[-]

k = n


k
= m)

 

 
$$$
S



  

 

 
,
 
S
× [0, 1]


S
× S

  


R
3

 
  
+
 

  

 
$$%
,!



 



 
 


 
R
2

 
  
+
 

  

 
1
 

 



 


 
R
2

 
  
+
 

 

 
R
3

 
  
+
 

 "


 


$$&
1
 

 






 

+

R
n

  
 

  
+
 

 
 

 
$$'
L
2
[0, 1]

 
L
1
[0, 1]

 
5
  
5
  
+
 

  c
%9
@2
0
"
-
*
f
: (X, ρ) → (Y, d)
 

!





L >
0


+

 
 

x
1
, x
2
∈ X

!


d
(f (x
1
) , f (x
2
)) ≤ L ρ (x
1
, x
2
)


+ 

 
f
 

1 
 

  

  
*
f
: X → X
 

/& 
 
 



/& 
  
L <
1

 
f
 

 
  
*
A
: X → X
 

!





x
∈ X

 

+

 
Ax
= x
 

+ 
x

 
A
 

  
 
  
%""
$< 
   
& 
 
 
 





 
  

  
 

%
x
=
1
3
cos x − 2
  



!
 


 

 
=  
 

 

!
 
>>>#
 
 
&
!
"#


 
&  
R−
 

 
f
: R → R

f
(x) =
1
3
cos x − 2
 


ρ
(f (x
1
) , f (x
2
)) ≤
1
3
ρ
(x
1
, x
2
)
 
 


(
f

!

2

!


#7#"  



 
  



!
 

,

!
 

x
≈ −2, 194749.



%
C
[−a, a]

 


f
i
: C[−a, a] → C[−a, a] (i = 1, 2)
"
 
 
f
1
(x(t)) = x(−t)


f
2
(x(t)) = −x(−t)
  
 
 
2

 
 
  

  
&
!
"#

C
[−a, a]

 

+

 
&  
C
+
[−a, a]
 



 
&  

C
−
[−a, a]
 

 
 
,
 
 

x
+
∈ C
+
[−a, a]
!


f
1
(x
+
) = x
+
 
 


"



 
 


x
−
∈ C
−
[−a, a]

f
2
(x
−
) = x
−
 
 
\ 
!

+

 
f
1
 

  

"
 
!




 

f
2

  

  

 



%
R

 




f
: R → R
 




!

x, y
∈ R, x = y

!


ρ
(f(x), f(y)) < ρ(x, y)
 
 
 
f
(x) = x
  

!
 


 
!
"#

'!

x
∈ R

f
(x) =
√
x
2
+ 1 +
1
√
x
2
+ 1



  

 
'


!


!

x, y
∈ R, x = y

ρ
(f(x), f(y)) < ρ(x, y)
 
 
 
f
(x) = x
  

!
 "


 

   


  


  
!


x
≤ 0

f
(x) = x
  

!
 


2

!


x >
0
 

  -
f
(x) − x =
"
x
2
+ 1 − x +
1
√
x
2
+ 1
=
1
√
x
2
+ 1 + x
+
1
√
x
2
+ 1
>
0.
\ 
!

x
∈ R

f
(x) > x
 
[
ρ
(f(x), f(y)) < ρ(x, y) ⇐⇒ |f(x) − f(y)| < |x − y|


 

 
  


 
!


f

(x) =
x
√
x
2
+ 1
−
x
(
√
x
2
+ 1)
3
=
x
√
x
2
+ 1
(1 −
1
x
2
+ 1
) =
x
3
(x
2
+ 1)
3/2
 
 
'




!

!

x
∈ R

f

(x) < 1
 
2

!


|f(x) − f(y)| = |f

(ξ)| |x − y| < |x − y|, x = y
 
 

()
*
+,
*


*+-
 +

#

-

% 
*
f
: R → R


|f

(x)| ≤ q < 1

 
x
= f(x)
  



!
 


 

 
%$
*
f
: [a, b] → [a, b]
 



 
x
= f(x)
  "


!
 

+ 

 
%%
*
0 ≤ a ≤ 1

 
x
n
+1
= x
n
−
1
2
(x
2
n
− a),
x
0
= 0
  
 
 

!

{ x
n
}

"

√
a


"


 
%&
\

 



 


!


 c
%'
S
= {z : |z| = 1}

 

 
f
: S → S

!

 


+ c
%.
X

 
f
: X → X

!

 


 
,
 
f
 

 


 

 

 

 
%/
X
 

 


f
i
: X → X (i = 1, 2)
 
 

 

 
*
f
1

!


 
 
f
1
◦ f
2
= f
2
◦ f
1
 
 

 
f
2
 

  

 

+ 

 


%
R
2

 



  

 


 
  




 
 ;




 

 
%
X
 

 
f
: X → X

 


 
f
 "

  
 
3
+ 5


f
2
= f ◦ f,
f
n
= f
n
−1
◦ f
  
 
 
*

n
!


f
n

!


 
f
:
X
→ X
 



  

 


 


 "

%
K
(t, s)


[a, b] × [a, b]

 
 

 
,
 

"


 


K
(t, s)


!
  

(
!

t, s
∈ [a, b]

!


|K(t, s)| ≤ M
 
 
,

(Ax)(t) =
$
b
a
K
(t, s)x(s)ds
 

C
[a, b]

 
 " 
 



!

x, y
∈ C[a, b]

 
!


ρ
(Ax, Ay) ≤ M(b − a)ρ(x, y)
 

+ 

 
% 
K
(t, s)
 !

 


!


$
b
a
$
b
a
|K(t, s)|
2
dtds
≤ M
 
 

 
,
 
L
2
[a, b]
 

 
x
(t) = λ
$
b
a
K
(t, s)x(s) ds + y(t),
y
∈ L
2
[a, b]


  
λ
& 

 !

!

3 
 

!
5
  



!
 


 

 


%$
K
(t, s)


a
≤ s ≤ t ≤ b
!

!

3
!
 

 5
 

 
,
 
(Ax)(t) =
$
t
a
K
(t, s)x(s)ds
 
 
 
A
: C[a, b] → C[a, b]
 

!



"


n
 


+
A
n
: C[a, b] → C[a, b]
 

"

!


 

 
%%
K
(t, s)


a
≤ s ≤ t ≤ b
!

!

y
(t)



[a, b]

 
 

 
x
(t) = λ
$
t
a
K
(t, s)x(s)ds + y(t)


  
 

λ
∈ R
!




 

!
 


 
%&
(Ax)(t) =
t
+
0
x
2
(s)ds
 
 
 
A
: C[0, a] → C[0, a]
 

 !


a >
0
!



!




 
%'
a >
0



  
x
(t) = 1 +
$
t
0
x
2
(s)ds


  
C
[0, a]
 


!
 
c
%.
R
n
 

S
n
−1
=
x
= (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) :
n

i
=1
x
i
= 1,
x
i
≥ 0


& 
 
  
*
P
= (p
ij
), i, j = 1, n
  
"


p
ij
≥ 0


n

i
=1
p
ij
= 1, j = 1, 2, . . . , n
 
 
"

P
  
  
  
x
→ P x
 

S
n
−1
 & 
 " 
 


 
S
n
−1
&  
ρ
(x, y) =
n

i
=1
|x
i
− y
i
|,
x, y
∈ S
n
−1




  

 
*
P
  

 

"





 
3
p
i
1
>
0, p
i
2
>
0, . . . , p
in
>
0
5
P x
= x
  
S
n
−1
 & 



!
 


 

 
%/
K
(t, s)


[0, 1] × [0, 1]

 
 

 
max
0≤t≤1
$
1
0
|K(t, s)| ds = M

 
 
 
*
4M|λ| < 1
 

+ 
x
(t) = 1 + λ
$
1
0
K
(t, s)x(s)ds


  
C
[0, 1]
 




!
 


 

 "

%
=  
 

 
5
5x − 3 sin x = 7,
5
3x + e
−|x|
= 10,
!5
x
= ln
3
√
1 + x
2
− 3
   

!
 
>>#
 
&
%
f

 



 
x
(t) −
1
2
sin x(t) + f(t) = 0
 
 

!

x
∈ C[0, 1]



+

 
%
,

x
(t) = e
−x(t)
+ sin t
  
C
[0, 1]
 
 

!
 

+

 
% 
X
 

 
A
: X → X

ρ
(Ax, Ay) ≤ q ρ(x, y)

0 ≤ q < 1

!

 


 
 

x
0
∈ X
!


Ax
= x
  "


!
 
B
[x
0
,
ρ
(x
0
, Ax
0
)
1 − q
]

 

 


%$
X
 

 
B
[x
0
, r
] ⊂ X

&



f
: B[x
0
, r
] → X

 


 
*
f
 

B
[x
0
, r
]

 
 


(
ρ
(f(x), f(y)) < q · ρ(x, y), 0 ≤ q < 1, x, y ∈ B[x
0
, r
]
 
 



ρ
(f(x), x
0
) ≤ (1 − q) · r
 

+ 
f
(x) = x
  
B
[x
0
, r
]




!
 


 
%%
X
 

 
f
: X → X
 
 

ρ
(f(x), f(y)) ≥ α · ρ(x, y), α > 1, x, y ∈ X
 
 

,
 
f
(x) = x
  

!
 


 
 c
%&
R
n
 



ρ
(x, y) =
n

i
=1
|x
i
− y
i
|
 
 
 
A
= (a
ij
), i, j = 1, n
  


max
1≤j≤n
n