1. bob. Ikki karrali integral asosiy tushunchalari 1-§. Ikki o'Ichovli integral

3. 2-§. Ikki o'lchovli integralni hisoblash
Oxy tekislikda yotuvchi sohani koordinata o'qlaridan biriga, masalan, Oy o'qqa parallel bo'lgan va sohaning ichki nuqtasidan o'tadigan har qanday to'g'ri chiziq uning chegarasini ikki va nuqtada kesib o'tadigan qilib olamiz (5-rasm).
Qaralayotgan holda soha chiziqlar bilan chegaralangan, bunda

bo'lib, funksiyalar kesmada uzluksiz deb faraz etamiz. Bunday sohani biz Oy o'q yo'nalishida to'g'ri bo'lgan soha deb ataymiz. Ox o'q yo'nalishida to'g'ri bo'lgan soha ham shuning singari aniqlanadi.

4- rasm.

5- rasm.
Ham , ham o'qlar yo'nalishida to'g'ri bo'lgan sohani qisqacha to'g'ri soha deymiz. 5- rasmda va o'qlar bo'yicha to'g'ri bo'lgan soha ko'rsatilgan.
funksiya sohada uzluksiz bo'lsin. Quyidagi ifodani qaraymiz:

Bu ifodani funksiyaning soha bo'yicha olingan ikki karrali integrali deb ataymiz. Uni hisoblash uchun ni o'zgarmas deb qarab, kavs ichidagi ifodani avval bo'yicha integrallaymiz. Integrallash natijasida ning uzluksiz funksiyasi hosil bo'ladi:

Bu funksiyani bo'yicha dan gacha chegarada integrallaymiz

Natijada biror o'zgarmas son chiqadi.
Misol. Ushbu ikki karrali integral hisoblansin:

Yechish. Avval ichki integralni (qavs ichidagini) hisoblaymiz;

Hosil bo'lgan funksiyani 0 dan 1 gacha chegarada integrallaymiz


6- rasm.

7- rasm.
sohani aniqlaymiz. Bu holda deb chiziqlar bilan chegaralangan soha qaraladi (6-rasm). soha o'zgaradigan ( dan gacha) oraliqning hammasida funksiyalardan birini analitik ifodalab bo'lmaydigan soha bo'lib qolishi mumkin.
Masalan, bo'lib, kesmada kesmada , bo'lsin, bunda va funksiyalar analitik usulda berilgan (7rasm). U vaqtda ikki karrali integral quyidagicha yoziladi:

Bu tengliklardan birinchisi aniq integralning ma'lum xossasiga, ikkinchisi esa uchastkada uchastkada , ekanligiga asosan yozilgan.
Agar funksiya kesmaning turli uchastkalarida turlicha analitik ifodalar bilan berilganida ham ikki karrali integralni yuqoridagi kabi yozish o'rinli bo'lar edi.
Ikki karrali integralning ba'zi bir xossalarini aniqlab olaylik:
1-xossa. Agar o'q yo'nalishida to'g'ri bo'lgan sohani yoki o'qqa parallel to'g'ri chiziq bilan ikki sohaga bo'linsa, soha bo'yicha olingan ikki karrali integral va sohalar bo'yicha olingan ikki karrali integrallarning yig'indisiga teng bo'ladi, ya'ni:

Isbot. a) to'g'ri chiziq sohani Oy o'q yo'nalishida to'g'ri bo'lgan ikki va sohaga bo'lsin. U holda:


b) Faraz qilaylik, to'g'ri chiziq sohani 8-rasmda ko'rsatilganidek Oy o'q yo'nalishida to'g'ri bo'lgan ikki va sohaga bo'lsin. to'g'ri chiziq bilan soha chegarasining kesishish nuqtalarini va bilan, bu nuqtalarning abssissalarini esa va bilan belgilaymiz.
soha quyidagi uzluksiz chiziqlar bilan

chegaralangan:

8-rasm.

1. 
   
   
2. 
   egri chiziq; bu egri chiziqning tenglamasini shartli ravishda
   

shaklda yozamiz va bunda hamda bo'lganda

va bo'lganda

ekanligini nazarda tutamiz;

3. 
   to'g'ri chiziqlar.
   

soha ushbu chiziqlar bilan chegaralangan:

Ichki integralga integrallash oralig'ini bo'lish haqidagi teoremani tatbiq etib, ushbu ayniyatni yozamiz:


Tashqi integralga integrallash oralig'ini bo'lish haqidagi teoremani tatbiq etib, oxirgi integralni uchta integralga ajratamiz:

I, va kesmalarda bo'lganligidan, birinchi va uchinchi integrallar aynan nolga teng. Shuning uchun

Bu yerdagi birinchi integral soha bo'yicha, ikkinchisi soha bo'yicha olingan ikki karrali integraldir. Demak,

kesuvchi to'g'ri chiziqning vaziyati har qanday bo'lganda ham isbot yuqoridagi singari qilinadi. Agar to'g'ri chiziq sohani uchta yoki undan ortiq sohaga bo'lsa, o'ng tomonida mos sondagi qo'shiluvchilar turgan (1) munosabatga o'xshash tenglik hosil bo'ladi.
2-xossa (ikki karrali integralni baholash). funksiyaning sohadagi eng kichik va eng katta qiymatlari mos holda va bo'lsin, sohaning yuzini bilan belgilasak, u holda quyidagi munosabat o'rinla bo'ladi:

Isbot. Ichki integralni bilan belgilab, uni baholaymiz:

u holda:

ya'ni:

Shunga o'xshash,

ya'ni

(3') va (3") tengsizliklardan ham (3) munosabat kelib chi-qadi:

Bu teoremaning geometrik ma'nosini keyingi paragrafda tushuntiramiz.
3-xossa (o'rta qiymat haqidagi teorema). uzluksiz funksiyaning soha bo'yicha olingan ikki karrali integrali, sohaning yuzini funksiyaning sohada olingan biror R nuqtadagi siymatiga ko'payti-rilganiga teng, ya'ni

Isbot. (3) munosabatdan

tengsizlikni hosil qilamiz.

qiymatlari orasida joylashgan. funksiyaning uzluksizligiga asosan ikki karrali integral sohaning biror nuqtasida songa teng qiymat qabul qiladi, ya'ni:

bundan