0-mavzu. Asosiy va umumlashgan funksiyalaring Fure almashtirishlari 10. Klassik Furye almashtrishi

10-mavzu. Asosiy va umumlashgan funksiyalaring Fure almashtirishlari

10.1 Klassik Furye almashtrishi
Bu paragrafda klassik Furye almashtrishi haqida ma’lumot keltirib o’tamiz. Bu yerda bajaradigan amallar ma’noga ega bo’lishi uchun Furye almashtrishini aniqlanadigan funksiyani yetarlicha silliq va cheksizlikda tez kamayuvchi( Shvars ma’nosida) deb faraz qilamiz.
Ta’rif. , funksiyaning Furye almashtrishi deb,

tenglik yordamida aniqlangan o’zgaruvchili funksiyaga aytiladi.
Zarurat bo’lganda o’rniga umumiyroq bo’lgan belgilashdan ham foydalanamiz.
Tabiiy ravishda Furye almashtirishi kompleks qiymatli funksiyalar sinfida qaraladi, ya’ni funksiya kompleks qiymat qabul qiladi va hatooki haqiqiy qiymatli funksiya bo’lganida ham. Juft funksiyalar bundan istisno.
Furye almashtirishining ba’zi xossalarini keltiramiz:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
1 va 2- xossalarning isboti bo’laklab integrallash formulasidan funksiya va uning hosilalarining cheksizlikda tez kamayuzvchi ekanligini hisobga olgan holda kelib chiqadi. 3 va 4-xossalar esa sodda almashtirishlar natijasida hosil bo’ladi.
Eslatma. Tasdiqning 1-xossasidan ko’rinib turibdiki, agar funksiya cheksizlikda tartibda kamayuvchi bo’lsa ( bunda 1-xossadagi mavjud bo’ladi) u holda uning Furye almashtirishi tartibli hosilaga ega bo’ladi; shunga o’xshash 2) dan ko’rish mumkinki, agar orginal funksiya qanchalik ko’p hosilaga ega bo’lsa, u holda uning Furye almashtirishi cheksizlikda shuncha tez kamayadi.
Faraz qilamiz, o’z navbatida funksiyaning ham Furye almashtirishi mavjud bo’lsin.
Ta’rif. funksiyaning teskari Furye almashtirishi deb,

tenglik bilan aniqlangan funksiyaga aytiladi.
Teorema. munosabat o’rinli.
Teoremaning isboti Furye qatorining qaytish formulasidan kelib chiqadi. Buni matematik tahlil fani biror darsligidan ko’rib olish mumkin. Yuqoridagi ta’rifga asosan tenglik o’rinli.
Tasdiq. (Furye almashtirishining klassik yig’masi). Funksiyalar yig’masining Furye almashtirishi, bu funksiyalar Furye almashtirishlari ko’paytmasiga teng:
.