Заррачанинг бир ўлчамли, чексиз чуқур потенциал чуқурликдаги ҳаракати


Download 141.66 Kb.
bet1/2
Sana18.06.2022
Hajmi141.66 Kb.
#763888
  1   2
Bog'liq
Nomonjonova assestiv M.T, Nomonjonova assestiv M.T, Nomonjonova assestiv M.T, Nomonjonova assestiv M.T, 2. (O'zbek) Elementar fizikaning tanlangan boblari(1), FA 101 (kechki) Tolibboyev Anvar EFTB1, Normalangan fazo, senariy, concentrate topics, soatov Abdulaziz, kere, Kera, Ma`lumotnoma, 2-mavzu, 2 5350513048668870267

Бир ўлчамли масалалар учун Шредингер тенгламаси ечими

Режа:



  1. Заррачанинг бир ўлчамли, чексиз чуқур потенциал чуқурликдаги ҳаракати.

  2. Потенциал тўсиқдан ўтиш ва қайтиш



Заррачанинг бир ўлчамли, чексиз чуқур потенциал чуқурликдаги ҳаракати.
Шредингер тенгламасини иккита содда масалаларни ечишга қўллаймиз, чунки Шредингер тенгламаси фақат содда потенциал майдонлар учун аниқ ечимларга эга эканлигини эътиборга олиб Шредингер тенгламасининг математик аппаратини талабаларга мукаммалроқ ўргатамиз.
Дастлаб, заррачанинг бир ўлчовли оддий ҳаракатини кўриб чиқамиз. Потенциал энергияси

қуйидагича ифодаланган потенциал майдонда заррачанинг бир ўлчамли ҳаракатини текширамиз. Бундай потенциал майдонни чексиз потенциал ўра дейилади ва равшанки бундай ўрада заррача фақат 0 < x < l оралиқда ҳаракатланиши мумкин.
Бу масалани ечишда қуйидагиларга эътибор қаратилади:

  1. Чекли оралиқда жойлашган заррачанинг ҳаракатини ифодаловчи

Шредингер тенгламасини ечишни ўрганиш;

  1. Тенглама ечимининг характерли хоссаларини аниқлаш ва ўрганиш;

  2. Квант механика ҳамда классик механика методлари ёрдамида олинган ечимларни ўзаро таққослаш ва таҳлил қилиш.

Классик заррачанинг потенциал ўрадаги ҳаракати текширилади, бу ҳолда заррача энергияси ихтиёрий қийматларни қабул қилаолади.
Агар заррачанинг тўла энергияси 0 < Ε <U(x) оралиқда жойлашган бўлса, заррача потенциал ўрадан чиқиб кета олмайди.
Чунки заррача потенциал ўрадан чиқиб кета олиши учун у тўла энергиядан катта потенциал тўсиқни енгиб ўтиб, шу қийматли потенциал энергияга тенг бўлган тўла энергияга эга бўлиб қолиши керак.
Лекин бу ҳолда заррачанинг кинетик энергияси манфий қийматга эга бўлиб қолади ва табиийки бу мумкин эмас.
Классик заррачанинг қаралаётган ҳаракати мумкин бўлмаган ҳол ҳисобланади, чунки ҳеч қандай заррача манфий кинетик энергия билан ҳаракат қила олмайди.
Классик заррача потенциал ўра чеккасига етиб келиб унинг деворидан орқага қайтади, яъни тескари йўналишда ҳаракатланади ва ўранинг қарама-қарши деворига етиб бориб яна орқага қайтади ва ҳоказо.
Классик физика қонунларига асосан заррача потенциал ўра ташқарисида чиқа олмайди ва ўра ичида ҳар қандай нуқтада бир хил эҳтимол билан аниқланиши мумкин.
Квант механика қонунларига бўйсунадиган заррачанинг потенциал ўрадаги ҳаракатининг ҳарактери бошқача бўлади. Тўлқин функция фақат координатага боғлиқ бўлганлигидан стационар Шредингер тенгламаси қуйидагича ёзилади.

Квантланишнинг асосий шартига кўра, заррача ҳаракатининг тўлқин функцияси узлуксиз ва бир қийматли бўлиши керак.
Демак, заррачанинг тўлқин функцияси х - ўқининг мусбат йўналиши бўйлаб координата ўқининг нолдан катта бўлган соҳасида текис ўзгариши учун потенциал ўранинг ўнг деворидан ташқарида ҳам давом эттирилиши керак.
Потенциал энергия чексиз катта бўлган ҳолда, яъни потенциал ўранинг чап деворидан ташқи қисмида заррачанинг ҳаракатини ўрганамиз.
Заррачанинг чап девордан ташқи соҳадаги ҳаракатига Шредингер тенгламасини ечмасдан туриб қуйидагича изоҳ берилади, яъни заррача мутлақо ўтиб бўлмайдиган х < 0 соҳага кириш эҳтимоли заррача қанча катта бўлса, шунчалик кичик бўлади.
Потенциал ўрадаги заррачанинг ҳаракати учун Шредингер тенгламасини ечишдан аввал, қаралаётган ҳол учун чегаравий шартларни аниқлаштирамиз.
Заррача потенциал ўра ташқарисида жойлаша олмаслигини эътиборга олиб, унинг потенциал ўрадан ташқаридаги тўлқин функцияси нолга тенг бўлишини аниқлаймиз. Узлуксизлик шартига асосан x = 0 ва x = l нуқталарда тўлқин функциянинг қиймати нолга тенг бўлиши керак,
яъни
ψ(0) =ψ(l) = 0 (12.1.2)
Олинган шарт потенциал ўранинг ичида заррачанинг ҳаракатини ифодаловчи Шредингер тенгламасининг ечими учун чегаравий шарт ҳисобланади.
Бир ўлчамли стационар Шредингер тенгламаси чегараланган соҳа
0≤ x l да қуйидаги кўринишда ёзилади:

Тенгламани бўлиб, қуйидаги белгилашни киритиб тенгламани қуйидагича

(4.2) тенглама тўлқин тенглама кўринишига эга бўлганидан унинг умумий ечими ҳам турғун тўлқин характерига эга бўлади.

(4.3) тенгламадаги номаълум бўлган α ва А катталиклар аниқланади.
Бошланғич шартларга асосан, x = 0 нуқтада ψ = 0 лигидан α= 0 эканлиги келиб чиқади. Юқоридаги шартларнинг иккинчисига асосан яъни, ψ(l) = 0 га тенглигидан
kl = nπ (12.1.6.)
шарт келиб чиқади, бу ерда n нолдан катта бўлган бутун сон. n квант сони дcб аталади ва юқоридагидан n = 0 бўлганида ψ тўлқин функциясининг нолга тенглиги келиб чиқади, бу эса бутун соҳада заррачанинг йўқлигини билдиради.
к - нинг ифодасини билган ҳолда ва (4.4) муносабатдан фойдаланиб, заррачанинг энергиясининг қийматларини аниқлаймиз, яъни:

(12.1.7.) формуладан кўриниб турибдики, заррачанинг энергияси n - нинг дискрет қийматларига мос қийматлар қабул қила олар экан, бошқача айтганда, Шредингер тенгламаси фақат шундай ечимларга эга бўладики, бу ечимлар маълум дискрет қийматларни қабул қила олгандагина (12.1.4.) тенглама чегаравий шартларини қаноатлантиради.
Шундай қилиб, чексиз чуқур потенциал ўрадаги заррачанинг энергияси дискрет қийматларни қабул қилади, яъни энергия квантланган бўлади. Энергиянинг дискретлиги ўз - ўзидан табиий равишда келиб чиқади.
Заррача энергиясининг дискрет қийматларига мос сатҳлар энергетик сатҳлар деб аталади.
Энг кичик энергияли ҳолат асосий ҳолат дейилади, юқорироқ энергияли ҳолатлар эса уйғонган ҳолатлар дейилади. –расмда тасвирланган ҳолат функцияси графигидан холатлар номери n нинг физик маъноси аниқланади,
n 1 сон ψn(x ) функциянинг тугунлар (ноллар) сонини ифодалайди.
Расмдаги графикларнинг таҳлили классик ва квант зарраларнинг табиатидаги принципал фарқларни ифодалайди. Потенциал ўра ичида жойлашган классик заррача ихтиёрий энергияга эга бўлиши мумкин ва унинг минимал энергияси E = 0 тенг бўлади. Квант заррачанинг спектри дискрет унинг минимал энергияси га тенг.
Чексиз чуқур потенциал ўра ичида заррачанинг тўлқин функцияси ифодасининг кўринишини аниқлаймиз.
(4.3) формулага ва бошланғич шартларга асосан n- энергетик сатҳга тегишли бўлган тўлқин функциясининг кўриниши

бўлади. Αn доимийни қуйидаги нормаллаштириш шартидан аниқлаймиз.

аниқланади. У ҳолда бу формулага (4.7) ни қўйиш натижасида

бўламиз. Бундан

келиб чиқади.
Шундай қилиб, Е энергиянинг фақат (4.5) ифода билан аниқланувчи қийматларидагина Шредингер тенгламаси ечимга эга бўлар экан.
Энергиянинг бу қийматларини Е нинг хусусий қийматлари, тcнгламанинг уларга мос келган (12.1.8.) ечимлари эса масаланинг ҳусусий функциялари деб аталади.
Турли энергетик ҳолатлар учун потенциал ўрадаги ҳар ҳил нуқталарда заррачанинг топилиш эҳтимоллик зичлиги расмда тасвирланади.
Классик механика нуқтаи назаридан потенциал ўрада ҳаракатланувчи заррача тенг эҳтимоллик билан ўранинг ихтиёрий нуқтасида жойлашиши мумкин. Квант сонларининг катта қийматларида квант эҳтимоллик зичлиги тақсимоти классик ҳолдаги қийматига ўтади.

Download 141.66 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling