0-mavzu. Asosiy va umumlashgan funksiyalaring Fure almashtirishlari 10. Klassik Furye almashtrishi

Misol. bo’lsin. Quyidagi tengliklarni isbotlang:
, (23)
_. (24)
(23) tenglikning o’rinli ekanligiga integralni hisoblab ishonch hosil qilish mumkin. (24) ni isbotlaymiz. Haqiqatdan ham,


.
Bu integralda integrallash chiziqi bo’ylab amalga oshirilyapdi. Bu chiziqni haqiqiy o’qqa siljitish mumkinligi va ixtiyoriy uchun
(25)
bo’lishini ko’rsatamiz.
Buning uchun Koshi teoremasiga asosan

tenglikning o’rinli ekanligidan foydalanamiz. Bu yerda .
kesmalarda

formula o’rinli bo’lib, da ekanligi uchun

tenglik kelib chiqadi. Bunga va (26) formulaga asosan, (25) ning birinchi tengligiga ega bo’lamiz:

Ikkinchi tenglikni isbot qilish uchun musbat, juft funksiyani va
,
,

sohalarni olib va ekanligidan foydalanib,

tengsizlikni hosil qilamiz. Soddalashtirishlarni bajarib,

;
;


formulalarni yozamiz. Bularni yuqoridagi tengsilikka qo’yib,

ga ega bo’lamiz. Bu yerda da limitga o’tib,

yoki
(27)
tenglikni hosil qilamiz. Integral ostidagi funksiyaning juftligidan (25) tenglikning ikkinchi qismi kelib chiqadi.
Ta’rif. funksionalning Furye almashtirishi dagi funksional bo’lib, qoida orqali aniqlanadi.
Misollar. 1) . Haqiqatdan ham,
.
2)
Bu tenglikning isboti (22) dan kelib chiqadi.
3)
. (29)
Modomiki, (29) integral bo’yicha uzoqlashuvchi bo’lgani uchun, integrallash tartibini almashtirish mumkin emas. Biroq integral ostidalimitga o’tib, soddalashtirishlarni davom ettirish mumkin:

.
Shunday qilib, .
Ushbu paragrafning 1- bandidagi xossalar umumlashgan Furye almashtirishlari uchun ham o’rinli bo’ladi. Ulardan birinchisini tekshirib ko’raylik:

,
ya’ni
.
Qolganlari ham shunga o’xshash ko’rsatiladi.
Teskari umumlashgan Furye almashtirishini

yoki

ko’rinishda aniqlash mumkin. Bu formulalar ekvivalentdir.