[-]

^{3-misol. P}₃^{(x)=x3-3x2+ 5x+ 7 ni 2x+ 1 ga bo'Iishdan hosil bo'Igan qoldiqni toping.}
Yechish. Qoldiq r=PJ(-1!2)=(-1!3/-3-(-1!2/+5-(-1!2)+7=29/8 ga teng.
2-teorema. Agar a soni P(x) kophadning ildizi boIsa, P(x) kophad x-c ikkihadga qoldiqsiz bo' linadi.

lsbot. Bezu teoremasiga ko 'ra, P(x) nix-a ga bo 'Iishdan chiqadigan qoldiq Pia) ga teng, shart bo 'yicha esa P(a)=O. Isbot bajarildi.

Bu teorema P(x)=O tenglamani yechish masalasini P(x) kophadni chiziqli ko' paytuvchilarga ajratish masalasiga keltirish imkonini beradi.

^{1-natija. Agar P(x) ko phad har xii a}₁^{, ••• , a}₁₁ ^{ildizlarga ega bolsa, u (x-a-) ... (x•}
a,J ko 'paytmagu qoldiqsiz bo 'linadi.
2-natija. n-darajali ko 'phad n tadan ortiq har xii ildizga ega bo 'la olmaydi.
lsbot. Agar n- darajali P(x) ko 'phad n+ 1 ta har xil a₁, ... , ak+I ildizlarga ega bolganda, u n+l-darajali (x-a.) ... (x-ak+I) kopaytmaga qoldiqsiz bolinardi. Lekin

bunday bo lishi mumkin emas.
Yuqorida qaralgan teoremalardan foydalanib, Fransua Viyet (fransuz olimi, 1540-
1603) tomonidan berilgan hamda P(x)=O butun algebraik tenglamaning a, haqiqiy koeffitsiyentlari va a; ildizlari orasidagi munosabatni ifodalovchi formulalami keltiramiz:

^{1) a}₂^x2+a₁^x+a₀^=b(x-a₁^)(x-a₂^)=bx2-b(ara₂^)x++ba₁^a₂^{. Agar x ning bir xil darajalari}

oldidagi koeffitsiyentlari tenglashtirilsa, b=a₂ boladi. Natijada ushbu formulalar topiladi:
a1+a2=-a/a2, a1a2=ar/a2;

2) shu tartibdaPJ(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ uchun:
a1+a2+a3=-a/a3, a1a2+a1a3+a2a3=a/a3, a1a2a3=-ar/a3 formulalar topiladi.
Hosil qilingan tengliklaming bajarilishi av ... , an sonlarining Pn(x) = a.x"
+ ... +a₀ ko'phad ildizlari bo'lishi uchun zarur va yetarlidir.Agar P(x) ko'phad
(x- at ga qoldiqsiz bo'linsa,lekin, (x-at+¹ ga qoldiqsiz bo'linmasa, a soni P(x)
uchun k karrali ildiz bo'ladi.

Tenglama — ikki yoki undan oshiq ifodalarning oʻzaro bogʻlanganini koʻrsatuvchi matematik tenglik. Tenglamalardan matematikaning barcha nazariy va amaliy sohalarida hamda