1. 1-§. Bir o’zgaruvchili-chiziqli tengsizliklar sistemasi 2-§. Ikki o’zgaruvchili tengsizliklar sistemasini taqqoslamalar usuli bilan yechish

a ± c ≡ b± d (mod m) bo’ladi.

3. 
   Agar a + b ≡ c (mod m) bo’lsa, u holda a ≡ c - b (mod m) bo’ladi.
   
4. 
   Agar a ≡ b (mod m) bo’lsa, u holda a ± mk ≡ b (mod m), yoki
   

a ≡ b ± mk (mod m) bo’ladi.

5. 
   Agar a ≡ b (mod m) va c ≡ d (mod m) bo’lsa, u holda
   

ac≡bd(mod m) bo’ladi.

6. 
   Agar a ≡ b (mod m) bo’lsa, u holda aⁿ ≡ bⁿ (mod m) bo’ladi.
   
7. 
   Agar a ≡ b (mod m) bo’lsa, u holda ixtioriy k butun son uchun
   

ak ≡ bk (mod m) bo’ladi,.

8. 
   Agar ak ≡ bk (mod m) va (k,m) = 1 bo’lsa, u holda
   

a ≡ b (mod m) bo’ladi.

9. 
   Agar f(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + ... + a_n (a_i ∈ ) va x ≡ x₁ (mod m) bo’lsa, u holda f(x) ≡ f(x₁) (mod m) bo’ladi.
   

Taqqoslamalarninng maxsus xossalari
1. Agar a ≡ b (mod m) bo’lsa, u holda k∈ uchun ak ≡ bk (mod mk) bo’ladi. 2. Agar a ≡ b (mod m) va a = a₁ d, b = b₁ d, m = m₁ d bo’lsa, u holda a₁ ≡ b₁ (mod m₁) bo’ladi.

3. 
   Agar a ≡ b (mod m₁), a ≡ b (mod m₂), ..., a ( b (mod m_k) bo’lsa, u holda a ≡ b (mod M) bo’ladi, bu yerda M = [m₁, m₂,..., m_k].
   
4. 
   Agar taqqoslama m modul bo’yicha o’rinli bo’lsa, u holda bu taqqoslama m ning ixtiyoriy bo’luvchisi bo’lgan d modul bo’yicha ham o’rinli bo’ladi.
   
5. 
   Agar taqqoslamaning bir tomoni biror songa bo’linsa, u holda uning ikkinchi tomoni va moduli ham shu songa bo’linadi.
   

1-Misol. Quyidagi shartlarni taqqoslamalar yordamida yozing:

1. 
   219 va 128 sonlarni 7 ga bo’lganda bir xil qoldiq qoladi;
   
2. 
   (-352) sonini 31 ga bo’linganida qoldiq 20 ga teng bo’ladi ;
   
3. 
   487 - 7 ayirma 12 ga bo’linadi;
   

d) 20 – soni 389 ni 41 ga bo’lgandagi qoldiqdan iborat;
e) N soni juft;
f) N soni toq;
g) N sonining ko’rinishi 4k + 1 dan iborat;
h) N sonining ko’rinishi 10k + 3 dan iborat;
i) N sonining ko’rinishi 8k – 3 dan iborat.
Yechilishi. Taqqoslamaning ma’nosi haqidagi teoremaga asosan:
a) 219 ≡ 128 (mod 7);
b) –352 ≡ 20 (mod 31);
c) 487 ≡ 7 (mod 12);
d) 389 ≡ 20 (mod 41);
e) N ≡ 0 (mod 2);
f) N ≡ 1 yoki -1 (mod 2);
g) N ≡ 1 (mod 4);
h) N ≡ 3(mod 10);
i) N ≡ -3 (mod 8).
2-Misol. Quyidagi shartni qanoatlantiradigan m ning qiymatlarini toping:
20 ≡ 8 (mod m).
Yechilishi. m ning qiymatlari (taqqoslamaning ma’nosi haqidagi teoremaga asosan) 20 – 8 = 12 ning bo’luvchilaridan iborat, ya’ni: 1; 2; 3; 4; 6; 12.
3-Misol. 2⁵ⁿ – 1 ning 31 ga bo’linishini isbotlang (n ∈ ).
Yechilishi. 2⁵ – 1 = 31 bo’lganligi uchun 2⁵ ≡ 1 (mod 31). Bu taqqoslamaning ikkala tomonini (6-xossaga asosan) n darajaga ko’tarib,
2⁵ⁿ ≡ 1 (mod 31) ni hosil qilamiz, bu esa 31| (2⁵ⁿ – 1) ni anglatadi.
4-Misol. 2¹⁰⁰ sonining oxirgi ikkita raqamini toping.
Yechilishi. Berilgan sonning oxirgi ikki raqami bu sonni 100 ga bo’lganda hosil bo’ladigan qoldiqdan iborat. Demak, quyidagi taqqoslamani qanoatlantiradigan x sonini topish talab qilinadi:
2¹⁰⁰ ≡ x (mod 100).
Ikkining kichik darajalaridan boshlab, 100 ga bo’lganda hosil bo’ladigan qoldiqlarni ketma-ket ajratamiz:
2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = (1024)¹⁰; (1024)¹⁰ ≡ (24)¹⁰ (mod 100).
(24)¹⁰ = (576)⁵ ≡ 76 ⁵ ≡ (76)⁴⋅76 = (5776)²⋅76 ≡ (76)²⋅76 = 5776⋅76 ≡ 76² ≡5776 ≡ 76(mod 100).
Shunday qilib, 2¹⁰⁰ sonining oxirgi ikki raqamir 7 va 6 dan iborat.

2.2-§. Birinchi darajali taqqoslamalar va ularni yechish.
Asosiy tushunchalar: bir noma’lumli - darajali taqqoslama, taqqoslamaning yechimi, teng kuchli taqqoslamalar, bir noma’lumli birinchi darajali taqqoslama, tub modulli taqqoslama.
Koeffitsientlari butun sonlardan iborat

ko’phad berilgan bo’lsin.
Ushbu ( son ga bo’linmaydi, ko’rinishdagi taqqoslamani bir noma’lumli n- darajali taqqoslama deyiladi.
Agar bo’lganda taqqoslama to’g’ri bo’lsa, u holda son taqqoslamani qanoatlantiradi deyiladi.
Agar son taqqoslamani qanoatlantirsa, u holda chegirmalar sinfi taqqoslamaning yechimi deyiladi.
Yechimlari to’plami ustma-ust tushgan taqqoslamalarni teng kuchli
taqqoslamalar deyiladi.
Ushbu ko’rinishdagi taqqoslamaga bir noma’lumli birinchi darajali taqqoslama deyiladi.
Misоl. tаqqоslаmаning yechimlаrini tаqqоslаmа
хоssаlаridаn fоydаlаnib tоping.
Yechish. ekаnligidаn tаqqоslаmа yagоnа yechimgа ega ekаnligi kеlib chiqаdi. 7 vа 11 sоnlаri 4 dаn kаttа bo’lgаnligi uchun va lаrdаn fоydаlаnib
ni hоsil qilаmiz. Bundаn ni e’tibоrgа оlib ni, vа nihоyat ni hоsil qilаmiz.
Аgаr ni qo’llаsаk ,u hоldа kеlib chiqаdi.
Tеkshirish :

kelib chiqаdi.
Misоl. tаqqоslаmаni tаqqоslаmа хоssаlаridаn fоydаlаnib yechimlаrini tоping.
Yechish. dan hоsil bo’lаdi.
bo’lgаni uchun tаqqоslаmа yagоnа yechimgа egа. (9,38)=1
bo’lgаni uchun tаqqоslаmаni ikkаlа tоmоnini 9 gа bo’lаmiz:
.
Tаqqоslаmаning o’ng tоmоnigа 38 ni qo’shаmiz: .
Hоsil bo’lgаn tаqqоslаmаni ikkаlа tоmоnini bo’lgаni uchun 3 gа bo’lаmiz:

Tеkshirish: .
Bir noma’lumli birinchi darajali taqqoslamani yechishning ba’zi usullari bilan tanishib chiqaylik. Faraz qilaylik, bizga (1) taqqoslama berilgan bо‘lsin.