[-]

E
&  
 !

 

 

 
m
(x) =
min {f(x), g(x)}


 !

 

 

 
% 
*
f


g

 
E
&  
 !

 

 

 
M
(x)=
max {f(x), g(x)}


 !

 

 

 
%$
*
f


E

 !

 

 

 
h
(x) = [f(x)]

 !

 

 

 
'


[x]
 
x

 
 

 

%%
f
: E → R
 !

 

 
!


f
3

 !

 

 




 

 
%&
*
f


g

 
E
&  
 !

 
ϕ
: R
2
→ R
 "




 

 
h
(x) = ϕ(f(x), g(x))


 !

 

 

 
%'
f
: E → R
 !

 

 
!


h
(x) = e
f
(x)


 !

 

 




 

 
%.
h
(x) = cos f(x)


 !

 

 
f
: E → R

 !

 

 


!
 

7`"  
37#5
 
 
 "

f


 

 
 
% /
=
 & 
  
f
(x) = u(x)+i v(x)



 

 
*
u


v

 
 !

 

 
f
: E → C
  

  
*

 & 
  
f
(x) = u(x) + i v(x)


 !

 

 


 


 

 !

 



 

 
% 
=
 & 
  
f
(x) = e
ix
, x
∈ [−π, π]


 !

 

"


 
% 
f
: [0, 1] → R
 




y
∈ R
!


N
f
(y)
 
f
(x) = y
  

!
 


 
  
N
f
: R → Z
+
"


 !

 

 

 
% 
0
 !

 
A
&  
 
 

f
: A → R


 !

 

 

 
%  
*
f
: E → R


 !

 
g
: E → R



 

 

 
f

E

 !

 



 

 
% $
*
f
: [0, 1] → R


g
: [0, 1] → R
 

 

 

 
 




 

 

% %
*
{f
n
}
 !

 

 

"

E
&  



"

f


 

 

 -
{x ∈ E : f(x) < c} =
∞
∪
k
=1
∞
∪
n
=1
∞
∩
m>n

x
: f
m
(x) < c −
1
k

.
(6.6)
% &
*
{f
n
}
 !

 

 

"



x
∈ E

f
(x)



 

 
  


f
 !

 

 
"

 
% '
0 

 
{f
n
}

 

"

!


∞

n
=1
f
n
(x)
 
 
 
!

x
∈ E


 

!


 


f
(x) =
∞

n
=1
f
n
(x)

 

 



 

 
% .
[0, 1]

 



 !

 






 




 

 
 






 
  


 
%$/
<
  

 

  

 
 
f
: R → R


 !

 

 


 
5
f
(x) =
∞

n
=1
(−1)
n
|x| + n
,
5
f
(x) =
∞

n
=1
sin(n[x]
4
)
n
√
n
,
%$
<
 

 

  

 
 
f
:
R
2
→ R


 !

 

 


 
f
(x, y) =
∞

n
=1
sin(n(x
2
+ y
2
))
"
n
4
[1 + x
2
+ y
2
]
.
%$
<

 
f
: R
2
→ R


 !

 

 


 -
5
f
(x, y) = sign(cos π(x
2
+ y
2
)),
5
f
(x, y) = (|x| + |y|) · e
[y]
,
!5
f
(x, y) = [x]
2
+ [y]
3
,
5
f
(x, y) = ln(1 + [x
2
+ y
2
]).


%$
f
n
(x) = cos
n
x, E
= [0, 2π]

 

"




 
 

 

 
%$ 
*
E
&  
{f
n
}
 !

 

 

"

f

 
 

 

 
f

 !

 



 

 
%$$
*
E
&  
{f
n
}
 !

 

 

"

f

 
 

 


f
∼ g

 

 
{f
n
}

"

g


 
 

 

 
%$%
*
{f
n
}
 !

 

 

"


f,

g

 
 

 

 
f


g


 

 

 
%$&
1





  
*
{f
n
}
 !

 

 

"


E
(μ(E) < ∞)
&  
f


 
 

 

 
{f
n
}

"

E
&  
f

 !



!



 
%$'
. !



!





 

!




 

 

  

{f
n
}

"





%$.
6




  
*
{f
n
}
 !

 

 

"

E
&  
f


 !



!


 

 
{f
n
}

"

f

 
 

 

!

 

"


+ 
 
%%/
f
: [−1, 2] → R, f(x) = sign x


 !

 

 
(

 

 
%%
[0, π]

 
 
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
sin x, x ∈ [0, π] \Q
cos
2
(sin x), x ∈ Q


 !

 

 
/ 
 

 

 


%%
*
f
: E → R−
 !

 




A
⊂ E−
 !

 
& 

 

 
f
: A → R


A
&  
 !

 

 

 
%%
*
f
∼ g


g
∼ ϕ

 

 
f
∼ ϕ

 

 
%% 
f
n
(x) = cos
n
x, E
= [0, 2π]

"

!


_


 
 
 

!

E
δ
&  
δ
= 10
−3
!



%%$
[0, 1]

 
\


Z 

 
!


/ 
 
 
 

!

 
ϕ


&
%%%
f





 

 

!




  
"

f
n

 

"




%%&
f
n
(x) = x
n
, x
∈ [0, 1]


"

θ
(x) ≡ 0
"



  
 
 


 !



!


 

%%'
f
n
(x) = x
n
,
x
∈ [−1, 1]


"

\


Z 

 
 
 

  c
%%.
\ 
 

 

!



"

  



"


  c
%&/
<

 
f
: R → R


!





g
: R → R
 


&
g
(x) = f(x)
 
 
 
!

x
∈ R

!


 

 
5
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
sin x, x ∈ Q
0, x ∈ R\Q,
5
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
arctgx, x ∈ Z
π,
x
∈ R\Z,
!5
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
x
2
,
x
2
∈ Q
0, x
2
∈ R\Q,
5
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
ln(1 + |x|), e
x
∈ R\Q
sin x
2
,
e
x
∈ Q.


%&
<

 
f
: R
2
→ R


!





g
: R
2
→ R
 


&
g
(x, y) = f(x, y)
 
 
 
!

(x, y) ∈ R
2

!


 

 
5
f
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
x
+ y, (x, y) ∈ Q × Q
x
2
,
(x, y) ∈ R\(Q × Q),
5
f
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
sin x + cos y, (x, y) ∈ Q × R
cos x − sin y, (x, y) /∈ Q × R,
!5
f
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
xy,
(x, y) ∈ (R\Q) × R
x
+ y, (x, y) /
∈ (R\Q) × R,
5
f
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
[x] + [y] , (x, y) ∈ R × Q
chx,
(x, y) /
∈ R × Q.
%&

 
 
f
k
: [a, b] → R, k = 1, 2, . . . , n

 !

 

 

 
<

 

 
[a, b]

 
 !

 

 

 
5
min {f
1
(x), . . . , f
n
(x)} ;
5
max {f
1
(x), . . . , f
n
(x)} ;
!5
f
1
(x)
ln (2 + |f
2
(x)|)
;
5
f
1
(x)
ch[f
2
(x)]
;
5
f
1
(x) · f
2
(x)
1 + |max {f
3
(x), f
4
(x)}|
.
%&
A
−
 !

 
&  
f, f
n
, g
n
: A → R
 !

 

 

 
<
&  
 !

 

 

 
5
∞
∪
n
=1
{x ∈ A : f
n
(x) ≥ 0} .
5
∞
∩
n
=1
{x ∈ A : f
n
(x) ≥ f(x)} .
!5

x
∈ A : sup
n
≥1
f
n
(x) = f(x)

.
5

x
∈ A : inf
n
≥1
f
n
(x) < f(x)

.
5
x
∈ A : lim
n
→∞
f
n
(x) > f(x)
.

5

x
∈ A : lim
n
→∞
f
n
(x) < f(x)

.
5
∞
∪
n
=1
{x ∈ A : f
n
(x) < g
n
(x)} .
5

x
: inf
n
≥1
f
n
(x) = inf
n
≥1
g
n
(x)

.


%& 
<
f
n
: R → R

"

!





g
: R → R
 "



&
lim
n
→∞
f
n
(x) = g(x)
 
R

 
 
!


  
 

 
5
f
n
(x) = cos
n
x.
5
f
n
(x) =

2
π
arctg x

n
+ sin
n
2x.
!5
f
n
(x) = x
2
· sin
n
x
2
.
5
f
n
(x) =
n
2
· sin
2
x
1 + n
2
· sin
2
x
.
5
f
n
(x) =
sin
n
x
2 + sin
n
x
.

5
f
n
(x) = exp(−n
##
x
2
− 1
##)
.
%&$
<
f
n
: R
2
→ R

"

!





g
1
: R
2
→ R
 


g
2
: R
2
→ R
  


 

 
&
lim
n
→∞
f
n
(x) = g
1
(x)


lim
n
→∞
f
n
(x) = g
2
(x)
  
R
2

 
 
 



+ 
5
f
n
(x, y) = cos
n

x
2
+ y
2

.
5
f
n
(x, y) = exp

−n

x
2
+ y
2

.
!5
f
n
(x, y) = exp(−n |x + y|).
5
f
n
(x, y) = 2
sin
n
(x
4
+y
4
)
.
5
f
n
(x, y) =
n
"
|x|