§ 63. Yasash imkoniyatlari haqida umumiy ma'lumot

§ 63. Yasash imkoniyatlari haqida umumiy ma'lumot
Yechimi bor har bir konstruktiv masalani geometrik yasash yuli bilan yechish mumkin; bunda fakat tegishli yasash qurollarini o`rinli ishlata bilish kerak, chunki har bir geometrik masala har qanday asbob yordamida yechila bermaydi, berilgan masalaning uziga mos qurolni ishlata bilmaslik natijasida yechimi bor masalani ham yecha olmaslik mumkin. Masalan, kadimgi grek olimlari sirkul va chizgichdan boshqa yasash qurollarini deyarli ishlatmaganlari uchun bir necha klassik masalalarni yecha olmaganlar.
Keyinrok ular yecha olmagan masalalarni yechish uchun birgina emas, balki bir necha yullar va bunda ishlatiladigan maxsus konstruktiv asboblar topilgan. Shunday kilib, konstruktiv masalaning yechilishi bor yoki yuq ekanligi nisbiy tushunchadir. Biz bunda qanday konstruktiv asboblar bilan qanday masalalarni yechish mumkinligiga tuxtalmay-miz. Biz fakat sirkul va chizgich yordami bilan qanday masalalarni yechish mumkin yoki qanday masalalarni yechish mumkin emas, masalasigagina tuxtaymiz.
I. Algebrik ifodasi bilan berilgan kesmani sirkul va chizg`ich vositasida yasalishini zarur va yetarli shartlari.
Yukorida misol tarikasida keltirilgan ifodalarni yasash vaqtida, hamma ifodalar, yo berilgan kesmalarning rasional funksiyalari, yo faqat ularning kvadrat ildizlarini o`z ichiga olgan ifodalar ekanligini kurgan edik. Bu dol tasodifiy emas. Ma'lum a, b, c, . . . kesmalar orsali ifodalangan x =f(a , b, s, . . .) kesmani sirkul va chizgich yordamida yasash mumkin bulishi uchun bu ifoda berilgan kesmalardan iborat argumentlarga nisbatan rasional va birinchi darajali bir jinsli funksiya bulishi yoki rasional amallar(sushish, ayirish, ko`paytirish va bulish amallari) bilan birga faqat kvadrat ildizlarni o`z ichiga olgan birinchi darajali bir jinsli funksiya bulishi zarur va yetarli shart ekanligini analitik geometriyadan foydalanib isbot qilish mumkin (§ 59 ga qarang).
Masalan:

1. 
   +
   

Bu misollarning dar biri rasional va birinchi darajali(ya'ni bir o`lchovli) bir jinsli funksiya bulgani uchun ularni sirkul va chizg`ich yordamida geometrik yasash mumkin.

2. 
   Ushbu misollarning
   

xar biri rasional amallar bilan kvadrat (yoki bunga keltiruvchi) ildizlarni o`z ichiga olgan bir ulchovli bir jinsli ifoda bulgani uchun ularni ham sirkul va chizg`ich yordamida yasash mumkin.

3. 
   Quyidagi ifodalarning:
   

oldingi uchtasi birinchi darajali bulmagani va keyingi ikkitasi esa bir jinsli bulmagani sababli ularni sirkul va chizg`ich vositasida bevosita yasash mumkin emas.
§ 60 da kurilgan yul bilan bularni birinchi darajali va bir jinsli kurinishga keltirilgandan keyingina usha qurollar yordamida yasash mumkin.

4. 
   Quyidagicha ifodalangan x kesmani sirkul va chizg`ich yordamida yasash mumkin emas:
   

chunki bu ifoda bir o`lchovli bir jinsli bulsada, bunda rasional va kvadrat ildiz topish amallaridan boshqa kub ildizi ham mavjud.
Shuningdek, 5, 6, 7, 9, ...-darajali va, umuman, kvadrat ildizga keltirib bulmaydigan ildizlardan birortasini o`z ichiga olgan ifodani sirkul va chizg`ich yordamida yasash mumkin emas(buning sababi bilan shu § ning II bulimida tanishamiz).
II. Masalaning serkul va chizg`ich vositasida yechish belgilari(alomatlari)
Masalaning shartlariga va ma'lum teoremalarga asoslanib tenglama tuzishni va uning ildizlarini izlangan kesma sifatida yasashni yukorida kurdik.
§ 63-1 dagi 112—116-masalalarni yechishda tuzilgan tenglamalar birinchi yo ikkinchi darajali algebraik tenglamalar bulib, ularning ildizlarini bir yo bir necha to`g`ri chiziq va aylanalar chizish orkali (ya'ni faqat chizg`ich va sirkul yordamida) yasash mumkin buldi. Bu albatta tasodifiy xol emas.Yukorida aytilganidek, umuman birinchi yo ikkinchi darajali algebraik tenglama tuzishga keltiriladigan har bir masalani sirkul va chizg`ich vositasida yechish mumkinligini analitik geometriyadan foydalanib isbot kilish mumkin, chunki bunday tenglamalarning ildizlari § 63-1 da kurilgan shartlarga javob beradi.
Ma'lumki, algebraik usul bilan yechganda 3, 4 va yuqori darajali tenglamalarga keltiriluvchi masalalar ham ko`p uchrab turadi. Ana shunday tenglamalarni algebraik yechmay turib, ularning ildizlarini sirkul va chizg`ich vositasida yasash mumkin yo mumkin emasligini ayta bilishimiz kerak. Buning uchun algebradan ma'lum bulgan kuyidagi jumlalarga murojaat etamiz:
a) agar rasional koeffisientli kub tenglama rasional ildizlarga ega bulmasa, u kvadrat radikallarda dam yechilmaydi, ya'ni bunday tenglama tuzishga keltirilgan masala sirkul va chizg`ich vositasida yechilmaydi.
Rasional koeffisientli kub tenglamaning rasional ildizlarga ega bulish sharti kuyidagidan iborat:
b) agar tenglamadagi eng yukori darajali noma'lumning koeffisienta 1 bulib, kolgan damma koeffisientlari faqat butun sonlar bulsa, bunday tenglamaning har bir rasional ildizi butun son bulib, u tenglamadagi ozod dadning buluvchilari orasida bulishi mumkin.
Bunga misollar kuraylik.
1) Rasional koeffisientli ushbu — 4 = 0 tenglama ozod haqining buluvchilari bulgan ± 1, ± 2 va + 4 sonlarining birortasi ham bu tenglamani qanoatlantira olmaydi. Demak, bu tenglama rasional va kvadrat irrasional ildizlarga ega emas.
2) Kuyidagi tenglamaga keltiradigan masalaning sirkul va chizg`ich vositasida yechish mumkin yo mumkin emasligini aniqlaylik:
(1)
Bundagi ning koeffisienta 2 bo`lgani uchun bu tenglamani avval yukori darajali noma'lumining koeffisienta + 1 bulgan tenglamaga keltirib olamiz.
Buning uchun (1) ni kuyidagi kurinishda yozib olaylik:

yoki:
(1)
Bunda kuyidagi shartni kabul kilaylik:
(2)
Bu dolda (1) tenglama ushbu kurinishga keladi:
(3)
20 sonning buluvchilari ichidan 4 soni bu tenglama ildizi bula oladi, ya'ni kuyidagi o`rinlidir:
(4)
shuning uchun (3) tenglama kvadrat radikallarda yechiladi.
Xaqiqatan (3) ning chap tomonini v — 4 ga bulishdan chiqqan ifodaki 0 ga tenglab, hosil bulgan kvadrat tenglamani yechsak, ushbu ildizlar chikadi:
. (5)
v uchun topilgan kiymatlarni (2) ga kuysak, berilgan (1) tenglamaning ushbu ildizlari hosil bo`ladi:
(6)
Bu ildizlar § 63-1 da yozilgan talablarga javob beradi. Shuning uchun (1) tenglamaga keltirgan masala sirkul va chizg`ich vositasida bemalol yechilaveradi.