8-teorema (Chebishev). tasodifiy miqdorlar ketmaketligi bogliqsiz va ixtiyoriy n=1,2,.. sonlar uchun D 0 0 ‘zgarmas son mavjudbolsin. U holda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo‘ysinadi.
Teoremaning isboti. Chebishev tengsizligidan bevosita kelib chiqadi: —ixtiyoriy musbat sonbolsin. U holda
P(
4-izoh. 8-teorema o‘rinli bolishi uchun
shart bajarilishi yetarli. Agar
bolsa, bu shart bajariladi, chunki Shtols teoremasiga asosan
Teorema (Xinchin teoremasi). bogcliqsiz bir xil
taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bolib, M = a<
bolsin. U holda ular katta sonlar qonuniga bo‘ysinadi, ya ’ni
(5)
Isboti. Teoremani xarakteristik funksiyalar metodi yordamida
isbotlaymiz. Shu maqsadda belgilashlar kiritamiz. U holda M va xarakteristik funksiyalarning
xossasiga ko‘ra =1+ Shu bilan birga (5) shart (6) shartga ekvivalent ekanligi ravshan. Quyidagi tengliklar o‘rinli:
= =
shartni qanoatlantiruvchi tasodifiy miqdor
bolsin. U holda = f(t)=1 boladi. Bundan teskari limit teoremaga ko‘ra, oxirgi munosabatdan esa 6-xossaga ko‘raXinchin teoremasining isboti kelib chiqadi.
Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni
9 - ta’rif. ( ) - ixtiyoriy ehtimollar fazosida tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bolsin. A gar n da
bo'Isa, u holda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga boksunadi deyiladi.
10-teorema (G ayek-Reni tengsizligi). Agar tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bogliqsiz, M = a, D va , . . . - manfiy bolmagan sonlarning o‘smaydigan ketma-ketligi bolsa, u holda ixtiyoriy > 0 va barcha m ,n N, m < n sonlar uchun
P( )
tengsizlik o'rinli.
Isboti. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
)+
η tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini hisoblab, uni qulay shaklga keltiramiz
)M
Qandaydir > 0 uchun quyidagi hodisalarni qaraymiz:
hodisalar birgalikda bolmagan hodisalar bolgani sababli
P
Agar M ekanligini ko‘rsatsak, teorema isbotlanadi. Ko‘rish mumkinki,
M
Do'stlaringiz bilan baham: |
