1. 2-§. Baslanǵısh ózgeriwlerin optimizaciyalaw bahaları

1.2.2-teoreması. (1.2.2) teńlemesi bolatuǵın , oń anıqlanǵan matricalardıń izbe-izligin sheshimi retinde sol jaǵdayda iye boladı, egerde matricası tolıq emes oń anıqlanǵan bolsa.
Joqarıda keltirilgen tastıyıqlawlar tiykarında mına kelesi teoreması durıs boladı.
1.2.3-teoreması. Dáslepki kópaǵzalılardı bahalaw ushın optimal bolatuǵın Lyapunov funkciyası, bunda bar boladı, egerde oń anıqlanǵan matricası bolsa. Bunda .
Dálillew. Bul teoremanıń zárúrli shártlerin keri boljawdan baslaymız. Meyli bolsın dep boljaymız hám bul jaǵdayda funkciyasın jaqsılawǵa boladı dep dálilleymiz, yaǵnıy shárti orınlanatuǵın tabıw. Al onda 1.2.1- teoremasınan matricasınıń oń anıqlanǵan bolatuǵınlıǵı kelip shıǵadı. Bul teoremanıń jetkilikli shártleri 2.2.1 teoremasınan kelip shıǵadı.
funkciyasınıń ózgeriwshisiniń ózgeriwı oblastın keńeytemiz. Ol ushın konusqa onıń oń qaptal betin kósamız, yaǵnıy tolıq emes oń anıqlanǵan matricalarına iye bolatuǵın oń anıqlanǵan matricalar kópligin qaraymız, yaǵnıy
.
1.2.4-teoreması. bolatuǵın dáslepki qózǵalıslardı bahalaw ushın optimal bolatuǵın funkciyası, bunda bar boladı, egerde tolıq emes oń anıqlanǵan matricası bolsa.
Zárúrli shárti. Meyli hám iye bolayıq. Egerde bolsa, onda 2.2.3 teoremasına kelemiz. Sonlıqtan dep esaplaymız, yaǵnıy . bolǵanı ushın, onda , boladı. Demek, , yaǵnıy tolıq emes oń onıqlanǵan matricası.
Jetkilikli shártleri. Meyli tolıq emes oń onıqlanǵan matricası bolsın. dep esaplap, iye bolamız, yaǵnıy Lyapunovtıń optimal funkciyası boladı.
Endi tolıq emes oń anıqlanbaǵan funkciyası bolǵan jaǵdayın qaraymız. Bunda Lyapunovtıń optimal funkciyası baribir bar bolatuǵınlıǵın kórsetemiz, biraq boladı.