1. 14 Muavr-Laplasning lokal va integral limit teoremalari. Puasson teoremasi. Integral limit teorema tadbiqlari

1.14 Muavr-Laplasning lokal va integral limit teoremalari. Puasson teoremasi.Integral limit teorema tadbiqlari

Agar n va m lar katta sonlar bo‘lsa, u holda Bernulli formulasidan foydalanib, ehtimollikni hisoblash qiyinchilik tug‘diradi. Xuddi shunday, p(q) ehtimollik juda kichik qiymatlar qabul qilsa ham qiyinchiliklarga duch kelamiz. Shu sababli, da uchun asimptotik(taqribiy) formulalar topish muammosini tug‘diradi.

Puasson formulasi

• 
  Agar da A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi p har bir tajribada cheksiz kamaysa(ya’ni ), u holda
  

, m=0,1,2,… . (1.14.1)

(1.14.1) formula Puassonning asimptotik formulasi deyiladi.

belgilash kiritib, Bernulli formulasidan




ekanligini e’tiborga olib, (1.14.2) tenglikdan limitga o‘tamiz:
.

Demak, yetarlicha katta n larda (kichik p da)

(1.14.3)

(1.14.3) formula Puasson formulasi deyiladi. Odatda Puasson formulasidan bo‘lgan hollarda foydalaniladi.

1.14-misol. Telefon stansiyasi 2000 ta abonentga xizmat ko‘rsatadi. Agar har bir abonent uchun unig bir soatning ichida qo‘ng‘iroq qilishi ehtimolligi 0.003 bo‘lsa, bir soatning ichida 5 ta abonent qo‘ngiroq qilishi ehtimolligini toping.
n=2000, p=0.003, m=5, a=np=20000.003=6<10. Demak, Puasson formulasiga ko‘ra .


Muavr-Laplasning lokal teoremasi

Agar p ( )ehtimollik nol atrofidagi son bo‘lmasa va n etarlicha katta bo‘lsa, u holda ehtimollikni hisoblash uchun Muavr-Laplas teoremasidan foydalanish mumkin.

Teorema(Muavr-Laplas) Agar n ta bog‘liqsiz tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi bo‘lsa, u holda yetarlicha katta n larda
, (1.14.4)
-taqribiy formula o‘rinli. Bu yerda funksiya Gauss funksiyasi deyiladi(9-rasm).



9-rasm.


funksiya uchun x argument qiymatlariga mos qiymatlari jadvali tuzilgan(1-ilova). Jadvaldan foydalanayotganda quyidagilarni e’tiborga olish kerak:
1) funksiya juft funksiya, ya’ni .
2) agar bo‘lsa, deb olish mumkin.


1.15-misol. Bitta o‘q otilganda o‘qning nishonga tegish ehtimolligi 0.7 ga teng. 200 ta o‘q otilganda nishonga 160 ta o‘q tegishi ehtimolligini toping.
Bu yerda n=200, p=0.7, q=1-p=0.3, m=160. (1.14.4) ga ko‘ra , . Agar ekanligini hisobga olsak, u holda .