1-amaliy mashg’uloti

1-AMALIY MASHG’ULOTI 

 

Mavzu: Misr va Vavilon xalqlarida matematik va astronomik tushunchalar. 

Hisoblash usullari, arifmetik masalalar va figuralarning yuzalari, tenglama va 

tenglamalar sistemalari.   

 

Reja: 

1) Qadimgi Misr va Vavilon olimlarining matematik va astronomik bilimlari; 

2) Arifmetik masalalarni hal qilish usullari; 

3) Algebra masalalari hal qilish usullari; 

4) Kvadrat tenglama va sistemalarini yechish usullari; 

5) Figuralarni o‟lchash haqida. 

 

 

Qadimgi Misr matematiklar haqidagi ma‟lumotlar asosan hozirda Londonda 

saklanayotgan Raynda tomonidan topilgan matematika pipirius (U 1858 yili ukilib 

uzunligi 5,5 m eni 32 sm. 84 amaliy masala jamlangan). 

 

Ikkinchi kattarog„i Moskvada saklanmokda.U Axlis papirusi bo‟lib, uzunligi 

5,5 m eni 8 sm, 25 ta amaliy  masala kiritilgan). 1882 yili akademiklar Turaev va 

Struve tomonidan  ukilgan. 

 

Birinchisining yoshi e.o 1650 yil bulsa ikkinchisiniki e.o. 1850 yildir. 

 

Har  ikkala  papirusdagi  masalalar  deyarli  umumiy  bo‟lib,  birinchisida  14-

masalada  asosi  vkadrat  bulgan  kesik  piramidaning  hajmini  tug„ri  hisoblagan. 

Ikkinchisida  10-  masalada  egri  chizikli  sirt  yuzi  -  balandligi  asosining  diametriga 

teng bulgan savat (korzina) ning yon sirti tug„ri topilgan. 

 

Bu ikki papirusni o‟rganish natijasida  misrlik olimlarga kuyidagilar ma‟lum  

ekanligi aniklandi. 

 

1)  Unli  ieroglifli  sanoq  sistemasi.  Bog„lovchi  sonlar  10

k

  (  k  =  0,1,2,...7) 

ko‟rinishda  bo‟lib,  alohida  belgilar  qo‟yilgan.  Algoritmik  sonlar  esa  bularning 

kombinatsiyasi natijasida hosil kilingan. 

 

2)  Kasr  sonlar  fakat    1/n  ko‟rinishida  bo‟lib,  boshkalardan  ayrimlari  (ms; 

2/3,  3/4)  ishlatilgan.  Boshka  har  kanday        ko‟rinishdagi  kasrlar  shularning 

yig„indisi  ko‟rinishida  tasvirlangan.  Bajarilayotgan  amallarni  engillatish  uchun 

maxsus  jadvallar  tuzilgan.  Hamma  amallar  iloji  boricha  qo‟shish  holiga  olib 

kelingan. 

Mis : 1.Ikkilatish usuli ( kupaytirish) 

12*12=144                

96

8

48

4

24

2

12

1

*

*

               4

*

+8

*



48+96=144 

II. Ikkilatish va yarimlash (

3

2

,

3

1

) lash (bulish). 

 

1) (19:8)    

1  

8 

2) 4:15) 

1 

15 

 

2 

16

*

 

 

1/10 

2

1

1  

 

2

1

 

4 

 

1/5 

3

*

 

 

4

1

 

2

*

 

 

1/15 

1

*

 

 

1/8

*

 

1

* 

 

 

 

 

(16

*

+2

*

+1

*

):8= 19:8= 2  

8

1

4

1

 

(3

*

+1

*

):15=4:15=

15

1

5

1

 

 

 

3)  “hau”  amali,  ya‟ni  ax  +  vx  +  …  +  sx  = 



  ko‟rinishdagi  chizikli 

tenglamalarni yechish. 

 

4)  Turli  maxrajli  kasrlarni  qo‟shishda  yordamchi  songa  kupaytirish  usulini 

kullaganlar. Bu hali umumiy maxrajga keltirish emas, lekin primitiv holidir. 

 

YUkoridagilardan shu narsa ma‟lum buladiki bundan 4000 yil ilgari qadimgi 

Misrda matematika fan sifatida shakllana boshlagan. 

 

Qadimgi  Vavilon  (Tigr  va  Evfrat  daryolari  oraliklari  hozirgi  Irok) 

matematiklari  haqidagi  ma‟lumotlar  Misrdagi  matematika  bilan  bir  vaktda 

shakllana  boshladi    .Qadimgi  Vavilionliklar  mustakil  ravishda  (shumerы  -) 

ponasimon  shakllar  yordamida  loy  plitkalarga  yozishni  (kuyoshda  ko‟ritilgandan 

sung  mustahkam  buladi)  yulga  kuydilar.  Kupdan  –  kup  topilgan  bunday 

plitkachalar  kadim  zamonda  (hatto  greklardan  1500  yil  oldin)  matematikadan 

amaliy  maksadlarda  unumli  foydalanganlar.  Ular  hakli  ravishda  astronomiyaning 

asoschisi hisoblanadilar (greklar ularning astronomiyasiga asoslanganlar). 

 

Jumladan haftaning 7 kunga bulinishi, doirani 360

0

 ga bulish, 1 soatni – 60 

minutga,  minutni  –  60  sekundga,  sekundni  –  60  tersiyga  bulish  ulardan  meros 

kolgan. 

 

YAna ular yulduzlarga karab kelajakni bashorat qilish fani – astrologiyaning 

ham asoschilaridir. 

 

Bizgacha  etib  kelgan  yuz  mingga  yakin  loy  plitkalardan  –  taxminan  50 

tachasi  matematik  mazmunga  ega  bo‟lib,  200  tachasi  matematik  tablitsadan 

iboratdir. 

 

Sanoq sistemasi 60 lik bo‟lib, chapdan ungga yozilgan.Butun sonlar va kasr 

sonlar uchun yagona arifmetik koidalar yaratganlar. Hisoblashni engillatish uchun 

1*1  dan  60*60  gacha    an    jadvali  tuzganlar.  Bulish  kupaytirishga  teskari  amal 

sifatida karalgan, ya‟ni a:v = 

в

1

а



     ko‟rinishda. 

 

YAna  butun  sonlarning  kvadratlari  va  kublari,  kvadrat  ildizlar  va  n

2

+n

3

 

ko‟rinishdagi sonlar uchun jadvallardan foydalanganlar. Nol bulmagan (urni bush 

koldirilgan). 

 

Bulardan  tashkari  plitkalarda  protsentlar  va  proporsiyalar  bulishlar  haqida 

ham ma‟lumotlar bor. 

 

B.L.Vander  Varden  uzining  “Probujdoloщayasya  nauka”  (Uyg„onayotgan 

fan) kitobida Vavilon tablichkalaridagi barcha ma‟lumotlarni analiz kilib kuyidagi 

xulosalarga keladi; 

 

1) Bir noma‟lumli tenglamalar: ax=v, x

2

=a, 

в

ах

х

2





, x

3

=a, x

2

(x+1)=a; 

 

 

2) Ikki noma‟lumli tenglamalar sistemasi: 

 













,

в

ху

а

у

х

     















в

у

х

а

у

х

2

2

; 

 

 

3) Arifmetik progressiyalarning yig„indisini hisoblash;   

 























 









n

0

k

n

1

k

n

1

k

2

n

n

k

k

n

2

1

3

1

k

),

1

2

(

2

2

 

 

4) 

)

4142

,

1

2

(

12

5

1

2





 

 

 

5) Doiraning yuzi S = 

12

c

2

 (s-aylana uzunligi) formula bilan hisoblangan. Bu 

erdan P = 3 topilgan; 

 

6) Tekis figuralarning yuzalarini hisoblash; 

 

7) Burchaklarni va tr. Munosabatlarni hisoblash. 

 

1945  yil  Neygebauer  va  Saks  (AKSH,  Kolumbiya  universiteti)  ukigan 

plitkada  tomonlari  ratsional  sonlar  bulgan  tug„ri  burchakli  uchburchaklarning 

ruyxati,  ya‟ni  ;  Pifagor  sonlari    x

2

+u

2

=z

2

.  Ularning  tanlash  metodlari  x=r

2

-g

2

, 

u=2rg,  z=p

2

+g

2

  ko‟rinishdagi  formulalarga  olib  keladi.  Bular  esa  Diofant 

tenglamalardir. 

 

Xulosa  kilib  shuni  aytish    mumkinki  Vavilionliklar  matematikasi  konkret 

masalalardan  ajralgan  holda  umumiy  metodlar  bilan  ifodalangan  algebra 

ko‟rinishga yakin keltirilgan (Neygebauer, Fogel). 

 

Ba‟zi masalalardan namunalar. 

1) 



























x

12

z

x

3

2

y

6

1

1

xy

xyz

     echilsin.  

Bu (12x)

 3

+(12x)

 2

= 252  yoki 12x=6 (jadvalga asosan) 

 

Demak, x

3

+x

2

=a ko‟rinishdagi tenglama echilgan. 

2) 20 % foyda keltiruvchi pul, kancha vaktda ikki baravar kupayadi ? 

 

Buni  yechish  uchun 

2

5

1

1

х















  ko‟rinishiga  keltiriladi.  Dastlab,  3

ekanligi  aniklanadi.  Sung  chizikli  interpolyasiyalash  natijasida  (Buning  ko‟rinishi 

hozirgi) Jadvaldan hisoblash natijasida 4 yil minus (2,33,20) oy javob buladi. 

Misr  va  Vavilionliklar  matematikasi    eramizdan  avvalgi  V  asrga  kelib  ,  mantikiy 

fikirlash  va  isbotlashlarni  asoslash  uchun  etarli  darajada  abstraktlashgan,  asosiy 

tushuncha va jumlalari  insonniig fikirlash obektiga aylangan mustakil fan sifatida 

shakillanganligining    guvoxi  buldik  .Bundan  keyingi  matematikaning  rivojlanishi 

VI – V asrlarda  antik davrga, yani Gr etsiya – Rim davriga tug„ri keladi. 

 

Tekshirish savollari: 

1.  Qadimgi xalqlarda matematik va astronomik bilimlarni izohlab bering. 

2.  Qadimgi Misrda matematik bilimlar kanday shakllangan? 

3. Qadimgi Vavilonda matematik bilimlar kanday shakllangan? 

4. SHarkdan boshka erlarda matematik tushunchalarni shakllantirish kanday 

kechgan?