1. 1-§. Bir o’zgaruvchili-chiziqli tengsizliklar sistemasi 2-§. Ikki o’zgaruvchili tengsizliklar sistemasini taqqoslamalar usuli bilan yechish

Teorema. Tub modulli n-darajali taqqoslama echimlari soni n tadan ortiq emas.

2.1-§.Taqqoslama tushunchasi va uning xossalari va qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi
Bunday taqqoslamalarning umumiy kо‘rinishi quyidagicha:
(1)
bu yerda butun sonlar. Taqqoslamani yechish deganda uni tо‘g‘ri sonli taqqoslamaga aylantiruvchi sonlar sinfini tushunamiz. Chunki (1) taqqoslamani biror son qanoatlantirsa, uni (t-butun son) sonlar sistemasi ham qanoatlantiradi. (1) taqqoslamaning yechimini topish uchun biz quyidagi ikkita holni qaraymiz. Bitta sinfdagi barcha yechimlarini bitta yechim deb qabul qilamiz.
1. . Agar (1) taqqoslama yechimga ega bо‘lsa, u yechim modul bо‘yicha chegirmalarning birorta sinfidan iborat bо‘ladi. Ma’lumki, chegirmalarning tо‘la sistemasidagi har bir chegirmaga bitta sinf mos kelardi. Demak, о‘zgaruvchi chegirmalarning tо‘la sistemasini qabul qilar ekan, u holda chiziqli forma haqidagi 1-teoremaga asosan ham chegirmalarning tо‘la sistemasini qabul qiladi.
noma’lumning biror qiymatida chegirma bilan son bitta sinfga tegishli bо‘ladi, ya’ni bо‘lib (1) taqqoslamaning yagona yechimi bо‘ladi.
2. . Ma’lumki, taqqoslamani deb yozish mumkin. Bu yerda butun son.
Demak, tenglikda . Bundan agar , ya’ni son va ga bо‘linmasa, (1) taqqoslama yechimga ega bо‘lmaydi; degan natija kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, bо‘lsin. taqqoslamalarning 5-xossasiga asosan (1) ning ikkala qismi va modulini ga bо‘lib, quyidagini hosil qilamiz:
(2)
Bu yerda bо‘lganidang (1) holga asosan (2) taqqoslama modul bо‘yicha yagona yechimga ega:

Bu yechim (1) ni ham qanoatlantiradi. Lekin (1) ning yechimlari shu bilan tugallanmaydi. Burilgan taqqoslamaning yechimlarini modul bо‘yicha topish uchun quyidagilarga e’tibor beramiz:
(3)
Bu chegirmalarning har biri modul bо‘yicha teng qoldiqli bо‘lib, modul bо‘yicha har xil sinfga tegishlidir. Shu xil sinflarning vakillari
(4)
dan iborat. Haqiqatan ham (4) ning har qanday ikkitadan elemeni modul bо‘yicha taqqoslanuvchi emas. (3) sinfning (4) ga kirmagan har bir elementi uchun (4) dan shunday element topiladiki, ularning ayirmasi ga bо‘linadi. Shuning uchun ular bitta sinfning vakillari hisoblanadi. Demak, bо‘lsa, (1) taqqoslama (4) orqali aniqlanuvchi ta yechimga ega ekan. Yuqoridagilarga asosan quyidagi xulosalarni yoza olamiz:
Xulosalar: 1. Agar bо‘lsa, (1) ning yechimi mavjud va yagonadir.
2. bо‘lib,
a) chin bо‘lsa, yechim mavjud emas;
v) chin bо‘lsa, (1) taqqoslama ta yechimga ega.
Misollar. 1. bо‘lgani uchun yechim yagona bо‘ladi. modul bо‘yicha chegirmalarning tо‘la sistemali dan iborat. Bevosita tekshirib kо‘rish bilan yechim ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
2. ;
lekin bо‘lgani uchun bu taqqoslama yechimga ega emas.
3. bо‘lgani uchun taqqoslama uchta yechimga ega bо‘ladi. Haqiqatan taqqoslamani shaklda yozib olamiz bо‘lgani uchun bu taqqoslama 5 modul bо‘yicha yagona yechimga ega bо‘ladi. Haqiqatan,

yechimdir.
Berilgan taqqoslamaning yechimi yoki dan iborat.
Bu yechim bilan birgalikda yoki ham yechim bо‘ladi.


a va b butun sonlarni butun musbat m soniga bo’lganda bir xil qoldiq qoladigan, ya’ni
a = mq₁ + r va b = mq₂ + r,
bo’lsa, a va b sonlar teng qoldiqdli yoki m modul bo’yicha o’zaro taqqoslanadigan sonlar deyiladi va quyidagicha yoziladi: a ≡ b (mod m)
“a son b bilan m modul bo’yicha taqqoslanadi” deb o’qiladi.
Agar a ≡ b (mod m) bo’lsa, u holda a – b ayirma m ga qoldiqsiz bo’linadi, va aksincha, agar a va b sonlarning ayirmasi m ga bo’linsa, u holda a ≡ b (mod m) o’rinli bo’ladi (taqqoslamaning ma’nosi haqidagi teorema).
Har qanday butun son m modul bo’yicha o’zining qoldig’i bilan taqqoslanadi, ya’ni, agar a = mq + r bo’lsa, u holda a ≡ r (mod m) bo’ladi.
Xususiy holda, agar r = 0 bo’lsa, u holda a ≡ 0 (mod m) bo’ladi; bu taqqoslama m | a ekanligini, ya’ni m soni a ning bo’luvchisi ekanligini bildiradi, aksincha ham o’rinli, agar m|a bo’lsa, u holda a ≡ 0 (mod m) deb yoziladi.
Taqqoslamalarning asosiy xossalari (tengliklarning xossalariga o’xshash)

1. 
   Agar a ≡cs (mod m) va b ≡ c (mod m) bo’lsa, u holda a≡b(modm) bo’ladi.
   
2. 
   Agar a ≡ b (mod m) va c ≡ d (mod m) bo’lsa, u holda