hunar kollejlari o‘quvchilarini bozor iqtisodiyoti va ish beruvchilarning ehtiyojlariga javob beradigan mutaxassisliklar bo‘yicha tayyorlash hamda ishga joylashtirish borasidagi ishlarni takomillashtirish;

ta’lim va o‘qitish sifatini baholashning xalqaro standartlarini joriy etish asosida oliy ta’lim muassasalari faoliyatining sifati hamda samaradorligini oshirish, oliy ta’lim muassasalariga qabul kvotalarini bosqichma-bosqich ko‘paytirish;

ilmiy-tadqiqot va innovatsiya faoliyatini rag‘batlantirish, ilmiy va innovatsiya yutuqlarini amaliyotga joriy etishning samarali mexanizmlarini yaratish, oliy o‘quv yurtlari va ilmiy-tadqiqot institutlari huzurida ixtisoslashtirilgan ilmiy-eksperimental laboratoriyalar, yuqori texnologiya markazlari va texnoparklarni tashkil etish.

Yoshlarga oid davlat siyosatini takomillashtirish:

jismonan sog‘lom, ruhan va aqlan rivojlangan, mustaqil fikrlaydigan,

Vatanga sodiq, qat’iy hayotiy nuqtai nazarga ega yoshlarni tarbiyalash, demokratik islohotlarni chuqurlashtirish va fuqarolik jamiyatini rivojlantirish jarayonida ularning ijtimoiy faolligini oshirish;

o‘rta maxsus, kasb-hunar va oliy ta’lim muassasalari bitiruvchilarini ishga joylashtirish hamda xususiy tadbirkorlik sohasiga jalb etish;

yosh avlodning ijodiy va intellektual salohiyatini qo‘llab-quvvatlash va ro‘yobga chiqarish, bolalar va yoshlar o‘rtasida sog‘lom turmush tarzini shakllantirish, ularni jismoniy tarbiya va sportga keng jalb etish;

yoshlarni ijtimoiy himoya qilish, yosh oilalar uchun munosib uy-joy va ijtimoiy-maishiy sharoitlarni yaratish;

yoshlarga oid davlat siyosatini amalga oshirishda davlat hokimiyati va boshqaruvi organlari, ta’lim muassasalari, yoshlar va boshqa tashkilotlarning samarali faoliyatini tashkil etish.

Fan so‘zining etimologiyasi “haqiqat”, “bilish” ma’nolarini anglatadi. Haqiqatni yuzaga chiqarishda fanlarning o‘zaro hamkorligi katta ahamiyatga ega.

Muammolarning serqirraligi, uning yechimida bir necha fanlarning o‘zaro hamkorligi, qolaversa asrlar o‘tishi bilan ma’lum fanning bir necha fanlarga bo‘linishi bunday yondashuvning asosiy sababi hisoblanadi. Tabiat to‘g‘risidagi ilmiy bilimlar yig‘indisi tufayli tabiiy fanlar shakllangan. Unga fizika, kimyo, biologiya, geografiya, geologiya, anatomiya, kosmologiya fanlari, shuningdek, geokimyo, geofizika, meteorologiya, fiziologiya astrokimyo, biokimyo, antropologiya kabi o‘ndan ortiq oraliq fanlar kiradi. Galaktika, Quyosh sistemasi, sayyoralar va Yer, inson, hayot, materiya mazkur fanlarning fundamental tushunchasi bo‘lib, geografik qobiq, biosfera, ekotizm (ekosistema), sotsiosistema esa o‘rganish ob’ekti va predmetidir. Albatta, matematika to‘g‘ridan-to‘g‘ri tabiiy fanlar tarkibiga kirmasa ham, tabiiy fan olimlarining tadqiqotlari uchun asos hisoblanadi.

Bitiruv malakaviy ishining dolzarbligi: Respublikamiz mustaqillikka erishgandan keyin bizning o’zbek yigit-qizlari jahon arenalarida sport va ilm-fanning turli sohalarida yutuqlarga erishib yurtimiz sharafini himoya qilishmoqda. Ularga o’z sohasini mukammal biladigan mutaxassislar bo’lib yetishishi uchun jahon standartlari darajasida bilim berish, fanlarni chuqur o’rgatish, fanning ishlab chiqarish bilan aloqasini mustahkamlash bugungi kunning muhim vazifalaridan biridir. Malakaviy bitiruv ishi matematik fizika tenglamalari fanida muhim o`rin tutgan fundamental yechim tushunchasi va matematik fizikaning klassik tenglamalarining fundamental yechimlariga bag’ishlangan bo`lib, talabalar bunday masalalarni yechishda qator qiyinchiliklarga duch keladilar. Buning sababi bunday masalalar mantiqiy fikrlashni, mavzu yuzasidan bilimlarni talab qiladi. Mazkur malakaviy bitiruv ishi mavzuning xuddi shu jihatlarini yoritishga qaratilganligi bilan, qolaversa bir qancha fizik hodisa va jarayonlarning aniq matematik modelini tuzishda hamda uni yechishda qo’l kelganligi bilan dolzarb hisoblanib, unda matematik fizika tenglamalarining fundamental yechimini o’rganish muhim hisoblanadi. Shu fundamental yechim asosida matematik fizika tenglamalariga qo’yilgan masalaning yechimi quriladi.

Tadqiqot ob’ekti va predmeti: matematik fizikaning klassik tenglamalari, yechimlardan iborat.

Bitiruv malakaviy ishning asosiy maqsadi va vazifalari:

1. Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalaning qo’yilishi;

2. Matematik fizika tenglamalarining fundamental yechimlari.

Tadqiqot usuli va uslubiyoti: Matematik fizika tenglamalari fanining nazariy va amaliy metodlari (masalan, Fur’ye usuli) hamda matematik fizika masalalar to’plamidan foydalanildi.

Olingan asosiy natijalar: Mavzu va mavzuga oid misol-masalalar, ularning qiyinlik darajasi, nozik va murakkab tomonlari tahlil va tadqiq qilingan.

Natijalarning ilmiy yangiligi va amaliy ahamiyati: bu bitiruv malakaviy ishi ilmiy xarakterga ega bo’lib , BMIning amaliy ahamiyati mavzu va mavzuga oid misol-masalalarni tahlil hamda tadqiqi hisoblanadi. Fizika va boshqa tabiiy fanlar masalalari differensial tenglamalar nazariyasini muammolar bilan ta’minlab turadi. Ammo shunday ham bo’lish mumkinki, matematik tadqiqotlar, bir oz vaqt o’tganidan so’ng aniq fizikaviy muammolarda o’z aksini topadi.

Tadbiq etish darajasi va iqtisodiy samaradorligi. Qo’llanish sohasi. Xulosa va takliflar. Olingan natija matematik va fizik talaba yoshlar hamda o’qituvchilar uchun muhim qo’llanma sifatida va murakkablik darajasi ancha yuqori bo’lgan bir qancha masalalarni yechishda amaliy asos bo’lishi mumkin.

Bitiruv malakaviy ishning hajmi va tuzilishi: BMI kirish, ikki bob, besh paragraf, ikki bobning xulosasi, xotima va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.

I.Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalaning qo’yilishi.

1.1. Matematik fizikaning asosiy tenglamalari haqida ma’lumot.

Asosiy tenglamalarni keltirib chiqarishdan avval matematik analizdan ma’lum bo’lgan fazoda soha bo’yicha olingan n o’lchovli integralni sohaning chegarasi bo’yicha olingan n o’lchovli integralni sohaning chegarasi bo’yicha olingan (n-1) o’lchovli integral bilan almashtirish imkonini beradigan Gauss-Ostragradskiy formulasini eslatib o’tamiz.

funksiyalar bo’laklari silliq S sirt bilan chegaralangan S yopiq sohada uzluksiz bo’lib, ularning birinchi tartibli hosilalari da uzluksiz bo’lsin. Quyidagi Gauss-Ostragradskiy formulasi o’rinlidir:

bu yerda lar S sirtda o’tkazilgan tashqi normalning yo’naltiruvchi kosinuslari. Agar funksiyalarni biror P vektorning komponentlari deb hisoblab, uning tashqi normalligi proyeksiyasini orqali belgilab olsak,

bo’ladi.

ni e’tiborga olsak, Gauss-Ostragradskiy formulasi

ko’rinishda yoziladi. Agar normal ichki bo’lsa sirt bo’yicha integral oldida “-” ishora bo’ladi.

1.Tor tebranish tenglamasi. Mexanikaning (Tor, sterjen, membrana, uch o’lchovli hajmlarning tebranishlari), fizikaning (elektromagnit tebranishlar) ko’p masalalari

(1.1.1)


ko’rinishidagi tebranish tenglamalariga olib kelinadi. Bundagi u(x,t) noma’lum funksiya n ta fazoviy koordinatalarga hamda t vaqtga bog’liqdir. -koeffisiyentlar tebranish sodir bo’layotgan muhitning xossalari bilan aniqlanadi, ozod had F(x,t) esa tashqi ta’sirning (ya’ni ta’sir qilayotgan tashqi kuchlarning) intensivligini ifodalaydi. (1.1.1) tenglamada ishtirok etayotgan div va grad operatorlar ta’rifiga asosan

(1.1.1) tenglamaning keltirib chiqarilishini tor tebranishining misolida ko’rsatamiz. Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushuniladi, boshqacha aytganda, tor shunday qattiq jismki, uning uzunligi boshqa o’lchovlaridan anchagina ortiq bo’ladi. Torga ta’sir qilib turgan taranglik kuchi yetarli katta deb faraz qilamiz. Shu sababli torning egilgandagi qarshiligini tarangligiga nisbatan hisobga olmasa ham bo’ladi. Ikki nuqta orasida tarang qilib tortilgan torni tekshiramiz. Aniqlik uchun bu Ox o’qida joylashgan bo’lsin. Biz torning tekis ko’ndalang tebranishini tekshiramiz, ya’ni bu shundy tebranishki tor hamma vaqt bir tekislikda yotadi va torning har bir nuqtasi Ox o’qqa perpendikulyar bo’yicha siljiydi. Bu degan so’z, muvozanat vaqtida x absissaga ega bo’lgan torning nuqtasi Tebranish jarayonida ham shu absissaga ega bo’ladi (1.1.1-chizma)



1.1.1-chizma

Bu nuqtaning ordinatasi u vaqt o’tishi bilan o’zgaradi, ya’ni u torning muvozant holatidan siljishidan iborat. Tor tebranishining matematik qonunini topish uchun u ning t vaqtga bog’liqligini, ya’ni u=u(x,t) funksiyani topish kerak. Biz torning faqat kichik tebranishlarini tekshiramiz, ya’ni u(x,t) va ga nisbatan yuqori tartibli kichiklikdagi miqdorlarni hisobga olamiz.

Tor egilishga qarshilik ko’rsatganligi tufayli, uning t vaqtda x nuqtadagi tarangligi T(x, t) x nuqtaga torga o’tkazilgan urinma bo’yicha yo’nalgan bo’ldi. Torning ixtiyoriy qismini olamiz. Bu qism tebranish davrida shaklga keladi. Buning t vaqtdagi yoy uzunligi

ya’ni kichik tebranishlarda tor qismlarining uzunligi cho’zilmaydi va qisqarmaydi. Demak, Guk qonuniga asosan taranglik miqdori ga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas bo’lib qoladi, ya’ni .

Tor tebranishining tenglmasini chiqarish uchun Dalamber prinsipidan foydalanamiz.

Bunga asosan, torning ajratilgan qismiga ta’sir qiluvchi barcha kuchlarning yig’indisi nolga teng bo’lishi kerak. Birlik uzunlikda hisoblangan va torga Ou o’qqa parallel ta’sir qiladigan tashqi kuch p(x,t) bo’lsin.

qismga ta’sir qiladigan kuch

ga teng bo’ladi.

nuqtadagi tarnglikning Ou dagi proyeksiyasi ga nuqtada esa ga teng bo’ladi. Ushbu

formulaga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. Torning chiziqli zichligi, ya’ni tor kichkina bo’lagi massasining uning uzunligiga bo’lgan nisbatining limiti, bo’lsin.



M nuqta tezligi tezlanishi bo’lganligi uchun bo’lakning inersiya kuchi

ga teng bo’ladi. Dalamber prinsipiga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. va lar ixtiyoriy bo’lgani uchun

(1.1.2)


Bu esa tor kichik ko’ndalang tebtanishlarining tenglamasidir.

Agar zichlik o’zgarmas bo’lsa, torning tebranish tenglamasi

(1.1.3)

ko’rinishida yoziladi, bunda . (1.1.3) tenglama odatda bir o’lchovli to’lqin tenglamasi ham deyiladi. Torga ta’sir qilayotgan tashqi kuch p(x, t)=0 bo’lsa, torning erkin tebranish tenglamasi

(1.1.4)

kelib chiqadi.



      1. ko’rinishidagi

Tenglama egiluvchan sterjenning kichik bo’ylama tebranishlarini ham ifodalaydi, bunda S(x) –sterjen ko’ndalang kesimining yuzi, E(x)-x nuqtadagi Yung moduli.

Xuddi tor tebranish tenglamasiga o’xshash membrananing kichik ko’ndalang tebranishlarining tenglamsi keltirib chiqariladi:

Agar bo’lsa, mebrana tenglamasi

(1.1.5)

ikki o’lchovli to’lqin tenglamasi deyiladi. Uch o’lchovli to’lqin tenglamasi

(1.1.6)


bir jinsli muhitda tovush tarqalishi va elektr o’tkazmaydigan bir jinsli muhitda elektromagnit to’lqinlari tarqalishini ifodalaydi. (1.1.6) tenglamani gazning zichligi, bosimi, tezliklarning potensiali hamda elektr va magnit maydonlari kuchlanishlarining tashkil etuvchilari qanoatlantiradi.

(1.1.3), (1.1.5), (1.1.6) tenglamalar qisqacha

(1.1.7)

ko’rinishida yoziladi, bunda -to’lqin operator (Dalamber operatori):

-Laplas operatori

Tor yoki sterjen tebranish jarayoning fizik ma’nosidan shu narsa kelib chiqadiki, bu jarayonni bir qiymatli ifodalash uchun qo’shimcha u siljish va tezlikning boshlang’ich vaqtidagi qiymatlarini (boshlang’ich shartlar)

berish zarur:

Bundan tashqari torning chetki nuqtalaridagi holatini ham ko’rsatish kerak. Torning tekshirilayotgan qismining ikki cheti mustahkamlangan bo’lsa, izlanayotgan yechim

Shartlarni qanoatlantirishi zarur.

Agar tor yoki sterjenning chetlari mustahkamlanmay, biror qonun bo’yicha harakatlanayotgan bo’lsa,

shartlarni berish kerak.

Agar torning l chetiga berilgan kuch ta’sir qilayotgan bo’lsa,

Haqiqatdan ham bu holda

.

Agar sterjenning ikki yoki bir cheti, masalan x=l elastik mustahkamlangan bo’lib, -mustahkamlik qattiqligi koeffisiyenti bo’lsa, Guk qonuniga asosan



bo’ladi, ya’ni x=l chet siljishi mumkin, ammo mustahkamlanganlikning elastik bu chetda taranglik paydo bo’lishga sabab bo’ladi, bu esa siljigan chetni oldingi holatiga keltirishga intiladi.

Yuqorida keltirib chiqarilgan to’lqin tebranish tenglamalari ravshanki, giperbolik tipga tegishlidir.



2.Issiqlik tarqalish tenglamasi. Issiqlik tarqalish yoki muhitda zarrachalarning diffuziya jarayonlari ushbu umumiy diffuziya tenglamasi bilan ifodalanadi:

(1.1.8)


Issiqlik tarqalish tenglamasini keltirib chiqaramiz. Muhit nuqtasining t vaqtdagi haroratini u(x,t) orqali, shu nuqtani o’z ichiga olgan ixtiyoriy hajm (soha) ni V orqali belgilab olamiz. V ning chegarasi S bo’lsin. Ma’lumki muhit turli qismlarining harorati turlicha bo’lsa, u holda ko’proq qizigan qismdan ozroq qizigan qismga qarab issiqlik harakati sodir bo’ladi. V hajmda vaqt oralig’ida issiqlik o’zgarishini tekshiramiz.

Fur’ye qonuniga asosan, S sirtning qismdan vaqtda o’tuvchi issiqlik miqdori , va haroratning normal bo’yicha hosilasi ga proporsional bo’ladi, ya’ni

(1.1.9)

Bu yerda k>0 funksiya –ichki issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti, n-issiqlik harakati yo’nalishi bo’yicha ga o’tkazilgan normal.

Tekshirilayotgan muhitni izotrop deb hisoblaymiz ya’ni issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti k faqat muhitning

nuqtasiga bog’liq bo’lib, S sirtning normali yo’nalishiga bog’liq emas, boshqacha aytganda issiqlik tarqatayotgan yo’nalishga bog’liq emas. S sirt orqali vaqt oralig’ida



V hajmga kirayotgan issiqlik miqdori (1.1.9) formulaga asosan

(1.1.10)


ga teng, n-S sirtga o’tkazilgan ichki normal, chunki issiqlik S ning ichiga kiryapti. V hajm bo’lagining haroratini vaqtda ga o’zgartirish uchun sarf qilinadigan issiqlik miqdori

ga teng, bunda -muhitning zichligi va issiqlik sig’imi (berilgan jismni ga isitish uchun zarur bo’lgan issiqlik miqdori). Demak, V hajm haroratini ga o’zgartirish uchun zarur bo’lgan issiqlik miqdori

(1.1.11)

ga teng.


bo’lgani uchun (1.1.11) tenglik ushbu ko’rinishda yoziladi:

(1.1.12)

Faraz qilaylik, tekshirilayotgan hajm ichida issiqlik manbalari bo’lsin. Issiqlik manbalarining zichligini (birlik vaqt ichida birlik hajmdan ajralgan yoki unga singib ketgan issiqlik miqdori F(x,t) deb belgilab olamiz.

V hajmdan vaqt oralig’ida ajralayotgan yoki unga singib ketayotgan issiqlik miqdori

ga teng. Endi balans tenglamasini tuzamiz. Ravshanki, , ya’ni

(1.1.13)

u(x,t) funksiyani fazoyiy koordinatalar bo’yicha ikki marta, t bo’yicha bir marta differensillanuvchi va bu hosilalar tekshirilayotgan sohada uzluksiz deb hisoblab,

Tenglikni e’tiborga olsak, Gauss-Ostragradskiy formulasiga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. Bunga asosan (1.1.13) formula ushbu ko’rinishda yoziladi:

.

Bundan darhol V hajm va vaqt oralig’i ixtiyoriy bo’lgani uchun



(1.1.14)

issiqlik tarqalish tenglamasini hosil qilamiz.

Agar muhit bir jinsli bo’lsa,ya’ni funksiyalar o’zgarmas bo’lsa, (1.1.14) tenglama

(1.1.15)

ko’rinishga keladi, bunda

(1.1.15) tenglama issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi ham deyiladi. (1.1.15) tenglamani keltirib chiqarishda fazoviy koordinatalar soni n ni 3 ga teng deb hisoblagan edik. Bu tenglamada n son ixtiyoriy bo’lishi mumkin. Agar tekshirilayotgan muhitda issiqlik manbalari bo’lmasa, ya’ni F=0 bo’lsa, bir jinsli issiqlik o’kazuvchanlik tenglamasi hosil bo’ladi:

Tebranish tenglamalaridek, issiqlik tarqalish jarayonini to’la ifodalash uchun muhitda haroratning boshlang’ich tarqalishi (boshlang’ich shart) hamda muhitning chegarasidagi holati berilishi shart. Boshlang’ich shart, to’lqin tenglamalaridan farqli, u(x,t) funksiyaning boshlang’ich vaqtdagi qiymatini berishdan iboratdir, ya’ni

(1.1.16)

Chegaraviy shartlar haroratning chegaradagi rejimiga qarab turlicha bo’lishi mumkin.

1)Agar S chegarada berilgan bir xil harorat saqlanayotgan bo’lsa, u holda

(1.1.17)

2)Agar S da berilgan issiqlik oqimi bir xil bo’lsa, u holda

(1.1.18)

3) Agar S da issiqlik almashinish sodir bo’layotgan bo’lsa, Nyuton qonuniga asosan

(1.1.19)

bo’ladi. Bunda h-issiqlik almashinish koeffisiyenti, -atrof muhitning harorati xuddi issiqlik tarqalish tenglamasiga o’xshash zarrachalar diffuziyasi tenglamasi keltirib chiqariladi. Faqat bunda Furye qonuni o’rniga birlik vaqtda sirtning ds qismidan o’tuvchi zarrachalar oqimi uchun Nernst qonunidan foydalanish kerak.

Bunga asosan

,

bu yerda D(x) –diffuziya koeffisiyenti, u(x,t)-t vaqtda x nuqtadagi zarrachalar zichligi. u(x,t) zichlik uchun (1.1.8) ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz, unda g’ovaklik koeffisiyentini belgilaydi, q esa muhitning singdirishini ifodalaydi. (1.1.15) issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi parabolik tipdagi tenglamalarning yaqqol vakilidir.



3.Statsionar tenglamalar. Statsionar, ya’ni vaqtga bog’liq bo’lmagan jarayonlar uchun F(x,t)=F(x), u(x,t)=u(x), (1.1.1) tebranishlar hamda (1.1.4) diffuziya tenglamalari ushbu

(1.1.20)

ko’rinishga ega bo’ladi

p=const, q=0 (1.1.20) tenglamadan

(1.1.21)


tenglama hosil bo’ladi. Agar F(x)=0 bo’lsa,

(1.1.22)

Tenglamaga ega bo’lamiz.

(1.1.21) tenglama Puasson, (1.1.22) tenglama esa Laplas tenglamasi deb ataladi .

Statsionar jarayonlarni to’la ifodalash uchun chegaradagi holatni, ya’ni (1.1.17), (1.1.18) va (1.1.19) chegaraviy shartlardan birini berish zarurdir.

Faraz qilaylik, (1.1.7) to’lqin tenglamasida tashqi ta’sir F(x,t) davriy bo’lib, uning chastotasi , amplitudasi

bo’lsin:

.

Agar u(x,t) ni ham chastotali va noma’lum u(x) amplitudali davriy funksiya deb izlasak, ya’ni



u holda u(x) funksiya uchun ushbu

(1.1.23)

statsionar tenglama hosil bo’ladi.

(1.1.23) tenglama Gelmgols tenglamasi deyiladi. Yuqorida keltirilgan statsionar tenglamalar elliptik tipga tegishli bo’lgan tenglamalarning vakilidir.


1.2. Matematik fizika tenglamalariga qo’yiladigan asosiy masalalar, hamda korrekt qo’yilgan masala.

1. Asosiy masalalarning qo’yilishi. Yuqorida ko’rsatib o’tganimizdek asosan biror fizik jarayonni to’la o’rganish uchun, bu jarayonni tasvirlayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang’ich holatini (boshlang’ich shartlarni) va jarayon sodir bo’layotgan sohaning chegarasidagi holatini (chegaraviy shartlarni) berish zarurdir.

Matematik nuqtai nazardan bu narsa differensial tenglamalar yechimining yagona emasligi bilan bog’liqdir.

Oddiy differensil tenglamalar kursidan ma’lumki, n-tartibli

Tenglamaning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liqdir, ya’ni Bu o’zgarmaslarni aniqlash uchun noma’lum funksiya y(x) qo’shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak.

Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun masala murakkabroqdir. Bu tenglamalarning yechimi ixtiyoriy o’zgarmaslarga emas, balki umuman aytganda ixtiyoriy funksiyalarga bog’liq bo’lib, bu funksiyalarning soni tenglamaning tartibiga teng bo’ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarining soni yechim argumentlari sonidan bitta kam bo’ladi.

Jarayon sodir bo’layotgan soha bo’lib, S uning chegarasi bo’lsin. S ni bo’laklari silliq sirt deb hisoblaymiz. Demak, G (1.1.20) tenglamadagi erkli x o’zgaruvchilarning o’zgarish sohasi, ya’ni (1.1.20) tenglamaning berilgan sohasidir. (1.1.1) va (1.1.8) tenglamalarning berilish sohasi asosi G va balandligi T bo’lgan silindrdan iborat deb hisoblaymiz. Bu silindrning chegarasi uning yon sirti ikkita quyi va yuqori asoslaridan iboratdir (1.2.1-chizma).



1.2.1-chizma.(Jarayon sodir bo’layotgan soha)

(1.1.1), (1.1.8), (1.1.20) tenglamalarning koeffisiyentlarini t o’zgaruvchiga bog’liq emas, bularning fizik ma’nosiga ko’ra deb hisoblaymiz.

Nihoyat ko’rilayotgan tenglamalarning matematik ma’nosiga ko’ra shartlarning bajarilishi ham zarurdir. Bularga asosan (1.1.1) tenglama giperbolik, (1.1.8) parabolik, (1.1.20) esa elliptik tipga tegishli bo’ladi. Differensial tenglamalar uchun, asosan, uch tipdagi masalalar bir-biridan farq qiladi.



a) Koshi masalasi. Bu masala, asosan, giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi; G sohada butun fazo bilan ustma-ust tushadi, bu holda chegaraviy shartlar bo’lmaydi.

b) Chegaraviy masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi;S da chegaraviy shartlar beriladi, boshlang’ich shartlar,tabiiy bo’lmaydi.

v) Aralash masala giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi; bo’lib, boshlang’ich va chegaraviy shartlar beriladi.

Yuqorida aytilgan masalalarni har bir tipdagi tenglama uchun qanday qo’yilishini alohida ko’ramiz.



2.Koshi masalasi va uning qo’yilishida xarakteristikalarning roli. (1.1.1) tenglama uchun (giperbolik tip) Koshi masalasi bunday qo’yiladi:

sinfga tegishli, t>0 yarim fazoda (1.1.1) tenglamani va t=+0 da

(1.2.1)

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) funksiya topilsin.

(1.1.8) diffuziya tenglamasi uchun (parabolik tip) Koshi maslasi quyidagicha qo’yiladi:



sinfiga tegishli t>0 yarim fazoda (1.1.8) tenglamani t=+0 da

(1.2.2)


boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) funksiya topilsin.

Keltirilgan Koshi masalasini umumlashtirish mumkin. Shu maqsadda o’zgaruvchili ikkinchi tartibli ushbu kvazi chiziqli differensial tenglamani tekshiramiz:

(1.2.3)

Yetarli silliq sirt va bu sirtga urinma bo’lmagan, uning har bir nuqtasida biror l yo’nalish berilgan bo’lsin. S sirtning biror atrofida (1.2.3) tenglamani va



(1.2.4)

Koshi boshlang’ich shartlarini qanoatlantiruvchi u(x) funksiya topilsin.

Boshlang’ich shartlardan foydalanib, S sirt izlanayotgan funksiyaning barcha birinchi tartibli hosilalarini topish mumkin. Endi oldimizga bunday masala qo’yamiz. (1.2.3) va (1.2.4) shartlardan foydalanib, S sirtda u(x) funksiyaning ((1.2.3) tenglamaning u(x) yechimi mavjud deb faraz qilamiz) ikkinchi tartibli hosilalarini topish mumkinmi?

Avvalo boshlang’ich shartlar gippertekislikda ( o’lchovli yevklid fazosidagi (n-1) o’lchovli tekislik gippertekislik deyiladi; n=3 da gippertekislik oddiy tekislikdan, n=2 esa to’g’ri chiziqdan iboratdir) berilgan holni ko’ramiz:

(1.2.5)


bu yerda l yo’nalish sifatida normal olinayapti. (1.2.5) shartlar asosida gippertekislikda hosildan tashqari u(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini aniqlash mumkin ni aniqlash uchun (1.2.3) tenglamadan foydalanishimiz kerak. Bunda ikki hol bo’lishi mumkin:

1)holda gippertekislikda birdan-bir aniqlash mumkin;

2)holda esa aniqlab bo’lmaydi. Endi umumiy holni, ya’ni boshlang’ich shartlar biror S:

sirtda berilgan holni ko’ramiz. S sirt atrofida o’zgaruvchilar o’rniga yangi o’zgaruvchilarni kiritamiz:

(1.2.6)

Shu bilan birga, funksiyalar yetarli silliq va (1.2.7) almashtirishning yakobiani noldan farqli qilib tanlab olindi. Yangi o’zgaruvchilarga nisbatan (1.2.3) tenglamaning koeffisiyentlarini orqali belgilab olsak,

Tenglikni e’tiborga olib, (1.2.3) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olishimiz mumkin:

(1.2.8)


S sirt tenglamasi esa dan iborat bo’ladi, ya’ni bu holda masala avvalgi xususiy holga keladi:

Agar S sirt (1.2.3) tenglamaning xarakteristik sirti bo’lmasa, bo’ladi. Bu holda (1.2.7) tenglama kirgan barcha hosilalarni da hisoblash mumkin. Agarda S xarakteristik sirt bo’lsa, bo’ladi. Natijada (1.2.7) tenglamada

hosila ishtirok etmaydi. (1.2.7) dan boshlang’ich shartlarga asosan y=0 bo’lganda ushbu

tenglik hosil bo’ladi.

Bu tenglikdan darhol shu narsa kelib chiqadiki, agar S xarakteristik sirt bo’lsa, boshlang’ich shartlarda berilgan va funksiyalar o’zaro bog’langan bo’lib qoladi. Demak, xarakteristik sirtda boshlang’ich shartlarni ixtiyoriy berilishi mumkin emas. Bu holda Koshi masalasi umuman yechimga ega bo’lmasligi mumkin yoki yechimga ega bo’lsa ham u yagona bo’lmaydi.

Misol. Ushbu

tenglamaning

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Ravshanki, x=const, y=const to’g’ri chiziqlar oilasi, jumladan y=0 ham berilgan tenglamaning xarakteristikalaridan iborat. Demak, boshlang’ich shartlar xarakteristikada berilyapti. Tekshirilayotgan tenglmaning umumiy yechimi

dan iborat. Umumiylikka ziyon yetkazmay deb hisoblashimiz mumkin.

Boshlang’ich shartlarga asosan

.

Agar bo’lsa, oxirgi tenglikning bajarilishi mumkin emas, bu holda Koshi masalasi yechimga ega bo’lishi mumkin. Bu holda uchun ushbu funksiyani olishimiz mumkin:



bu yerda sinfga tegishli va shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya.

Agar bo’lsa, Koshi masalasining haqiqatdan ham yechimi mavjud bo’lib, u yechim



formula bilan aniqlanadi, lekin yechim yagona emas.

3. Korrekt qo’yilgan masala tushunchasi. Biz yuqorida ko’rdikki, matematik fizika masalalarining qo’yilishida ayrim funksiyalar (boshlang’ich, chegaraviy shartlar) ishtirok etadi: qo’yilgan masalaning yechimi tabiiy, shu funksiyalarga bog’liq bo’ladi. Bu funksiyalar, odatda, tajriba asosida aniqlanadi, Shuning uchun ham ularni absolyut aniq topish mumkin emas. Demak, boshlang’ich va chegaraviy shartlarda hamma vaqt biror xatolikning bo’lishi murakkabdir. Bu xatolik o’z navbatida yechimga ham ta’sir qiladi. Boshlang’ich va chegaraviy masalalarni tekshirishda, yechimning mavjudligi va yagonaligidan tashqari boshlang’ich va chegaraviy shartlarda qo’yilgan xatolikning yechimga qanday ta’sir qilishini aniqlash ham muhim ahamiyatga egadir.

Bu fikrni aniqroq bayon qilish uchun tekshirilayotgan masalani M orqali belgilab olamiz. Har qanday M masalaning mohiyati berilgan funksiyalarga asosan uning yechimini topishdan iboratdir, bu yerda va - metrikalari va bo’lgan qandaydir metrik fazolar.Bu fazolar masalaning qo’yilishi bilan aniqlanadi. M masalaning yechimi tushunchasi aniqlangan bo’lib, har bir elementga yagona u = R( yechim mos kelsin.

Agar ixtiyoriy uchun shunday ( sonni ko’rsatish mumkin bo’lib,tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqsa, M masala () fazolar juftida turg’un masala deyiladi.

Bunda =R(), , , i = 1,2, … masalaning yechimi berilgan shartlar (boshlang’ich va chegaraviy shartlar, tenglamaning koeffisientilari, ozod hadi va h.k.)ga uzluksiz bog’liq bo’ladi.

Agar tekshirilayotgan M masala uchun ushbu

1) ixtiyoriy uchun yechim mavjud;

2) u yechim yagona;

3) masala () fazolar juftligida turg’un shartlar bajarilsa, M masala () fazolar juftligida korrekt (to’g’ri) qo’yilgan yoki to’g’ridan – to’g’ri korrekt masala deyiladi.

Xulosa

Ushbu bobda matematik fizikaning asosiy tenglamalari haqida ma’lumot berilgan bo’lib, matematik fizika tenglamalaridagi asosiy tushunchalardan korrektlik masalasi o’rganilgan. Dastlab asosiy matematik fizika tenglamalaridan to’lqin tenglamasi, issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi, stasionar tenglamalar keltirib chiqarilgan, bu tenglamalarga qo’yiladigan masalalar o’rganilgan.




II bob. Matematik fizika tenglamalarining fundamental yechimlari

2.1. To’lqin tarqalish tenglamasining fundamental yechimi.

To’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining yagonaligi.

Ushbu


( 2.1.1)

to’lqin tenglamasini tekshiramiz. (2.1.1) tenglamaning xarakteristikalari tenglamasi

dan iboratdir. Tekshirib ko’rish qiyin emaski, uchi nuqtada bo’lgan xarakteristik konus deb ataluvchi

(2.1.2)


sirt (2.1.1) tenglamaning xarakteristikasidir. Endi xarakteristik sirtga o’tkazilgan tashqi n normalning yo’nalishini topamiz.

Soddalik uchun a = 1 deb hisoblaymiz. Bu normal t o’q bilan o’tkir burchak hosil qilib, bu burchakning kosinusi musbat bo’ladi. (2.1.2) tenglikning chap tomonini ω(x, t) orqali belgilab olsak, differentsial geometriyadan ma’lum bo’lgan formulaga asosan

Bu tenglikdan quyidagi muhim munosabt kelib chiqadi

Yoki


(2.1.3)
Demak, n tashqi normal xarakteristik konusning Ot o’qi bilan 45° burchak tashkil qilar ekan. Bundan darxol, xarakteristik konus yasovchilarining xam Ot o’q bilan 45° burchak tashkil qilishi kelib chiqadi.

t=const tekisliklar ( 2.1.1) tenglama uchun xarakteristik sirt bo’lmagani sababli, t = const da Koshi shartlarini berish mumkin.



Koshi masalasi . Shunday u(x, t) funksiya topilsinki, u sinfga tegishli bo’lib, t>0 yarim fazoda ( 2.1.1) tenglamani va t = + 0 da

(2.1.4)


boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsin.

Bu masala yechimining yagonaligini ko’rsatamiz.

Faraz qilaylik, fazodagi biror yopiq, sharda ( 2.1.1) tenglama uchun qo’yilgan ikkita Koshi masalasining boshlangich funksiyalari ustma-ust tushsin.

Agar ikkala masala ham birinchi va ikkinchi tartibli hos ilalari bilan uzluksiz bo’lgan yechimga ega bo’lsa, u holda bu yechimlar t > 0 yarim fazoda uchi nuqtadagi xarakteristik konusning ichida va chegarasida ustma-ust tushadi.

Bu ikki yechimni orqali belgilasak, bu funksiyalar ( 2.1.1) tenglamani va (2.1.4) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi. U holda bularning ayirmasi, ya’ni


funksiya


(2.1.5)

tenglamani (a = 1 deb hisoblaymiz) va

( 2.1.6)

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi.

shardan tashqarida funksiyalar kiymatlarining qanday bo’lishi biz uchun farqi yo’q.

(x, t) nuqtalarning fazosida xarakteristik konus va t=0 gipertekislik bilan chegaralangan D sohani tekshiramiz. Bu sohaning ichida yoki chegarasida ixtiyoriy nuqta olib, xarakteristik konus hosil

qilamiz (2.1.1-chizma)



2.1.1-chizma.(xarakteristik konus)

Bu yangi konus va t = 0 gipertekislik bilan chegaralangan sohani G orqali belgilaymiz. G soha t = 0 gipertekislikda avvalgi sharning bir qismi bo’lgan shar bilan chegaralangan. Bu yangi sharda (2.1.6) shartlar o’rinli bo’ladi. (2.1.5) tenglamaning har ikki tomoni ga ko’paytirib , hosil bo’lgan tenglikni G soha buyicha integrallaymiz:

Ushbu


ayniyatlarni e’tiborga olib, avvalgi tenglikni bunday yozib olamiz:

Bu integralga Gauss – Ostrogradskiy formulasini qo’llab,



(2.1.7)

tenglikni xosil qilamiz. Bu yerda G soha chegarasining elementi ds orqali belgilab olindi. (2.1.6)boshlang’ich shartlarga asosan Q sharda ayniyatlar bajariladi. Oxirgi ayniyatni o’zgaruvchi bo’yicha differensiallab, Q sharda

ayniyatni hosil qilamiz.

Demak (2.1.7) tenglikda Q shar bo’yicha olingan integral nolga aylanib, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:

Bu tenglikning har ikki tomonini o’zgarmas ga ko’paytiramiz va (2.1.3) munosabatni e’tiborga olib,

yoki


tenglikni hosil qilamiz. Bundan K konusda

tenglik kelib chiqadi.

Demak,

.

Agar K konus ixtiyoriy yasovchisining yo’nalishini l orqali belgilasak, oldingi tenglikka asosan,



tenglikka ega bo’lamiz, chunki konusning yasovchisi konus sirtiga o’tkazilgan normal bilan hamma vaqt to’gri burchak tashkil qilgani uchun cos (n,l) = 0 .

Bundan K konusning ixtiyoriy yasovchisida u = const ekanligi kelib chiqadi. Jumladan, u(x,t) funksiyaning konusning uchidagi qiymati, l yasovchisining



t =o gipertekislikda yotuvchi nuqtasidagi qiymati bilan ustma-ust tushadi, Lekin bu nuqtada (2.1.6) shartga asosan u = 0. Bundan nuqta D sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lgani uchun, bo’ladi.

Shu bilan to’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining

yagonaligi isbot bo’ldi.

Bu yagonalik t < 0 bo’lgan holda ham o’z kuchini saqlaydi, ya’ni D soha shar va yasovchilari Ot o’q bilan – 45 ° burchak tashkil qilib, t < 0 yarim fazoda yotuvchi xarakteristik konus bilan chegaralangan bo’lsa ham yechim bu sohada birdan-bir aniqlanadi.

funksiya (2.1.1) tenglamaga qo’yilgan Koshi masalasining yechimi bo’lib, tenglamaning o’ng tomoni tayinlangan funksiya bo’lsin.

Isbotlangan teoremadan shunday narsa kelib chikadiki, funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi qiymati boshlang’ich funksiyalarning faqat shardagi qiymatlari orqali aniqlanadi.

Bu shar nuqta uchun bog’iqlik sohasi deyiladi.

Agar bo’lsa, nuqta uchun botiqlik sohasi shardan iborat bo’ladi.



Izoh. U va lar qiymatlarining sharda berilishi, yechimning asosga ega bo’lgan, yasovchilari Ot o’q, bilan ±45 ° burchak tashkil qiluvchi va o’qi Ot ga parallel bo’lgan konuslardan tashqarida

yotuvchi hech qanday A nuqtada aniqlamaydi.

Buni isbotlash uchun shunday yechim mavjud bo’lib, lar sharda nolga teng bo’lsa ham bo’lishini ko’rsatish yetarlidir.

ixtiyoriy ikki marta differensiallanuvchi funksiya bo’lib,

(2.1.8)

bo’lsa,


(2.1.9)

funksiya (2.1.5) tenglamani qanoatlantiradi.

Haqiqattan,

Bundan darhol, (2.1.8) shartga asosan

(2.1.9) funksiya har qanday

(2.1.10)

gipertekislikda o’zgarmas qiymatga ega bo’lib, (2.1.10) gipertekisliklarning har biri Ot o’q bilan 45° burchak tashkil qiladi. O’zgarmas sonlarni shunday tanlab olamizki, (2.1.10) gipertekisliklar oilasining A nuqtadan o’tadigan gipertekisligi sharni kesib o’tmasin. Bundan so’ng, funksiyani shunday tanlab olish mumkinki. funksiya A nuqtada noldan farqli bo’lib, sharda nolga teng bo’lsin. U holda

izlangan yechim bo’ladi.

Furye almashtirishidan foydalanib oshkor ko’rinishidagi yechimini topamiz. Keyingi to’lqin tenglamasi berilgan bo’lin (bir jinsli yoki bir jinsli emas)

va


Dastlab bir jinsli tenglama yechimini topamiz. Bu uchun (2.1.10) ga quyidagi tenglamani qaraymiz.



Ushbu tenglama quyidagi boshlang’ich tenglama bilan olingan



Bu tenglamaning yechimi quyidagi ko’rinishga ega:



t ni parametr sifatida qaraymiz. Quyidagi belgilash kiritamiz.





2.1.1-teorema.

Doimiy koeffisientli operator quyidagi Adamar shartini:



(i=1,2,…)

Bu yerda (𝛏) (i=1,2,….m) quyidagi

xarakteristik tenglama ildizlarini qanoatlantirsin.Agar

u vaqtda quyidagi

funksiya fazoda tenglama va da vektorga mos boshlang’ich sharlarni qanoatlantiradi ushbu teoremadan quyidagi lemma kelib chiqadi.



2.1.1-lemma Agar 2.1.1-teoremaning sharti bajarilsa va bo’lsa u holda quyidagi

funksiya E fazoga tegishli bo’lib, tenglama uchun boshlang’ich shartli Koshi masalasining yechimi bo’ladi.



teoremaga asosan. bo’lsa u holda quyidagi formula



tenglamaning quyidagi boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi

Yechimi bo’ladi.

Quyidagi tenglik o’rinli

2.1.10.tenglamaning quyidagi shartni qanoatlantiruvchi yechimi



Ushbu natijadan foydalanib quyidagi teoremani isbotlash mumkin.



2.1.2-teorema . Ixtiyoriy boshlang’ich shartda



(2.1.12) tenglamaning ixtiyoriy o’ng tomoni uchun (2.1.12) tenglamaning yagona yechimi mavjud:

Bu yerda (2.1.13) formula bilan aniqlanib taqsimot. Aniqrog’i t>0 da, bu taqsimot quyidagi ko’rinishga ega:



  1. Agar n=1 bo’lsa u holda



  1. Agar n=2 bo’lsa, u holda



  1. Agar n=3 bo’lsa, u holda



Isbot. ni isbotlaymiz

Ushbu


tenglikdan quyidagini olamiz.











a= bo’lganda 2 o’lchovli Furye obrazining xususiy holi bo’ladi. Endi ni isbotlaymiz.

Bunda ekanligini inobatga olamiz. U vaqtda



2-qo’shiluvchi da 0 ga intiladi. 1- qo’shiluvchi esa va t>0 ga intiladi. Shu sababli





tengliklardan foydalanib, (2.1.13) yechimini t>0 da oshkor ko’rinishda ifodalash mumkin (bir jinsli tenglama uchun).







Endi formuladan ko’p o’lchov bo’lgan holda oshkor ifodasini topamiz. Bu holda taqsimot bo’ladi.



Haqiqatan n – toq son bo’lsin, . U holda

Bu ifodani aniqroq quyidagi ko’rinishda yozamiz:



Shunga o’xshash agar n- juft son bo’lsa, n=2p quyidagini hosil qila olamiz:







Bu yerda max(a,0) p1 Adamar ma’nosida chekli qism.Biz quyidagini olamiz:

2.1.1-teoremaning natijasiga asosan umumiy holda doimiy koeffisientli giperbolik tenglama uchun Koshi masalasini yechimini topishda R0,…Rm-1 funksiyalarni topish yetarli R0,…Rm-2larni tenglikdan osongina topish mumkin. Ex(t) funksiya tenglama uchun Koshi masalasining fundamental(yoki elementar ) yechimi deyiladi, agar Ex(t) (t>0) funksiya to’lqin tenglamasini va quyidagi boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsa:



Fundamental yechimni topishda 2.1.1-teoremadan foydalandik.



2.2. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi.

Quyidagi Koshi masalasini qarab chiqaylik:



sohada shunday chegaralangan funksiyani topingki, u issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini

(2.2.1)

va quyidagi boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin:



. (2.2.2)

Ushbu masalaning trivial bo‘lmagan yechimini quyidagi ko‘paytma ko‘rinishida qidiramiz:



(2.2.3)

(2.2.3) ni (2.2.1) ga keltirib qo‘yib:

ifodani olamiz.

Bu yerda - ajratish parametri. Bundan:

, (2.2.4)

, (2.2.5)

(2.2.4) va (2.2.5) ni yechib, (2.2.1) tenglamaning quyidagi ko‘rinishdagi xususiy yechimlarini topamiz;

, (2.2.6)

Bu funksiyalar chegaralanganlik shartini qanoatlantiradi. Bu yerda - ixtiyoriy haqiqiy son, shuning uchun biz “+” ishorasini olib, quyidagi funksiyani hosil qilamiz:



(2.2.7)

t=0 da boshlang’ich shartning bajarilishini talab qilamiz:



(2.2.8)

Endi Furye integralini teskari almashtirish formulasidan foydalanamiz:

(2.2.9)

(2.2.9) ni (2.2.7) ga qo‘yib va integrallash tartibini o’zgartirib quyidagi ifodani olamiz:



(2.2.10)

(2.2.10) ifodadagi ichki integral



(2.2.11)

(2.2.11) ni (2.2.10) ga qo‘yib qidirilayotgan yechimning integral ko‘rinishini olamiz:



(2.2.12)

bu yerda


. (2.2.13)

(2.2.13) formula bilan aniqlanadigan funksiyani ko‘pincha issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi ham deydilar.

Ushbu funksiya

1) issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantiradi. (tekshiramiz)

2) Har qanday va t>0 o‘zgaruvchilar uchun
(2.2.12) fomulaga Puasson integrali yoki Puasson formulasi ham deyiladi.

Bir jinsli bo‘lmagan tenglama

va quyidagi nol boshlang‘ich shartni

.

qanoatlantiradigan yechim quyidagi formula bilan aniqlanadi:



(2.2.14)


Download 0.86 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling