1. 14 Muavr-Laplasning lokal va integral limit teoremalari. Puasson teoremasi. Integral limit teorema tadbiqlari

Muavr-Laplasning integral teoremasi

Agar n yetarlicha katta va A hodisa n ta tajribada kamida m₁ va ko‘pi bilan m₂ marta ro‘y berish ehtimolligi ni topish talab etilsa, u holda Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanish mumkin.

Teorema(Muavr-Laplas) Agar A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi( ) o‘zgarmas bo‘lsa, u holda


, (1.14.5)

taqribiy formula o‘rinli, bu yerda .

(1.14.5) formuladan foydalanilganda hisoblashlarni soddalashtirish uchun maxsus funksiya kiritiladi:
. (1.14.6)

(1.14.6)-Laplas funksiyasi deyiladi.

10-rasm.


funksiya toq funksiya: .
Agar bo‘lsa, u holda deb hisoblash mumkin; funksiya grafigi 10-rasmda keltirilgan.
(1.14.5) dagi tenglikning o‘ng qismini funksiya orqali ifodalaymiz:



-Laplasning funksiyasi bilan bir qatorda Gauss funksiyasi deb nomlanuvchi funksidan ham foydalaniladi:


. (1.14.8)

Bu funksiya uchun tenglik o‘rinli va u funksiya bilan

(1.14.9)
formula orqali bog‘langan.
1.16-misol. Sex ishlab chiqargan mahsulotining o‘rtacha 96% i sifatli. Bazada mahsulotni qabul qilib oluvchi sexning 200 ta mahsulotini tavakkaliga tekshiradi. Agar tekshirilgan mahsulotlardan sifatsizlari soni 10 tadan ko‘p bo‘lsa butun mahsulotlar partiyasi sifatsiz deb, sexga qaytariladi. Mahsulotlar partiyasining qabul qilinishi ehtimolligini toping.
Bu yerda n=200, p=0.04(mahsulotning sifatsiz bo‘lish ehtimolligi), q=0.96, m₁=0, m₂=10 va mahsulotlar partiyasining qabul qilinishi ehtimolligi ni (1.14.7) formula orqali hisoblaymiz:
,


.
Agar funksiyadan foydalansak,
.
Laplas funksiyasi yordamida n ta bog‘liqsiz tajribada nisbiy chastotaning ehtimollikdan chetlashishi ehtimolligini hisoblash mumkin.

• 
  Biror son uchun
  

(1.14.10)

tenglik o‘rinli.

Haqiqatan ham, buni isbotlash uchun tengsizlik ehtimolligini hisoblash kerak. Buning uchun bu tengsizlikni unga teng kuchli yoki tengsizliklar bilan almashtiramiz. Bu tengsizliklarni musbat songa ko‘paytiramiz:
.
Agar belgilashni kiritsak, u holda (1.14.5) formulaga asosan:
■
1.17-misol. Detalning nostandart bo‘lishi ehtimolligi 0.6 ga teng. n=1200 ta detal ichida nostandart detallar bo‘lishi nisbiy chastotasining p=0.6 ehtimollikdan chetlashishi absolut qiymati 0.05 dan katta bo‘lmasligi ehtimolligini toping.
(1.4.10) ga asosan,
.