1 – лаборатория иши. Чизиқли гиперболик тенгламаларни узилишга эга бўлган бошланғич шартлар билан ечиш

1 – ЛАБОРАТОРИЯ ИШИ.

ЧИЗИҚЛИ ГИПЕРБОЛИК ТЕНГЛАМАЛАРНИ УЗИЛИШГА ЭГА БЎЛГАН БОШЛАНҒИЧ ШАРТЛАР БИЛАН ЕЧИШ

Дифференциал масаланинг қўйилиши
Бир ўлчовли кўчиш тенгламаси учун Коши масаласини қараймиз
(1)

1. 
   тенглама учун Коши масаласининг аниқ ечими [4] га асосан қуйидагича бўлади:
   

(2)
Ушбу ечимдан келгусида айирмали схемаларнинг аниқлигини текшириш учун фойдаланилади. Бундан ташқари тақрибий ечимнинг фазодаги :

, даги нормаларнинг айирмали аналогларида хатолик баҳоланади.
Масалани сонли ечиш учун соҳада текис тўр қурамиз ва Курант сонини белгилаймиз.
1-мисол. Чап айирмали схема.
(3)
Схема вақт ва фазовий ўзгарувчи бўйича биринчи тартибли аппроксимацияга эга. да айирмали схема турғун ва да схема аниқ ечимни беради. (1) тенглама ва бошланғич шартлар билан берилган масалани (3) айирмали схема ёрдамида сонли ечиш учун Mathcad тизимида дастур тузамиз:

1 – расм. Mathcad тизимидаги дастур.

2 – расм. Тақрибий ечим.

1-расмда Mathcad тизимида чап айирмали схема учун тузилган. 2-расмада эса сонли ечимнинг графиги тасвирланган.

3-расм.Аниқ ечим.

4-расм. Хатолик.

Мустақил ечиш учун мисоллар.

1. 
   Қуйидаги айирмали схемалар ёрдамида (1) дифференциал тенгламанинг бошланғич шартларни қаноатлантирувчи тақрибий ечимларини топинг. Айирмали схема аппроксимация тартибини ва тақрибий ечим хатолигини аниқланг.
   

1.1. Lax-Wendroff схемаси

1.2. Марказий айирмали схема
.
1.3. Lax айирмали схемаси


.


1.4. SHASTA оқим коррекцияли схема

1.5. Чеклагичли схема



схем иккинчи ва - бўлганда учинчи тартибли аппроксимацияга эга.
1.5. В.В.Русанов схемаси

Схеманинг турғунлиги параметрнинг танланишига боғлиқ. схема аниқ ечимни беради.
1.6. Ошкор айирмали схема


.


1.7. Crank-Nicolson айирмали схемаси
.
1.8. Ошкормас чап айирмали схема
.
1.9, 10 Ошкормас Lax-Wendroff схемаси( = 1;  = 0.5).



1.11. «Кабаре» айирмали схемаси
.
Биринчи қатламда ечимни чап айирмали схема билан топилади.


1.12. Монотонлаштирувчиларли «Кабаре» айирмали схемаси



1.13. Ошкормас айирмали схема


.
1.14. Ошкормас айирмали схема


.
1.15, 16. Чеклагичли айирмали схемалар


Фазовий ўзгарувчи бўйича аппроксимацияни кўтариш учун чеклагични бошқа кўринишда ёзиш мумкин. Сунъий диффузия коэффициентини қуйидагича олиш мумкин:

Ушбу схема Lax-Wendroff схемасига чеклагичли монотонлаштирувчи киритиш йўли билан ҳосил қилинган.
1.17. Р. П. Федоренко айирмали схемаси

=0 да биринчи тартибли чап айирмали схемасига айланади. да иккинчи тартибли Лакса-Вендрофф схемасига айланади.


1.18. Силлиқлаштирувчили схема



1.19. К. И. Бабенко («квадрат») схемаси
.
1.19. К. И. Бабенконинг чеклагич шаклидаги коррекция схемаси

К. И. Бабенко с коррекцией типа «лимитера» [11]

Регуляризованная схема К. И. Бабенко будет выглядеть так (для а=1):

Схема устойчива при < 1. Алгоритм монотонизации схемы «квадрат» описан в [11].
23) Схема второго порядка («парабола») [12]
может быть записана в виде: . Схема имеет второй порядок аппроксимации по времени и по пространству. Схема устойчива при . При 1 и 2 схема дает точное решение. Ее дифференциальное приближение имеет вид:

24) Схема второго порядка («парабола») с «лимитерами» [11]

может быть записана в следующем виде:

Схема является устойчивой при . При 1 схема передает точное решение. Схема построена путем монотонизации схемы «парабола» (см. [11]).