1. Algebraik va transcendent tenglamalar haqida tushuncha

2. Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va dasturi Tenglamaning e aniqlikdagi (e-o’ta kichik son, yechimni topish aniqligi) taqribiy-sonli yechimini (a;b) oraliqda topishni quyidagi algoritm bo’yicha tashkil qilamiz:

• 
  1. Berilgan (a;b) oraliqni o’rtasini aniqlaymiz.
  
• 
  2. Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaligini f(a) f(c)<0 shartidan foydalanib aniqlaymiz.
  
• 
  3. Shartni qanoatlantiradigan oraliqni yangi oraliq sifatida olamiz va uni yana teng ikkiga bo’lib, yuqoridagi ishlarni yana takrorlaymiz.
  

Xulosa qilib aytganda, biz tanlab olayotgan kesmalarda tenglamaning taqribiy ildizi yotadi. Demak, kesmalarni toraytirib borar ekanmiz.
Natijada, qandaydir qadamdan so’ng tenglamaning aniq yoki talab
qilingan aniqlikdagi taqribiy ildizini hosil qilamiz

3. Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=𝜓(x) ko‘rinishdagi tenglamaga keltiramiz.
2-teorema. Aytaylik,

1. 
   𝜓 (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi bo‘lsin;
   
2. 
   𝜓 (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
   

3)[a,b] oraliqda  𝜓 (x)q <1 tengsizlik bajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x= 𝜓 (x) tenglamaning yagona x=t yechimi mavjud va bu yechim
tn= 𝜓 (tn-1). t0 a;b
formulalar bilan aniqlanadi
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= 𝜓 (x) tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida ko‘rish mumkin.


Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t₀ qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, t_i – n_i yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.
Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.

1. 
   f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz.
   
2. 
   [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a)^.f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz. 3)Tenglamani x =(x) ko‘rinishga keltirib, 𝜓 (x)[a,b] ekanligini hamda [a;b] da '(x) mavjudligini tekshiramiz va q= max '(x) ni topamiz.
   

xa;b

4. 
   Agar q<1 bo‘lsa, x_n =(x_n−1) ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x₀ uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
   
5. 
   Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni  x_n- x_n-1 < shart bajarilguncha davom ettiramiz.
   
6. 
   Ildizning taqribiy qiymati uchun x_n ni olamiz.
   

Misol.
Iteratsiya usuli bilan 5x³-20x+3=0 tenglamani [0,1] intervalda 10^-4 aniqlikda toping.
Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan 𝑥 = 𝜓(𝑥) tenglamaga bir necha xil ko’rinishga o’tkazib olamiz.

1. 
   𝑥 = 𝑥 + (5𝑥³ − 20𝑥 + 3) bunda 𝜓₁(𝑥) = 5𝑥³ − 19𝑥 + 3
   
2. 
   bunda, 𝜓
   
3. 
   bunda, 𝜓
   

𝜓(𝑥) funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz. Buning uchun,
|ψ^′(x)| < 1
shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz.
[0,1] intervaldan olingan x₀ nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x₀=0.5;
𝜓₁^′(𝑥) = 15𝑥² − 19

^′ (𝑥) = 4 (20𝑥 − 3)⁻ ;
𝜓₂
3 5

^′ (𝑥) = 3 𝑥²
𝜓₃
4
Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz
|𝜓¹′^{(𝑥0)| > 1} – uzoqlashuvchi iteratsion jarayon
{|𝜓′ (𝑥₀)| > 1
₂
|𝜓₃^′ (𝑥₀)| < 1 – yaqinlashuvchi iteratsion jarayon
Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat 𝜓₃(𝑥) funksiya yaqinlashuvchi ekan.

1. 
   𝑥₁=^5𝑥0₂₀³⁺³ ni hisoblaymiz va |𝑥₁ − 𝑥₀| < 𝜀 shartni tekshiramiz. 𝜀 = 0.0001.
   
2. 
   𝑥₂=^5𝑥1₂₀³⁺³ |𝑥₂ − 𝑥₁| < 𝜀
   

Bu jarayonni |𝑥₁ − 𝑥₀| < 𝜀 shart bajarilguncha davom ettiramiz.
4. Vatarlar usuli
Vatarlar usuli [a, b] kesmaga to’g’ri keluvchi f(x) egri chiziq yoyini tutashtiruvchi vatar OX o’qini shu kesma ichida kesib o’tishiga asoslangan.
Vatarning OX o’qi bilan kesishgan nuqtasi ildizga yaqinroq (1-rasmda x₁ va  ga mos nuqtalar). Agar ildiz yotgan kesma sifatida [a, x₁] yoki [x₁, b] olinsa, avvalgi [a, b] kesmaga nisbatan kichikroq kesma hosil bo’ladi. Yangi kesmada mos f(x) yoyiga yana vatar o’tkazib, ilgarigidan ko’ra torroq oraliqni aniqlash mumkin va hokazo. Bu jarayonni davom ettirib, ildiz yotgan oraliqni istalgancha kichraytirish mumkin bo’ladi.
Tenglamaning [a, b] ajratilgan ildizini  aniqlikda hisoblash uchun x₀ boshlang’ich yaqinlashish tanlab olinadi. Bu 1-rasmda ko’rsatilgandek f(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarning ishoralariga bog’liq. Agar y'<0 ba y''<0 (1 a-rasm) yoki y'>0 va y''<0 (1 d-rasm) bo’lsa x₀=b, qolgan hollarda x₀=a qilib olish kerak (1-b va 1-c rasmlar).

b)

c) d)
1-rasm.
Birinchi x0=a bo’lgan holda x=b qo’zg’almas nuqta bo’ladi va ildizga keyingi yaqinlashishlar
𝑥^𝑛+1 =𝑥^𝑛 − 𝑓 _𝑓(𝑥(𝑏𝑛))−(𝑏𝑓−(𝑎𝑥𝑛)) (3)
formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n=0, 1, 2, … yaqinlashish tartibi, xn-n – tartibli yaqinlashish.

Ikkinchi, x₀=b bo’lgan holda x=a qo’zg’almas nuqta bo’ladi. Keyingi yaqinlashishlar
𝑓(𝑎)(𝑥𝑛−𝑎)
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛)−𝑓(𝑎) (4) formula bilan hisoblanadi.
Yaqinlashish jarayoni |x_n-x_n-1|≤ shart bajarilguncha davom etadi.

Bunda 𝑥₀=b