1-§. Birinchi tur egri chiziqli integrallar Tekis moddiy yoy massasi haqidagi masala

1-§. Birinchi tur egri chiziqli integrallar
1. Tekis moddiy yoy massasi haqidagi masala. Tekislikda to‘g‘rilanuvchi AB yoy berilgan bo‘lib, uning har bir (x,y) nuqtasidagi chiziqli zichligi  bo‘lsin (1-rasm).
1-rasm
Egri chiziq yoyi massasini topish talab qilinsin.
Shu maqsadda egri chiziqni  nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka bo‘lamiz ( deb olamiz).
Egri chiziqning  yoyidan biror  nuqta olib, shu nuqtadagi zichlik  ni hisoblab chiqamiz. Bu yoyning barcha nuqtalardagi zichlik ham taqriban ana shu  ga teng deb hisoblasak va  yoy uzunligini  bilan belgilasak, bu yoyning massasi  uchun ushbu  taqribiy ifodani hosil qilamiz. Izlanayotgan umumiy massa uchun esa
(1)
ifoda hosil bo‘ladi.
uzunliklarning eng kattasini  bilan belgilab, limitga o‘tsak, aniq  formulaga ega bo‘lamiz.
Matematika va mexanikadagi ko‘pgina masalalarni yechish (1) ko‘rinishdagi yig‘indilarning limitini topishga olib keladi.
Umuman, shu xildagi limitlarni o‘rganaylik. Shu maqsadda ko‘rilayotgan masaladan bir oz chetga chiqamiz. Tekislikdagi to‘g‘rilanuvchi uzluksiz AB yoyda aniqlangan  funksiya olib, yuqorida tasvirlangan jarayonni takrorlaymiz: AB yoyni elementar  yoylarga ajratib, ularda bittadan  nuqtalar tanlaymiz va funksiyaning shu nuqtalaridagi qiymatlari  larni hisoblab,
(2)
yig‘indini tuzamiz, bu  funksiyaning AB yoydagi integral yig‘indisi deyiladi.
(2) yig‘indi umuman olganda AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va  bo‘lakchalardan  nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq.
Ta’rif. Agar  da (2) integral yig‘indi chekli limitga ega bo‘lib, u AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va  bo‘lakchalardan  nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, bu limit  funksiyadan AB yoyi uzunligi bo‘yicha olingan birinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi: .
Bu holda  funksiya AB yoy boyicha integrallanuvchi deyiladi.
Bu yerda s-AB yoyning uzunligi va ds-elementar  uzunliklarni eslatadi.
Shunday qilib, yuqoridagi moddiy egri chiziqning massasi uchun chiqarilgan ifodani quyidagicha yozish mumkin:
(3)
2. Birinchi tur egri chiziqli integrallarning hossalari
1º. Agar  funksiya AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiya ham AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,  tenglik o‘rinli.
2º. Agar  va  funksiyalarning har biri AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiyalar ham AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,

tengliklar o‘rinli.
3º. (additivlik xossasi). Agar AB yoy biror C nuqta orqali ikkita AC va CB yoylarga ajratilgan bo‘lib,  funksiya AC va CB yoylarning har birirda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda u AB yoy bo‘yicha ham integrallanuvchi bo‘lib,

tenglik o‘rinli.
4º. Agar  integral mavjud bo‘lsa, u holda  integral ham mavjud bo‘lib,  tenglik o‘rinli.
Bu xossalarni integral yig‘indi limiti sifatida osongina keltirib chiqarish mumkin.
3. Birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash
Egri chiziqdagi M nuqtaning holati boshlang‘ich A nuqtadan hisoblangan  yoy uzunligi s bilan aniqlanishi mumkin. U holda AB egri chiziq  tenglamalar bilan parametrik ifodalanadi va egri chiziq nuqtalarida berilgan  funksiya esa o‘zgaruvchi  ning murakkab funksiyasi  ga keltiriladi.
AB yoyning  bo‘linish nuqtalariga mos s ning qiymatlarini  bilan belgilasak, ravshanki,  bo‘ladi.  yoydan ixtiyoriy tanlangan  nuqtaga mos kelgan s ning qiymatini  orqali belgilasak, u holda (2) integral yig‘indini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(4)
Bu  funksiyaga mos kelgan integral yig‘indi va (2), (4) larga binoan,  bo‘ladi.
Agar  funksiya AB yoyda uzluksiz bo‘lsa, u holda  funksiyalar [0;S] segmentda uzluksiz bo‘lib,  va  integrallar mavjud va
(5)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda (R) Riman ma’nosidagi integralni bildiradi.
a) AB yoy  parametrik tenglama bilan berilgan to‘g‘rilanuvchi chiziq bo‘lsin.  funksiyalar  oraliqda uzluksiz bo‘lsin. Agar  o‘suvchi bo‘lsa, u holda  tenglik o‘rinli.
(5) tenglikning o‘ng tomonida o‘zgaruvchini almashtirib,
(6)
formulani hosil qilamiz.
b) AB yoy  tenglama bilan berilgan bo‘lib,  va  lar  oraliqda uzluksiz bo‘lsa, u holda (6) formula
(7)
ko‘rinishni oladi.
Agar chiziq  tenglik bilan berilgan bo‘lsa, u holda  formulaga ega bo‘lamiz.