1-§. Chiziqli fazo va uning xossalari
Download 139.2 Kb.
|
1-§. Chiziqli fazo va uning xossalari
2-§. Normalangan fazolar
Ta’rif. Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lib, uning har bir x elementiga haqiqiy, ||x|| orqali belgilangan sonni mos qo‘yuvchi ||||:X akslantirish berilgan bo‘lsin. Agar bu akslantirish 1. Har doim ||x||0. Shuningdek, x= uchun ||x||=0 va aksincha, agar ||x||=0 bo‘lsa, u holda x; 2. Ixtiyoriy son uchun ||x||=||||x||; 3. Ixtiyoriy ikki x va y elementlar uchun ||x+y||||x||+||y|| shartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi. Bu shartlar norma aksiomalari deb ham yuritiladi. Uchinchi shart uchburchak aksiomasi deyiladi. Norma kiritilgan chiziqli fazo normalangan fazo deyiladi. Odatda ||x|| son x elementning normasi deyiladi. Agar (x,y)=||x-y|| belgilash kiritsak, u holda (x,y) metpika ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi. Demak, har qanday normalangan fazo metrik fazo bo‘ladi. Aytaylik X normalangan fazo bo‘lsin. Ta’rif. Nol, elementning >0 atrofi deb, U={x: ||x||<} to‘plamga aytiladi. Bu kiritilgan U to‘plam, norma yordamida aniqlangan metrika tilida, markazi nuqtada, radiusi bo‘lgan ochiq shar deyiladi. Shuningdek, xX elementning atrofi deb x+U to‘plamga aytiladi. Eslatib o‘tish lozim, V={x: ||x||} to‘plam markazi nuqtada, radiusi bo‘lgan yopiq shar deyiladi. Kelgusida, X1={x: ||x||1} to‘plam X normalangan fazoning birlik shari deyiladi. Normalangan fazolar metrik fazolarning xususiy holi bo‘lgani uchun, normalangan fazolarning to‘la yoki to‘la emasligi haqida gap yuritish mumkin. Norma yordamida fazoning to‘laligi quyidagicha ifodalanadi: Aytaylik X normalangan fazoda {xn} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Ta’rif. Agar biror x element uchun {||xn-x||} sonli ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo‘lsa, u holda {xn} ketma-ketlik x ga yaqinlashadi deyiladi va xnx kabi belgilanadi. Shuningdek, agar {||xn-xn+m||} sonli ketma-ketlikning limiti, ixtiyoriy m uchun 0 ga teng bo‘lsa, u holda {xn} ketma-ketlik fundamental deyiladi. Agar X normalangan fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda bu fazo to‘la deyiladi. To‘la normalangan fazo qisqacha Banax fazosi yoki B-fazo deyiladi va normalangan fazolar ichida muhim rol o‘ynaydi. Misollar. 1) Agar x haqiqiy son uchun ||x||=|x| deb olsak, u holda 1 chiziqli fazo, ya’ni to‘g‘ri chiziq normalangan fazo bo‘ladi. 2) n o‘lchamli n haqiqiy fazoda x=(x1, x2, . . . , xn) element uchun normani quyidagicha kiritamiz: (1) Bunda normaning 1, 3 shartlari bajarilishi ravshan, 2 shart esa Koshi – Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi. Shu n fazoning o‘zida quyidagi normalarni ham kiritish mumkin: (2) (3) 3) C[a,b] fazoda normani quyidagicha aniqlaymiz: . Ravshanki, bu norma uchun ham 1, 3 shartlar bevosita bajariladi. 2 shartining bajarilishini ko‘rsatamiz. Har qanday nuqta va f, g funksiyalari uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli: . Bu yerda t ixtiyoriy bo‘lgani uchun bundan kelib chiqadi. 4) m chiziqli fazoda x=(x1, x2, . . . , xn . . .) elementining normasi deb songa aytamiz. Bu misol uchun norma aksiomalari bevosita tekshiriladi. Normalangan X fazoning X0 vektor qism fazosi yopiq bo‘lsa, u holda X0 ni normalangan X fazoning qism fazosi deyiladi. Uchinchi misoldagi fazoda olingan P(x) ko‘phadlar to‘plami yopiq bo‘lmagan vektor qism fazoga misol bo‘ladi. Demak, normalangan fazo ma’nosida P(x) fazo ning qism fazosi emas. Normalangan X fazoda biror A to‘plamning chiziqli qobig‘i bo‘lgan vektor qism fazoni olamiz. ni A to‘plamning chiziqli yopilmasi deyiladi. Agar elementlarning biror {xn} sistemasi uchun, uning chiziqli yopilmasi X fazoning o‘ziga teng bo‘lib qolsa, u holda {xn} sistema to‘la sistema deyiladi. Yuqoridagi 1, n, C[a,b] fazolarning to‘laligini ko‘rsatish mumkin, (masalan [1,2,3] kitoblarga qarang). Demak, ular Banax fazolaridir. Yana misollar ko‘ramiz. 5) C2[a,b] – kvadrati bilan integrallanuvchi uzluksiz funksiyalar fazosida normani quyidagicha kiritamiz: . Norma aksiomalari bevosita tekshiriladi. Uchburchak aksiomasi umumiy holda isbotlangan Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi. Bu fazoning to‘la emasligi [3] da ko‘rsatilgan. 6) l2 haqiqiy fazoda normani , x=(x1, x2, . . . ,xn, . . .) ko‘rinishida kiritsak, l2 fazo B - fazoga misol bo‘ladi. Banax fazosiga muhim bir misol ko‘ramiz. X kompakt to‘plam bo‘lib, C(X) fazo X da aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazosi bo‘lsin. Ravshanki, C(X) chiziqli fazo bo‘ladi. Bu fazoda normani quyidagicha kiritamiz: . Bu sonning chekli ekanligi II bob 7-paragrafdagi 2-teoremadan kelib chiqadi. Normaning xossalari esa bevosita tekshiriladi. Download 139.2 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling