0-mavzu. Asosiy va umumlashgan funksiyalaring Fure almashtirishlari 10. Klassik Furye almashtrishi

Isbot. Quyidagi tengliklar tasdiqning o’rinli ekanligini ko’rsatadi:



.
Tasdiq. (Parseval tengligi ). Parseval nomi bilan yuritiluvchi ushbu
.
tenglik o’rinli.
Isbot. Ushbu

tengliklar tasdiqning o’rinli ekanligini isbotlaydi.
Eslatma. Agar funksiyaning normasini

ko’rnishda kiritsak, u holda Parseval tengligini

shaklda yozish mumkin, ya’ni Furye almashtirishi ( ko’paytruvchi aniqligigacha ) unitarlik xossasiga ega.
Kvand mexanikasida ko’p ishlatiladigan quyidagi tengsilik Furye almashtirishi xossalaridan kelib chiqadi:
. (18)
Bu tenglikni isbotlash uchun haqiqiy parametrga bog’liq bo’lgan
(19)
integralni qaraymiz. Osongina payqash mumkinki, funksiya bo’yicha nomanfiy kvadratik uchhad. Undan tashqari, agarda ushbu

va

munosabatlarning o’rinli ekanligini hisobga olsak, (18) tengsizlik (19) kvadrat uchhadning diskirminanti noldan katta bo’lmasgilini anglatadi.
10.2. Asosiy va umumlashgangan funksiyalarning Furye almashtirishi
dan olingan funksiya da local integrallanuvchi bo’lganligi sababli, bunday funksiyalar uchun Furye almashtirishi aniqlangan:
, (20)
bu yerda
,
- funksiyaning Furye almashtirishi.
manfiy bo’lmagan, komponentalari butun sonlardan iborat vector bo’lsin (multiindex). orqali funksiyaning tartibli hosilasini belgilaymiz:
;

Shuningdek , keyinchalik yozuvlarni qisqartirish maqsadida

kabi belgilashlar ham ishlatiladi.
asosiy funksiyalar uchun (20) integral aslida chekli soha bo’yicha integraldan iborat. Shuning uchun Furye almashtirishini o’zgaruvchi bo’yicha integral ostidan istalgancha differensiallsh mumkin:
.
dan olingan funksiyalarning Furye almashtirishi da absolyut integrallanuvchi va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lgani uchun, Furye almashtirishlarining umumiy nazariyasidan unga teskari almashtirishining mavjudligi kelib chiqadi:
,
bunda


.
Endi funksiya da absolyut integrallanuvchi bo’lsin. U holda uning Furye almshtirishini

da uzksiz va chegaralangan bo’lib, ixtiyoriy funksiyalar uchun umumlashgan funksiyani aniqlaydi:
,
Integrallash tartibini o’zgarrtirish haqidagi Fubini teoremasidan foydalanib, oxirgi integralni o’zgartiramiz:

.
Demak,
. (21)
Bu tenglik umumlashgan funksiyalarning Furye amlashtirishi sifatida qabul qilamiz.
Misol.
(22)
tenglikning o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham, (21) ga asosan, ixtiyoriy uchun

.
Agar (22) da bo’lsa,

bo’ladi. Bu yerdan
.
Shuning uchun
.