Задача Вычислить криволинейный интеграл

Задача 4.
Вычислить криволинейный интеграл

где и - непрерывные функции и - произвольный путь, соединяющий точки и , но ограничивающий вместе с отрезком AB площадь АmBA фигуру D, площадь которой равна данной величине Р.
Решение:
Интеграл по кривой AmB представлю в виде суммы интегралов по
замкнутому контуру AmBA и по отрезку .


Интеграл вычислим, применив формулу Грина:

Для вычисления интеграла преобразуем подынтегральное выражение к виду

где du - полный дифференциал некоторой функции. Следовательно,

где первый интеграл в правой части этого равенства не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки А и В. Таким образом,
где первый нжтеграл в пралой части этого равенства ке зависит от выбора пути интегрирования, соединяюпего точки н . Таким образом,

На отрезке выполкяется равенство , в снду чего имеем

Складывая полученкые зачения пктегралов, ококчательно найдем

На отрезке АВ выполняется равенство

в силу чего имеем
rде пермый нитеграл в правой части этого равенства не зависит от выбора пути интегриронания, соединняомего точки и . Такнм образом,

На отрезк выполкяетс равенство , в снду чего имеем

Складывая получекные значения пнтегралов, окончатедьно кайдем

Складывая полученные значения интегралов, окончательно найдём:

Задача 5.
Определить две дважды непрерывно дифференцируемые функции Так, Чтобы криволинейный интеграл

для любого замкнутого контура не зависит от постоЯнных и .
Реиение:
Если функции и удовлетворяют поставленному условию, то должно выполнятся равенство

для любого замкнутого контура , в силу чего имеем

Где

Для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы в односвязной области, ограниченной этим
контуром, и на самом контуре выполнялось равенство (которое следует из формулы Грина). Обозначив , Получим написанное условие в виде

откуда имеем равенство

Левая часть этого равенства не зависит от и , поскольку правая его часть зависит только от х и у, следовательно,

И3 условия получаем равенство , справедливо лишь в том случае, когда , rge
дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Окончательно находим:

Задача 6.
Вычислить

где - простой замкнутый контур, не проходящий через начало координат, пробегаемый в положительном направлении.
Решение:
Если контур не окружает начало координат, то применив формулу Грина, получу:

Если контур окружает начало координат, то приме-
нять формулу Грина нельзя, поскольку область D в этом случае неодносвязна. В этом случае будем вычислять интеграл I непосредственно.
Обозначу через дифференциальное выражение под знаком интеграла I. Покажем, что интеграл

не зависит от выбора кривой , окружающий начало координат.
Пусть и - произвольные непересекающиеся замкнутые гладкие или кусочно-гладкие контуры, окружающие начало координат и ограничивающие простую область . При положительной ориентации границы is области
D направления обхода кривых и будут противоположны
Двухсвязная простая область D не содержит особой точки подынтегрального выражения , поэтому, согласно формуле Грина, имею:

откуда следует равенство

показывающее, что интеграл I не зависит от выбора замкнутой кривой , окружающей начало координат. Взяв окружность
, получим:
.
Задача 7.
Найти с помощью формулы Грина площадь, ограниченную эллипсом

Решение:
Воспользуемся формулой (следствие из формулы Грина)

и стандартной параметризацией эллипса

Задача 8.
Вычислить криволинейный интеграл

Где - верхняя полуокружность .
Pеиение:
Обозначим и дополним
контур до замкнутого контура L отреком оси Ох, соединяющим концы полуокружности и . Тогда

Так как , то по формуле Грина находим

где верхняя половина круга радиуса . Поэтому

Вычислим интеграл по отрезку оси . Учитывая, что на этом отрезке и (см. свойство 5 криволинейных интегралов: второго рода), получим . Следовательно, .
Задача9.
Используя формулу Грина, вычислить интеграл . Кривая представляет собой окружность , обход которой производится против часовой стрелки.
Реиение.
Запишем компоненты векторного поля и их производные:

Тогда

где - круг радиуса с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:

Задача 10.
Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая представляет собой эллипс
Реиение.
Применим формулу Грина .
Очевидно, здесь

Следовательно,

Поскольку двойной интеграл численно равен площади эллипса лаb, то интеграл равен

Задача 11.
Вычислить интеграл
помощью формулы Грина. Контур интегрирования представляет собой окружность .
Решение.
Компоненты векторного поля и их частные производные равны

Тогда по формуле Грина получаем

Для вычисления двойного интеграла удобно перейти к
полярным координатам.

Таким образом, интеграл равен