1-§. Integral almashtirishlar usuli. Ikkinchi tartibli chiziqli oddiy differensional tenglama yechimlarining integral ifodasi

1-§. Integral almashtirishlar usuli.
1.Ikkinchi tartibli chiziqli oddiy differensional tenglama yechimlarining integral ifodasi. Yechimlari elementar funksiyalar orqali yoziladigan differensional tenglamalar sinfi juda xam tor. Avvalgi bobda xususiy xosilali differensional tenglamalarning yechimlarini cheksiz qator yig`indisi ko`rinishida ifodalashga xarakat qildik. Ba`zan tekshirilayotgan tenglamaning yechimini berilgan funksiyani xamda soddaroq tenglamaning yechimini o`z ichiga olgan integral ko`rinishida topish qulay bo`ladi.
Ushbu
L(y) = p(z)y``+q(z)y`+r(z)y = 0 (1)
Ikkinchi tartibli chiziqli oddiy differensional tenglama qaralayotgan bo`lib, uning koeffitsentlari barcha kompleks tekkislikda z kompleks o`zgaruvchining berilgan analitik funksiyalari bo`lsin.

1. 
   Tenglamaning y(z) yechimini
   

y(z)= ξ (ξ)dξ (2)
integral ko`rinishida izlaymiz, bu yerda C- bo`lakli silliq qo`ntur, V(x)-xozircha no`malum analitik funksiya, K(z, ξ) esa

p(z)
= +c(𝛏)K (3)
Tenglamani kanoatlantiruvchi z, o`zgaruvchilarnng analitik funksiyasi, shu bilan birga a(𝜉), b(𝜉), va c(𝜉)- berilgan analitik funksiyalar.
Quyidagi bajarilgan barcha amallarni qonuniy deb faraz qilib, (2) dan
L(y) =
yoki (3) ga asosan,
L(y) = (4)
Tenglamasini xosil qilamiz, bu yerda M- differensional operator:
M=a(𝜉)
(4) ifodani bo`laklab integrallab xamda ntegral tashqarisidagi barcha qo`shiluvchilarni nolga teng deb xisoblab,
L(y)= (5)
Tenglikka ega bo`lamiz, bunda

• 
  M operatorga qo`shma bo`lgan differensional operator. Agar V(x) funksiya
  

(6)
Tenglamani qanoatlantirsa, u xolda (2) formula bilan tasvirlangan y(z) funksiya shubxasiz (1) tenglamaning yechimi bo`ladi.
Misol sifatida Bessel
+zy`+( )y=0 (7)
Tenglamasini qaraymiz.
(7) tenglamaning y(z) yechimini (2) formula bo`yicha izlaymiz, bunda
K(z 𝜉)=± .
Bu xolda
L(K)= K<sub>zz</sub>+zK<sub>z</sub>+( )K=
=(- )K(z,𝜉) (8)
Ikkinchi tomondan
K<sub>𝜉𝜉</sub> =(izsin𝜉- )K(z,𝜉),
Bundan
izsin𝜉K(z,𝜉)=K<sub>𝜉𝜉</sub> +
Buni (8) ga qo`yib, quyidagi tenglikkaega bo`lamiz:
L(K)= _zz+zK_z+( )K= -K_𝜉𝜉
Bunga asosan (4) va (5) tengliklar quyidagicha yoziladi:
L(y)=- _𝜉𝜉 + V(𝜉)d𝜉= V_𝜉𝜉 + ,
Bu tenglikdan, (6) tenglama

ko`rinishida yozilishi kelib chiqadi.
Oxirgi tenglamaning yechimi esa dan iboratdir.
Shunday qilib, (2) formula bilan aniqlanadigan funksiyalar, bunda
K(z,𝜉)= ,
(7) Bessel tenglamasining yechimlari bo`ladi.
2. Laplas, Fur`e va Mellin almashtirishlari. Haqiqiy t, 0 t , o`zgaruvchining xaqiqiy yoki kompleks f(t) funksiyasi quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 1) chekli sondagi birinchi turdagi uzilish mumkin bo`lgan nuqtalardan boshqa barcha nuqtalarda f(t) uzluksiz, 2) shunday M 0 va 𝜉 <sub>0</sub> 0 o`zgarmaslar mavjudki, barcha t lar uchun M tengsizlik o`rinli.


Bu integralda esa integraldan ikkinchi marta a bo`yicha hosila olib, a= qo`yilsa, hosil bo`ladi. Demak,