[-]

A → R

"




!

x
∈ A

|f(x)| ≤ ϕ(x)

 

f


Z 
(

 

!


 
!
"#

<

 

  -
ϕ
(x) ≡ 2


f
(x) =
⎧
⎨
⎩
−1, agar x ∈ Q
1,
agar
x
∈ R\Q.
(7.12)
'!

x
∈ [0, 2]

!


|f(x)| ≤ ϕ(x)
 
 
ϕ
: [0, 2] → R
  


 
[0, 2]

 
Z 
(

 
"
!


 
/ 
f


[0, 2]

 
Z 
(

 "


!


'

D

Z 
(

 
!

 "



 



&/
7 
 

 

(
A
 !

 
&  
; 
ϕ




c >
0


 

 

 
μ
{x ∈ A : ϕ(x) ≥ c} ≤
1
c
$
A
ϕ
(x)dμ
(7.13)
 
 
38#`5
7 
 
  
!
"#

*
 
 
A
c
= { x ∈ A : ϕ(x) ≥ c}

 
,
 
$
A
ϕ
(x) dμ =
$
A
c
ϕ
(x) dμ +
$
A
\A
c
ϕ
(x) dμ ≥
$
A
c
ϕ
(x) dμ ≥ c · μ (A
c
) .
'


38#`5
 

 


!


&
f
(x) = 3x
2
+ 2, x ∈ [0, 1]



 
(

 
 
X

 
Z 


/ 


 
 
"

8b"  

 

!
"#

'  
f
(x) = 3x
2
+ 2, x ∈ [0, 1]







'


 !

 


[0, 1]

 
!
  


!




 

!

f



 

!




 

!

{f
n
}



 

"




 




n
∈ N

f
n


 
 
 

 
 
lim
n
→∞
+
A
f
n
(x) dμ

 


 
2



!



   
[0, 1]

 
0 <
1
n
<
2
n
<
· · · <
n
− 1
n
<
n
n
= 1

  

 

n

 


  


A
k
=

k
− 1
n
,
k
n

, k
= 1, 2, . . . , n − 1, A
n
=

n
− 1
n
,
1


  
   
1
 



&  
+ "+ 
 
 

 



n
k
=1
A
k
= [0, 1]

f
n




[0, 1]

 
"
!

 
  -
f
n
(x) = f

k
n

= 3
k
2
n
2
+ 2,
x
∈ A
k
, k
= 1, 2, . . . , n.

1
 

"

[0, 1]

f



 

   
max
0≤ x ≤1
|f
n
(x) − f(x)| = max
1≤ k ≤n
max
x
∈A
k
|f
n
(x) − f(x)| =
= max
1≤ k ≤n
max
x
∈A
k
|f(k/n) − f(x)| = max
1≤ k ≤n
3(2k − 1)
n
2
=
3(2n − 1)
n
2
.
\ 


"

[0, 1]

f



 
[
f
n




[0, 1]
& 

!

/ 


 
 
  
$
[0,1]
f
n
(x) dμ =
n

k
=1
f

k
n

μ
(A
k
) =
n

k
=1

3k
2
n
2
+ 2

1
n
=
3
n
3
n

k
=1
k
2
+
+
2
n
n

k
=1
1 =
3
n
3
n
(n + 1)(2n + 1)
6
+ 2 =
(n + 1)(2n + 1)
2 n
2
+ 2.
(7.14)
_
 
!

n
∈ N

!


 

 
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ · · · + n
2
=
n
(n + 1)(2n + 1)
6
 

 
38#b5
 
n
→ ∞
  
 
lim
n
→∞
$
[0,1]
f
n
(x) dμ = lim
n
→∞

(n + 1)(2n + 1)
2 n
2
+ 2

= 1 + 2 = 3


   
. 
 +
Z 


/ 


 
 

8b"  

 
  
$
1
0
(3x
2
+ 2) dx = (x
3
+ 2x)
##
1
0
= 1 + 2 − 0 = 3.
\ 
(

 
 






()
*
+,
*


*+-
 +

#

-

&
*
f
: A → R
 !

 



 

 
g
(x) = [f(x)]


A






 

 
'


[a]


a

 
 
 
&
. !

 
A
⊂ E
&  
y
= χ
A
(x)
  


E






 
(


8#" 

 
A
n
&  "

 !

 

 

 

 


& 
y
= sign x

E
= [−1, 3]






 
(

"



8#" 


 

 
&$
*
f
1
: A → R


f
2
: E\A → R



 

 

 
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
f
1
(x),
x
∈ A
f
2
(x), x ∈ E\A


E






 

 
&%
=

&





K

[0, 1]\K






 

 
'


K
−
=

&  
&&
K : K → R
=







 

 
'


K
−
=

&  
&'
<



 
[0, 1]
& 

!

 
/ 


 
 
a
) f(x) =
⎧
⎨
⎩
0, agar x ∈ K
n, agar x
∈ K
n
,
b
) g(x) =
⎧
⎨
⎩
1, x ∈ K
2
−n
,
x
∈ K
n
.
&.
2





&
 







 
"

 
&/
2


 








 

 
&
*
f


g




 

 

 
α f
+ β g








 

 
&
*
f
: A → R


g
: A → R




 

 

 
f
· g






 

 
&
f
: A → R


 !

 

 
!





 

!




 

"


+

 




 
"

 


& 
=

&





K

[0, 1]



 

!



!
   
 

 
!




 

"


&$
*
f


g



 
A
&  

 

!


 

 
α f
+ β g



A
&  

 
!


 


$
A
(α f(x) + β g(x) ) dμ = α
$
A
f
(x)dμ + β
$
A
g
(x)dμ
 
 

 
&%
f
(x) = [x], x ∈ [0, 5) = A






 

 



A
& 

!

 

 
 
&&
 

 !

 
A
⊂ E
!


+
E
χ
A
(x) dμ = μ(A)
 


 
&'
A
= {x ∈ [−π, π] : sin x < 0, 5}
!


+
[−π, π]
χ
A
(x) dμ

 
"
 
&.
\







 
(

 

 
,
A
= [0, 3]
& 

!

 

 
 
&/
Z 







 

 



A
=
[0, 1]
& 

!

 

 
 
8`#"8`8"  

 
f
: A → R





 

 


 
 
&
f
(x) = [2x], A = [0, 2)

&
f
(x) = sign x, A = [−1, 3]

&
f
(x) = χ
[0,1]\Q
(x),
A
= [−1, 3]

& 
f
(x) = [x] + sign x, A = [−1, 2]



&$
f
(x) = sign x + χ
[1,2]
(x), A = [−1, 4]

&%
f
(x) = n, x ∈ A
n
=

1
3
n
,
1
3
n
−1

,
n
∈ N, A = (0, 1].
&&
f
(x) =
1
n
, x
∈ A
n
=

1
(n + 1)!
,
1
n
!

,
n
∈ N, A = (0, 1].
&'
f



 

!



A
&  

 

!







 

"

!


38b5
 

+

 
&.
'  
f


!


38b5
  



 

!

{f
n
}

"

 

 


 
& /
/ 


 

  


 
'

 "



 

 
!


 
 
$
A
k
· f(x) dμ = k
$
A
f
(x) dμ, k ∈ R.
& 
/ 


 
  


 
'

  


 

 
!


 
 -
$
A
(f(x) + g(x)) dμ =
$
A
f
(x) dμ +
$
A
g
(x) dμ.
8b>


8b#"  

 
 

 
36#9

5
/ 


 







 
 

 
& 
/ 


 



 
A
&  
!
  
 !

 
f



 

!

& 
/ 


 
  

3
5

 
A
&  "

; 
f
(x) ≥ 0



 
; 
&  
/ 


 



 
*
μ
(A) = 0

 

 
 

f
: A → R



 
 



& $
*
 
 
!

x
∈ A

!


f
(x) = g(x)

 

 
$
A
f
(x)dμ =
$
A
g
(x)dμ
 
( 

 
'

/ 


 


  
8b7


8b8"  

 
 



/ 


"
 








 
  
36#9

5
& %
*
ϕ


A
&  

 

!


 
 
 
!

x
∈ A

!


|f(x)| ≤ ϕ (x)

 

 
f
 !

 



A
&  

 

!


 

 
& &
*
f
 !

 



 

 
f


|f|

 


 

 

!




 

!



 
& '
*


n
∈ N
!


38##5
 
 
 

!

f
but
n





 

!


 

 

 
$
A
f
(x) dμ = lim
n
→∞
$
A
f
but
n
(x) dμ.
& .
/ 


 


Z 

 
!


 

_
(



f
: A → R


g
: A → R

 

 



 

Z 
(

 

!

!



 

!


 
A
= [0, 2]

 
\
D(x)



θ
(x) = 0

 
 
 
&$/
/ 


 




Z 

 
!


 

_
(
Z 
(

 

!


 



f
: A → R
"







 
|f|

Z 
(

"
 

!


 
38#%5