§. Natural va butun sonlar

§. Sonlarning ixtiyoriy natural songa bo’linish belgilari.

Siz quyidagi bir nechta oddiy lekin muhim bo’lgan teoremalarni eslab qolishingiz shart.

1.Agar a-b va b-c sonlari m soniga qoldiqsiz bo’linsa, a-c soni ham m soniga qoldiqsiz bo’linadi.

2.Agar a-b va c-d sonlari m soniga qoldiqsiz bo’linsa, a+c- (b+d) soni ham m soniga qoldiqsiz bo’linadi.

3.Agar a-b soni m soniga qoldiqsiz bo’linsa, aⁿ-bⁿ soni ham m soniga qoldiqsiz bo’linadi.

4.Agar a-b soni m soniga qoldiqsiz bo’linsa, ak-bk soni ham mk soniga qoldiqsiz bo’linadi.

5.aⁿ-bⁿ soni a – b soniga qoldiqsiz bo’linadi.

6.a^2n-1+b^2n-1 soni a+b soniga qoldiqsiz bo’linadi.

7. a²ⁿ – b²ⁿ soni a+b soniga qoldiqsiz bo’linadi.

8.(a+b)ⁿ sonini a soniga bo’lgandagi qoldiq bⁿ sonini a soniga bo’lgandagi qoldiqqa tengdir.

Misol: 10ⁱ sonini 9 ga bo’lgandagi qoldiqni aniqlang.

Yechimi: 10ⁱ = (9+1)ⁱ ko’rinishida yozib olamiz.

Yuqoridagi 8-teorema yordamida (9+1)ⁱ sonini 9 ga bo’lganda qoldiq 1ⁱ sonini 9 ga bo’lgandagi qoldiqqa tengdir yani o’nning har qanday darajasini 9 ga bo’lganda qoldiq 1 ga teng bo’lar ekan.

Bu yuqoridagi teoremalarni o’zingiz isbotlashga harakat qiling.

Sizga ajoyib quyidagi Paskal aniqlagan natural sonlarning umumiy bo’linish alomatlarini aniqlab beruvchi formulasini tanishtirib o’tamiz.

N natural sonni ixtiyoriy m natural songa bo’linish alomatini aniqlaymiz.O’nlik sanoq sistemasida N natural soni quyidagicha yozilgan N = va r_i – 10ⁱ sonini m natural songa bo’lganda qoldiq bo’lsin. U holda a_nr_n + a_n-1r_{n-1 + …….+} a₁r₁ + a₀ son m natural songa bo’linsa, N natural son ham m natural songa bo’linadi.

Misol: Bu yuqoridagi Paskalning aniqlagan umumiy bo’linish alomati yordamida natural sonning 9 ga bo’linish alomatini aniqlaymiz.

Yechimi: Ixtiyoriy natural N sonni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.

N= = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1+…..+a₁10+a₀

Sizga ma’lumki 10ⁱ sonini 9 ga bo’lganda qoldiq 1 bo’lishini yuqorida aniqlagan edik. Buning yordamida va Paskal qoidasiga asosan N natural son 9 ga qoldiqsiz bo’linishi uchun a_n+a_n-1+a_n-2 +…+a₁+a₀ son 9 ga qoldiqsiz bo’linishi kerak. Buni boshqacha qilib aytganda N natural sonning raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linsa, shu natural sonning o’zi ham 9 ga qoldiqsiz bo’linadi.

2-Mashq.

1. Paskalning aniqlagan umumiy bo’linish alomati yordamida o’nlik sanoq sistemasidagi barcha natural sonlarni 2,3,4,5,7,8,10,11,16 va 25 sonlarga bo’linish belgisini aniqlang.

2. Agar b+ 1ifoda 6 gadoimoqoldiqsizbo’linsa, 13b+7 ifodaquyidagilardanqaysibirigadoimoqoldiqsizbo’linadi?

A)3 B)2 C)6 D) barchasigaqoldiqsizbo’linadi

3.Agar 4+a va 35 – b ifoda 31gaqoldiqsizbo’linsa, a +b ifoda quyidagilardan qaysi biriga qoldiqsiz bo’linadi?

A)31 B) 13 C)6 D) to’g’rijavobkeltirilmagan

4. Agar ava bsonlaruchun 56a = 65b shart bajarilsa, a + b son quyidagilardan qaysi biriga qoldiqsiz bo’linadi?

A) 14 B)13 C)5 D)121

5. n³ + 2n ifoda n soniningnechta naturalqiymatida 3 sonigaqoldiqsizbo’linadi?

A) 5 B)10 C)15 D) cheksizko’p

6. Ixtiyoriy 9 ga bo’linadigan 2017-xonali son olamiz. Bu sonning raqamlari yig’indisi M bo’lsin.M sonining raqamlar yig’indisi N bo’lsin. N sonining raqamlar yig’indisi K bo’lsa , K ning qiymatini toping.

A)10 B)9 C)99 D) aniqlab bo’lmaydi

7. Agar a soni b soniga bo’linsa, aⁿ soni bⁿ soniga

bo’linishini ko’rsating.

8. Agar a + b va ab sonlari c soniga bo’linsa, a² + b² so soni ham c soniga bo’linishini ko’rsating.

9. Agar a² soni a+b soniga bo’linsa, b² soni ham a+b

soniga bo’linishini ko’rsating.

10. Agar ab + cd soni a + c soniga bo’linsa, ad + bc soni

ham a + c soniga bo’linishini ko’rsating.

11. Mavzuda keltirilgan teoremalar yordamida

27ⁿ +1 sonini 3 ga qoldiqsiz bo’linishini ko’rsating.

12. Mavzuda keltirilgan teoremalar yordamida

6²ⁿ +3ⁿ⁺²+3ⁿ sonini 11 ga qoldiqsiz bo’linishini

ko’rsating.

13. Mavzuda keltirilgan teoremalar yordamida

2ⁿ⁺⁵3⁴ⁿ + 5^{3n + 1} sonini 37 ga qoldiqsiz bo’linishini

ko’rsating.

14. Mavzuda keltirilgan teoremalar yordamida

5ⁿ3ⁿ⁺² + 2^{5n + 3} sonini 17 ga qoldiqsiz bo’linishini

ko’rsating.

14. Mavzuda keltirilgan teoremalar yordamida

52³ⁿ⁺¹ + 3^{3n +2} sonini 19 ga qoldiqsiz bo’linishini

ko’rsating.

15. a ning nechta butun qiymatida a² +1 soni a+1

soniga qoldiqsiz bo’linadi?

1. 
   3 B)4 C)2 D)1
   

16. n ning nechta butun qiymatida n³ +14 soni n+2

soniga qoldiqsiz bo’linadi.

A)8 B)6 C)4 D)3

17. n ning nechta butun qiymatida n³ +4n² -3 soni

n+2 soniga qoldiqsiz bo’linadi?

A)8 B)6 C)4 D)3

18. n ning nechta butun qiymatida n³ +7n +1 soni

n-2 soniga qoldiqsiz bo’linadi?

A)8 B)6 C)4 D)3

19. n ning nechta butun qiymatida n⁴ +7n² +1 soni

n² +2 soniga qoldiqsiz bo’linadi?

A)4 B)3 C)2 D)1

20. a ning qanday qiymatida n³+an+b soni n²+1

soniga qoldiqsiz bo’linadi?

A)1 B)0 C)-1 D)2

21. b ning qanday qiymatida n³+an+b soni n²+1

soniga qoldiqsiz bo’linadi1?

A)1 B)0 C)-1 D)2

22. Agar a + 4b soni 13 ga qoldiqsiz bo’linsa,

10a+b soni ham 13 ga qoldiqsiz bo’linishini

ko’rsating.

23. Agar 3a + 2b soni 17 ga qoldiqsiz bo’linsa,

10a+b soni ham 17 ga qoldiqsiz bo’linishini

ko’rsating.

24. 6n + 5 sonini 3 ga bo’lgandagi qoldiqni aniqlang.

A) 1 B)2 C)0 D)-2

25. n³ + 5n sonini 6 gabo’lgandagiqoldiqni toping.

A) 3 B)1 C)0 D)5

26. Sarvar 1 dan 100 gacha bo’lgan natural sonlarni

ko’paytmasini (100! = 123……..100) hisobladi. Hosil

bo’lgan natijani raqamlari yig’indisini topdi . Bu

matematik amalni bir xonali son hosil bo’lgancha

davom ettirdi. Oxirida hosil bo’lgan natijaviy bir

xonalini toping.

A)9 B)6 C)0 D)1

27. Har xil raqamlardan tuzilgan va 45 ga qoldiqsiz bo’linadigan eng katta o’n xonali sonni aniqlang.

28. Faqat 1 raqamlaridan tuzilgan va 77 ga qoldiqsiz bo’linadigan eng kichik sonni aniqlang.

29. 2n+3 ko’rinishdagi sonlarning kvadratini 8 ga bo’lgandagi qoldiqni aniqlang.

30. olti xonali son 24 ga qoldiqsiz bo’linsa, x va y raqamlarni aniqlang.

31. Agar a, b va c raqamlar uchun 9c = 3a+b shart o’rinli bo’lsa, unda uch xonali son 7ga qoldiqsiz bo’linishini misollarida ko’ring. Misollarda ishonch hosil qilgandan so’ng isbotlashga harakat qiling.

32. ko’rinishidagi olti xonali son 53 ga qoldiqsiz bo’linsa, x va y raqamlarni aniqlang.

33. 3a +1 ko’rinishdagi va 5 ga qoldiqsiz bo’linadigan dastlabki 3 ta natural sonning yig’indisini toping.

34. 9 varaq qog’oz bor edi. Ularning bir nechtasini 3 bo’lakka bo’lish natijasida 15 varaq qog’oz hosil bo’ldi. Nechta varaq 3 bo’lakka bo’lingan?

35. Quyidagi bo’linmalardan qoldiqni toping.

a)(5n+2):5 b)(5n-2):5 c) (5n+3):n d)(6n+5):3 e) (n²+1): (n-1)

36. 14^x + 14^x+1+14^2x sonining oxirgi raqamini toping.

A)0 B)4 C)6 D)8

37. 1+2+3+4+5+…..+n yig’indini qanday raqamlar bilan

tugashi mumkin?

37. Ifodaning oxirgi raqamini toping.

+++…….+

38. Ifodaning oxirgi raqamini toping.

+++…….+

39. Ifodaning oxirgi raqamini toping. 2016²⁰¹⁷+2017²⁰¹⁶

8. 9²¹⁸⁶+9²¹⁸⁷─3¹⁸⁵ifodaningoxirgiraqamini toping.

40. 1²+2²+3²+…+95² yig’indining oxirgi

raqamini toping.

41. (1²+2²+…[phone] ni oxirgi

raqamini toping.

42. nN bo’lsa,

yig’indi qanday raqam bilan tugaydi.

43. yig’indini oxirgi

raqamini toping.

44. 0!+3!+6!+9!+…………+321! yig’indining birlar xonasidagi raqamini toping.

45. 0!+4!+8!+12!+…………+2020!

yig’indining birlar xonasidagi raqamini toping.

46.1!+2!+3!+…………+2017!

yig’indining birlar xonasidagi raqamini toping.

47. Sonning oxirgi raqamini toping.

48. 2010+2008+2006+...+8+6+4sonining oxirgi ikkita raqamini toping. (bunda n!= 1234...n)

49. 2005⁶+2006⁶+2007⁶ sonining oxirgi raqamini toping.

50. 20122013201420152016 + 2017²2018² sonning oxirgi raqamini toping.

51. 7911......20172019 ko’paytmaning oxirgi raqamini aniqlang.

52.Yetti soni 19- darajaga ko’tarildi. Hosil bo’lgan son yana 19-darajaga ko’tarildi. Agar hosil bo’lgan sonlarni 19-darajaga ko’tarish 2018 marta takrorlangan bo’lsa, hosil bo’lgan sonning oxirgi raqamini toping.

53. Yetti soni 19- darajaga ko’tarildi. Hosil bo’lgan son yana 19-darajaga ko’tarildi. Agar hosil bo’lgan sonlarni 19-darajaga ko’tarish 2019 marta takrorlangan bo’lsa, hosil bo’lgan sonning oxirgi raqamini toping.

54. n ning qanday umumiy qiymatlarida n¹⁰ +1 soni nol raqami bilan tugaydi?

3 -