1. bob. Ikki karrali integral asosiy tushunchalari 1-§. Ikki o'Ichovli integral

8. 4-§. Qutb koordinatalaridagi ikki o'lchovli integral. O'zgaruvchilarni almashtirish
qutb koordinatalar sistemasida shunday soha berilgan bo'lsinki, uning ichki nuqtasidan o'tuvchi har bir nur bu sohaning chegarasini ikkitadan ortiq nuqtada kesmasin. soha egri chiziqlar hamda va nurlar bilan chegaralangan, bunda va deb faraz qilamiz (20-rasm). Bunday sohani yana to'g'ri deb ataymiz.
sohada va koordinatalarning ualuksiz funksiyasi berilgan bo'lsin: .
sohani biror usul bilan yuzlarga bo'lamiz. Integral yig'indini tuzamiz:

bunda nuqta yuzning ixtiyoriy nuqtasi.
Ikki o'lchovli integralning mavjudligi haqidagi teoremadan yuzlarning eng katta diametri nolga intilganda (1)

19-rasm.

20- rasm.
integral yig'indining limiti mavjud ekanligi kelib chiqadi. Bu limit, ta'rifga asosan, funksiyadan soha bo'yicha olingan ikki o'lchovli integralga teng:

1- misol. Sferik

va silindrik

sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmi hisoblansin.
Yechish. Bu yerda integrallash sohasi uchun silindrning asosini, ya'ni markazi nuqtada bo'lgan, a radiusli doirani olish va bu doiraning tenglamasini ko'rinishda yozish mumkin (20-rasm). Izlanayotgan hajmining qismini, ya'ni uning birinchi oktantda joylashgan bo'lagining hajmini hisoblaymiz. U vaqtda integrallash sohasi sifatida chegarasi

tenglamalar bilan aniqlanuvchi yarim doirani olishga to'g'ri keladi. Integral ostidagi funksiya

ifodaga teng bo'ladi. Demak,

Hosil qilingan bu integralni qutb koordinatalarga almashtiramiz:


21-rasm. Integrallash chegarasini aniqlaymiz. Buning uchun berilgan aylananing tenglamasini qutb koordinatalarda yozamiz:

u vaqtda

Demak, berilgan sohaning qutb koordinatalardagi (21-rasm) chegarasi

tenglamalar bilan aniqlanadi. Integral ostidagi funksiya esa

ko'rinishda bo'ladi
Shunday qilib, quyidagini hosil qilamiz: