§. Natural va butun sonlar

6 - §. Sonning butun va kasr qismi.

x haqiqiy sonning butun qismi deb, x dan oshmaydigan eng katta butun songa aytiladi.

X sonining butun qismi [x] ko’rinishida yoziladi.

Misol uchun [3,8] = 4, [-3,8] = -4

Har qanday x haqiqiy son uchun quyidagi tenglik o’rinlidir.

[x] x <[x]+1

X haqiqiy sonining kasr qismi deb, x va uning butun qismi ayirmasiga aytiladi.

X sonining kasr qismi {x} ko’rinishida yoziladi.

Har qanday x haqiqiy son uchun quyidagi tengliklar o’rinlidir.

x = [x] + {x}, {x} = x - [x]

Misol uchun {3,8} = 3,8-3 = 0,8 , {-3,8} = (-3,8) – (-4) =0,2

X haqiqiy sonning butun qismi doimo butun son bo’ladi: Ya’ni [x] Z

X haqiqiy sonning kasr qismi doimo quyidagi shartni qanoatlantiradi.

0 {x}<1

X haqiqiy son va n butun sonlar uchun quyidagi tenglik doimo qanoatlantiradi.

[x+n] = [x] + n

Misol uchun [3,8 + 4] = [3,8]+4

6-Mashq.

1.[x-1] + [x+3] = 12 tenglamani yeching

2. [x] – [x+2] +[x+4] = 18 tenglamani yeching.

3. [-2x] + [1-2x] + [3-2x] = 1 tenglamani yeching.

4. [x] = x tenglamani yeching.

5. [2x-1] = x+1 tenglamani yeching.

6. [] = tenglamani yeching.

7. [3x² -x] = x+1 tenglamani yeching.

8. [ x²] = x tenglamani yeching.

9. Agar a sonini m soniga bo’lganda qoldiq r bo’lsa,

[] = tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsating.

10.Agar nN shart o’rinli bo’lsa, tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsating.

11. Agar EKUB (a;4) = 1 shart o’rinli bo’lsa, tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsating.

12. [x] = 3x+1 tenglamani yeching.

13. [x]{x} = 1 tenglamani yeching.

14. {x} = 1-x tenglamani yeching.

15. x = 2[x] –{x} tenglamani yeching.

7 - §. Algebraik ifodalar

Ko’phadlarning umumiy ko’rinishi P(x) = a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+…….+a₂x² + a₁x+a₀ shaklda bo’ladi. Agar x=1 qiymatni P(x) ko’phadga qo’ysak

P(1) = a_n1ⁿ +a_n-11^n-1+…….+a₂ 1² + a₁ 1+a₀ = a_n +a_n-1+a_n-2+……+a₂ + a₁ + a₀ (1)

ko’rinishda bo’ladi. Bundan shuni xulosa qilish mumkinki ko’phadning koeffitsientlari yig’indisini topish uchun P(1) ko’phadning qiymatini hisoblash kerak ekan.

Faraz qilaylik agar n juft son bo’lsa, x=-1 qiymatda P(-1) = a_n(-1)ⁿ +a_n-1(-1)^n-1+…….+a₂ (-1)² + a₁ (-1)+a₀ = a_n -a_n-1+a_n-2+……+a₂ - a₁ + a₀ (2)

shaklda bo’ladi.

Agar yuqoridagi (1) va (2) ifodalarni qo’shib yuborsak

P(1)+P(-1) = 2a_n + 2a_n-2 + ……+2a₂ +2a₀ (3)

shakl hosil bo’ladi. Bu yuqoridagi (3) ifodani quyidagicha shaklda yozib olamiz.

a_n + a_n-2 + ……+a₂ +a₀ = (P(1)+P(-1)) . Bu hosil bo’lgan tenglik P(x) ko’phaddagi x ning juft darajalari oldidagi koeffitsiyentlari yig’indisi deyiladi.

Agar yuqoridagi (1) va (2) ifodalarni ayirib yuborsak

P(1) – P(-1) = 2a_n-1 + 2a_n-3 +…..+2a₃ +2a₁ (4)

tenglik hosil bo’ladi. Bu yuqoridagi (4) ifodani quyidagicha shaklda yozib olish mumkin.

a_n-1 + a_n-3 +…..+a₃ +a₁ = (P(1)-P(-1)) . Bu hosil bo’lgan tenglik P(x) ko’phaddagi x ning toq darajalari oldidagi koeffitsiyentlari yig’indisi deyiladi. Biz n son juft bo’lgan holatdagi ko’phad bo’yicha ko’rib chiqdik. Yuqoridagi hosil bo’lgan natijaviy shartlar n toq son bo’lgan holatda ham o’rinli bo’ladi. Bunga o’zingiz mustaqil ravishda ishonch hosil qilib ko’ring.

Sizga algebraik ifodalarning boshlang’ich nazariyasidan qisqa ko’paytirish formulalarining oddiy shakllari ya’ni (ab)² va (ab)³ ko’phadlar yoyilmasi shaklda yozish ma’lumdir.

Bu qisqa ko’paytirish formulalarni ko’phad yoyilmasi shaklda yozishda siz darajada qaysi son turgan bo’lsa, shuncha ko’paytuvchilarga ajratib so’ngra ko’paytmani hisoblash kerak edi. Ya’ni

(ab)² = (ab) (ab) = a²2ab+b²

(ab)³ = (ab) (ab) (ab)= a³3a²b+3ab²b³

Siz bu amallarni har doim takrorlamasligiz uchun oxirida hosil bo’lgan ko’phad yoyilmasini yod olishga majbur edingiz. Lekin siz bu yuqoridagi amallarni darajasi 2,3 yoki ko’pi bilan 4 bo’lgan holatda bajara olishingiz mumkin. Siz bilan birgalikda umumiy holatda (a+b)ⁿ ko’phad yoyilmasi shaklda yozishda 2 ta buyuk matematik Paskal va Nyutonning ishlarini ko’rib chiqamiz.

1. 
   Paskal aniqlagan usul.
   

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1. 
   4 6 4 1
   

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

……………………….

Bu yuqoridagi ajoyib uchburchak matematikada Paskal uchburchagi deb nom olgan. Bu uchburchakning har bir qatoridagi son o’zidan oldingi turgan qatorning o’sha o’rindagi va bitta oldingi sonning yig’indisiga teng. Ya’ni 6 – qatorning 3 o’rnida 10 soni turibdi. Bu son 5 - qatorning 3 o’rnidagi va 2 o’rnidagi sonlar yig’indisiga tengdir.

Bu uchburchakning har bir qatoridagi sonlar (a+b)ⁿdarajani ko’phad yoyilmasi shaklda yoyishdagi koeffitsiyentlarga tengdir.

Misol: (a+b)⁵ va (a-b)⁵ darajalarni Paskal uchburchagi yordamida ochib chiqamiz.

(a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

(a-b)⁵ = (a+(-b))⁵ = a⁵ +5a⁴(-b)+10a³(-b)²+10a²(-b)³+5a(-b)⁴+(-b)⁵= a⁵-5a⁴b+10a³b²-10a²b³+5ab⁴-b⁵

2)Nyuton aniqlagan usul.



Bu Nyuton tomonidan aniqlangan usul Nyuton binomi deyiladi. - binomial koeffitsiyent deyiladi va tenglik orqali hisoblanadi.

Misol: (x+y)⁶ darajani Nyuton binomi usulida ochib chiqamiz.

=x⁶+6x⁵y+15x⁴y²+20x³y³+15x²y⁴+6xy⁵+y⁶