Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti


§5. Ikki burchak yig’indisi va ayirmasining trigonometrik funksiyalari


Download 0.64 Mb.
Pdf ko'rish
bet3/6
Sana07.10.2020
Hajmi0.64 Mb.
1   2   3   4   5   6
§5. Ikki burchak yig’indisi va ayirmasining trigonometrik funksiyalari. 

Ikkilangan va uchlangan burchakning trigonometrik funksiyalari 

Ba’zi 


hollarda 

berilgan 

burchakning 

trigonometrik 

funksiyalari 

qiymatlarini  bevosita  hisoblab  bo’lmaydi.  Lekin  bu  burchakni  ikkita  burchak 

yig’indisi  yoki  ayirmasi  sifatida  qaralib  quyidagi  formulalardan  foydalanilsa 

ularni bevosita hisoblash mumkin bo’ladi. Ular: 

   

 

)



(

)

2



3

cos(


α

π

α



π





tg

)

(



)

2

3



cos(

α

π



α

π





tg

α •

α

α •



α

α •


α

)

2



(

cos


)

(

cos



2

2

x



x

+

+



+

π

π



)

2

(



cos

)

(



cos

2

2



x

x

+

+



+

π

π











• •


)

2



3

(

)



(

)

cos(



)

2

sin(



α

π

α



π

α

π



α

π



+

+





tg



ctg

)

2



3

(

)



(

)

cos(



)

2

sin(



α

π

α



π

α

π



α

π



+

+





tg



ctg

=



=



=

α



α

α

α



α

α

2



2

cos


)

cos


(

cos


ctg

ctg

ctg

=



α

α

α



2

2

2



sin

cos


cos

α

β



α

β

α



β

α

sin



cos

cos


sin

)

sin(



+



=

+

β



α

β

α



β

α

sin



cos

cos


sin

)

sin(





=



- 22 - 

 

   



 

      


     

     


 

Misollar: 

1. cos45

0

cos15



0

+sin45


0

sin15


0

 ni hisoblang. 

Yechish: cos45

0

cos15



0

+sin45


0

sin15


0

=cos(40


0

-15


0

)=cos30


0

=

 



Javob: 

 

2.  Agar 



va 

bo’lsa, 


 ning  qiymatini 

toping. 


Yechish:

=cos


cos

-sin


sin

+2sin


sin

=cos


cos

+sin


sin

=cos(


-

)=cos(-45

0

-15


0

)=cos(-60

0

)=cos60


0

=   


Javob:   

3. 


ni soddalashtiring 

Yechish:


 

=



4. 

ni hisoblang. 

Yechish: 

2(sin30


0

cos15


0

+cos30



0

sin15


0

)= 2 sin(30

0

+15


0

)=2sin45


0

=2

=



5. sin105

0

+sin75


0

=? 


β

α

β



α

β

α



sin

sin


cos

cos


)

cos(




=

+

β



α

β

α



β

α

sin



sin

cos


cos

)

cos(





=

+

β



α

β

α



β

α

tg



tg

tg

tg

tg



+

=

+



1

)

(



β

α

β



α

β

α



tg

tg

tg

tg

tg

+



=



1

)

(



β

α

β



α

β

α



tg

tg

tg

tg

ctg

+



=

+



1

)

(



β

α

β



α

β

α



tg

tg

tg

tg

ctg



+

=



1

)

(





3

3



3

3

0



45

=



α

0

15



=

β

β



α

β

α



sin

sin


2

)

cos(



+

+



β

α

β



α

sin


sin

2

)



cos(

+



+

α •


β

α •


β

α •


β

α •


β

α •


β

α

β



2

1

2



1

β

α



β

α

β



α

β

α



cos

sin


2

)

sin(



sin

sin


2

)

cos(



+



+

+



β

α

β



α

β

α



β

α

cos



sin

2

)



sin(

sin


sin

2

)



cos(



+

+



+

=



+



+





=

β

α



β

α

β



α

β

α



β

α

β



α

cos


sin

2

sin



cos

cos


sin

sin


sin

2

sin



sin

cos


cos

=



+



+

β



α

β

α



β

α

β



α

sin


cos

cos


sin

sin


sin

cos


cos

)

(



)

sin(


)

cos(


)

sin(


)

cos(


α

β

α



β

α

β



α

β

β



α

=



=





ctg

0

0

15



sin

3

15



cos

+

0



0

15

sin



3

15

cos



+

=

+



=

)

15



sin

2

3



15

cos


2

1

(



2

0

0





2

2



2

- 23 - 

 

Yechish: sin105



0

+sin75


0

=sin(60


0

+45


0

)+sin(45


0

+30


0

)=sin60


0

cos45


0

+cos60



0

sin45


0

+ sin45


0

cos30


0

+cos45


0

sin30


0

=

               



=

 

=



 

6. 



ni soddalashtiring. 

Yechish: 

 

 

2cos10



0

7. tg105



0

 ni hisoblang. 

Yechish:    tg105

0

=tg(60



0

+45


0

)=

 



=

8.  Agar 



 va 

 bo’lsa, 

 ning  qiymatlarini 

toping. 


Yechish: 

,  



9. 


 bo’lsa, tg

 ning qiymatini toping. 





=

+



+

+

4



2

4

6



4

2

4



6

=

+



=

+

=



+



2

2

6



2

2

2



6

4

2



2

4

6



2

=

+



=

+

2



1

3

2



)

1

3



(

2

=



+

+

=



+

2

1



3

2

3



2

)

1



3

(

2



=

+

=



+

=

2



)

3

2



(

2

2



3

2

4



3

2 +


0

0

0



0

0

0



0

0

168



sin

108


sin

78

sin



18

sin


208

sin


108

cos


28

cos


18

cos


+



+



=

+



+



0

0



0

0

0



0

0

0



168

sin


108

sin


78

sin


18

sin


208

sin


108

cos


28

cos


18

cos


=



+

+



+



+

+



=

)

12



180

sin(


)

18

90



sin(

)

12



90

sin(


18

sin


)

28

180



sin(

)

18



90

cos(


28

cos


18

cos


0

0

0



0

0

0



0

0

0



0

0

0



0

=

+



+



=

)

12



18

sin(


18

sin


28

sin


18

cos


28

cos


0

0

0



0

0

0



=

=



2

1

10



cos

30

sin



)

18

28



cos(

0

0



0

0

=



+

=



+



3

1

1



3

45

60



1

45

60



0

0

0



0

tg

tg

tg

tg

=

+



+

+



=

+



)

3

1



)(

3

1



(

)

3



1

)(

3



1

(

3



1

3

1



=

+



=

+



+

2

3



2

4

3



1

3

3



2

1

3



2

)

3



2

(



=

+



1

cos



sin

=



β

α

2



1

cos


sin

=



α

β

β



α

2



1

2

1



1

sin


cos

cos


sin

)

sin(



=

=





=

β



α

β

α



β

α

2



1

)

sin(



=

β



α

π

π



β

α

k



k

+



=



6

)

1



(

2

)



4

(

=



α

π



tg

α


- 24 - 

 

Yechish: 



 

,  1-tg


=2+2tg

;  


3tg

=-1;  tg


=

Ba’zi  hollarda 



 burchak  trigonometrik  funksiyalarining  qiymatlarini 

bilgan  holda  2

 va  3

 burchakning  trigonometrik  funksiyalari  qiymatlarini 



hisoblashga to’g’ri keladi. U quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi. 

sin2


=2sin

cos


;   cos2

=cos


2

-sin


2

;  tg2


=

;  ctg


=

 

sin3



=3sin

-4sin


3

;    cos3

=4cos

3

-3cos



;    tg3

=

 



ctg3

=

 



Bu  formulalarni  barchasini  ikki  burchak  yig’indisining  trigonometrik 

funksiyalarini  berilgan    burchaklar  trigonometrik    funksiyalari  orqali  ifodalash 

formulalaridan foydalanib keltirib chiqariladi. 

cos2


=cos

2

-sin



2

 formulaning o’ng tomonidagi cos

2

 ni sin


2

 orqali 


yoki sin

2

 ni cos



2

 orqali ifodalab quyidagi formulalarni hosil qilish mumkin. 

cos2

=1-2sin


2

   yoki cos2

=2cos

2

-1. 



Bu  formulalardan  esa 

 yoki 


 formulalarni 

hosil qilamiz. 

Bu  formulalarni  trigonometrik  Funksiyalarni  darajalarini  pasaytirish 

formulalari deb ham ataladi. 

Yuqorida ko’rib o’tilgan formulalardan 2

 ni 


 bilan almashtirib yana bir 

qancha formulalarni hosil qilish mumkin. 

,  


,  

 

;



1

1

4



1

4

)



4

(

α



α

α

π



α

π

α



π

tg

tg

tg

tg

tg

tg

tg

+



=

+



=



2

1

1



=

+



α

α

tg



tg

α

α



α

α

3



1

α



α

α

α



α

α



α

α

α



α

α

α



2

1

2



tg

tg

α



α

α

tg



tg

2

1



2

α



α

α

α



α

α

α



α

α

α



2

3

3



1

3

tg



tg

tg



α

α

α



α

3

3



3

3

1



tg

tg

tg



α

α

α



α

α

α



α

α

α



α

2

2



cos

1

sin



2

α

α



=

2



2

cos


1

cos


2

α

α



+

=

α



α

2

cos



2

sin


2

sin


α

α

α



=

2



sin

2

cos



cos

2

2



α

α

α



=

2



1

2

2



2

α

α



α

tg

tg

tg

=



2

2

2



1

2

α



α

α

tg



tg

ctg

=



- 25 - 

 

Bu  formulalar  trigonometrik  ifodalarni  soddalashtirishda,  trigonometrik 



tenglamalar va tengsizliklarni yechishda ko’p qo’llaniladi. 

Misollar: 

1. 

ni hisoblang 



Yechish: 

 

 



2. 

ni hisoblang. 

Yechish: 

 

 



3. 

 ni soddalashtiring. 

Yechish: 

 

sin



+cos

-sin


=cos

 

4. 



 

Yechish: 

 

5. cos92


0

cos2


0

+0,5sin4


0

+1 ni hisoblang. 

Yechish: cos92

0

cos2



0

+0,5sin4


0

+1=cos(90

0

+2

0



) cos2

0

+0,5sin4



0

+1=  


=-sin2

0

cos2



0

+

2sin2



0

sos2


0

+1=-sin2


0

cos2+sin2

0

cos2


0

+1=1. 


6. 

ni soddalashtiring 

Yechish: 

3ctg


2

)



8

3

cos



8

3

(sin



2

14

4



4

π

π



)

8



3

cos


8

3

(sin



2

14

4



4

π

π



)

8



3

cos


8

3

(sin



2

14

2



2

π

π



+

=

=



)

8



3

cos


8

3

(sin



2

2

π



π

=





=

))

8



3

sin


8

3

(cos



(

1

2



14

2

2



π

π

=





8

3

2



cos

2

14



π

=



4

3

cos



2

14

π



=

+



=

)



4

2

cos(



2

14

π



π

14

2



2

2

14



)

4

sin



(

2

14



=

=





π

8

9



cos

8

7



sin

8

2



2

π

π



8

9



cos

8

7



sin

8

2



2

π

π



=

+



=



)

8

(



cos

)

8



(

sin


8

2

2



π

π

π



π

=



8

cos



8

sin


8

2

2



π

π

=



=



2

)

8



cos

8

sin



2

(

2



π

π

1



4

2

2



)

2

2



(

2

4



sin

2

2



2

=



=

=



π

α

α



α

α

sin



cos

sin


2

sin


1

+



+

α

α



α

α

sin



cos

sin


2

sin


1

+



+

=



+

+



+

=

α



α

α

α



α

α

α



sin

cos


sin

cos


cos

sin


2

sin


2

2

=



+

+



=

α

α



α

α

α



sin

cos


sin

)

cos



(sin

2

α



α

α

α



?

10

cos



50

sin


40

sin


4

0

0



0

=



=



=

0



0

0

0



0

0

10



cos

40

cos



40

sin


2

2

10



cos

50

sin



40

sin


4

2

10



cos

10

cos



2

10

cos



80

sin


2

0

0



0

0

=



=





2

1 •




α

α

α



2

2

sin



cos

2

cos



1

+

+



α

α

α



2

2

sin



cos

2

cos



1

+

+



=

=

+



=

α

α



α

α

α



2

2

2



2

2

sin



cos

3

sin



cos

cos


2

α


- 26 - 

 

7. 



ni soddalashtiring. 

Yechish: 

cos

-2

 



8. 

ni hisoblang. 

Yechish: 

 



9. 

 ni qiymatini toping. 

Yechish:  

 

=



 

 

10. 



 bo’lsa, tg2

 ni qiymatini hisoblang. 

Yechish: 




Download 0.64 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling