4. Teoremaning isboti

4. Teoremaning isboti
Biz umumiylikni yo'qotmagan holda, va irratsionaldir deb taxmin qilamiz. n ixtiyoriy musbat son bo‘lsin. (4) ning mumkin bo'lgan yechimlarida uchraydigan barcha tub sonlari musbat butun sondan oshmaydi deb faraz qilamiz va biz qarama-qarshilikni chiqaramiz.
va bo‘lsin. Biz va bilan 4 va 11-lemmalarda paydo bo'ladigan konstantalarni belgilaymiz va yana umumiylikni yo'qotmagan holda va deb faraz qilamiz. 14-lemmadan faqat ga bog'liq va bo'lgan, quyidagi xususiyatga ega bo'lgan sonining mavjudligini chiqaramiz. va bo'lgan barcha , butun sonlar uchun
(30)
tengsizlik j=2 yoki j=3 bo`lganda bajariladi, bu yerda va - ning maksimalni bildiradi.
Endi va mos ravishda ning maksimal va minimumini bildirsin va ixtiyoriy musbat sonni
(31)
qanoatlantirsin. ni shart bajariladigan eng kichik musbat son sifatida aniqlaymiz. U holda aniq va . Biz tub sonlarining mavjudligini shunday aniqlashga kirishamizki, (3) bajariladigan va ularning maksimali p ni qanoatlantiradi. Bu teoremani isbotlash uchun yetarli bo'ladi, chunki bizda

va bu uchun (4) ning yechimi yo‘q degan dastlabki taxminimizga zid keladi.
Endi uchun aniqlaymiz va deb olamiz. U holda dan kelib chiqadiki, 2-§ boshida talab qilinadigan barcha shartlarni qanoatlantiradi. Bundan tashqari, (31) dan biz
(32)
ni olamiz va shuning uchun 13-lemmada talab qilinadigan gipotezani qanoatlantiradi. Keling, 10-lemma gipotezasini ko'rib chiqaylik. Agar N talab qilingan shartni qanoatlantirmasa, ekanligini e'tiborga olib, (31) va (32) dan ham foydalanib,

ni olamiz, bunda k musbat butun soni bildiradi. Chunki, yana (31) va (32),

dan (30) j=2, va ni qanoatlantirmaydigan P₂, Q₂>0 oʻzaro tub sonlar borligi kelib chiqadi. o'rniga bilan o'xshash natijadan shuni ko'ramizki, agar kerak bo'lsa va ni almashtirib, umumiylikni yo'qotmasdan 10-lemma gipotezasi to'g'ri deb taxmin qilish mumkin. Bundan tashqari, bo'lgani uchun biz shunga o'xshash tarzda butun sonlar bo'lishi mumkin emas degan xulosaga kelamiz, shundayki va 2 uchun va
.
Shunday qilib, agar 13-lemmaning xulosasi to'g'ri bo'lsa, u bilan almashtirilgan bilan o'rinli bo'lmaydi.
Har qanday haqiqiy uchun butun sonlar mavjudki, j=1,2,3 uchun , (22) bajariladi va yoki boʻladi. Oxirgi muqobil ekanligini bildiradi. 13-lemma va o'rniga bilan o'xshash natijadan ko'ramiz, agar birinchi muqobil bajarilgan bo'lsa va bo'lsa, butun sonlaridan kamida bittasi dan oshadi. 4-lemmadan kelib chiqadiki,
(33)
intervalni uchta kesishmaydigan o'lchanadigan kichik to'plamlarga bo'lish mumkin, shunda j=1,2,3 uchun da dan oshmaydi. U holda aniq
(34)
va Xolder tengsizligi bo'yicha o'ngdagi integral ko'pi bilan bo'ladi, bunda

ni almashtirib, b ning integral yo`lini birlik intervallariga bo'lib,

ni ham qayd etib, va dan oshmasligini osonlik bilan xulosa qilamiz. Shunday qilib, (34) ning chap tomonidagi son ko'pi bilan
,
bu yerda
.
Shunga o'xshash natija yoki bilan almashtirilganda ham mavjud va shuning uchun biz (34) ning chap tomonidagi raqam uchun yuqori chegarani taqdim etishini ko'ramiz va (33) oraliq bilan almashtiriladi. Xuddi shu tengsizlik bilan almashtirilganda ham amal qiladi.
Endi biz 10, 11 va 12-lemmalardan foydalanamiz. (31) va H va N taʼriflariga koʻra, (20) va (21) ning oʻng tomonlari M dan oshmasligini koʻramiz. Bundan tashqari, bo'lgani uchun, u haqiqiy chiziqni oxirgi nuqtalari bo'lgan olti oraliqga bo'lish va mos keladigan integrallar uchun ilgari olingan turli baholarni qo'llash orqali amalga oshiriladi, deb
.
(31) va (32) dan biz

ekanligini ko'ramiz va shuning uchun (18) dan

ni olamiz.
Bu 8-lemma bilan birgalikda darhol maksimal p 2 va N o'rtasida bo'lgan tub sonlar mavjudligini nazarda tutadi, shuning uchun (3) qoniqtiriladi; aks holda (35) ning chap tomoni nolga teng bo'ladi. Shuning uchun o'rniga kuchliroq tengsizlik bajariladigan tub sonlar mavjudligini isbotlashgina qoladi. Buning uchun biz ni uchun §2 da berilgan summaga teng deb belgilaymiz, lekin tub sonlarini o‘tkazib yuboramiz. Bizda aniq

bor. Bundan tashqari, uchun integral chegarasini yoki ga ko’ra ikki qismga bo’lish orqali

ni osonlikcha chiqaramiz. Keyin Xolder tengsizligi orqali biz

ni olamiz va (35) dan

kelib chiqadi. Nihoyat, 8-lemma tufayli oxirgi tengsizlik tub sonlari shunday mavjudligini bildiradi (3) bajariladi va ular uchun maksimal p ni qanoatlantiradi. Bu teoremaning isbotini to'ldiradi.