1. bob. Ikki karrali integral asosiy tushunchalari 1-§. Ikki o'Ichovli integral

4. Ikki o'lchovli integralmi hisoblash (davomi)
Teorema. uzluksiz funksiyaning to'g'ri soha bo'yicha olingan ikki o'lchovli integrali funksiyaning o'sha soha bo'yicha olingan ikki karrali integraliga teng, ya'ni

Isbot. sohani koordinata o'qlariga parallel to'g'ri chiziqlar bilan ta to'g'ri (to'g'ri to'rt burchakli)

sohalarga bo'lamiz.
Oldingi paragrafdagi 1-xossaning (2) formulasiga asosan:

O’ng tomondagi qo'shiluvchilarning har birini ikki karrali integralning o'rta qiymati haqidagi teoremaga asosan almashtiramiz:

U holda (1) tenglik quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

bunda nuqta sohanig biror nuqtasi. O'ng tomonda funksiya uchun soha bo'yicha olingan integral yig'indi turibdi. Ikki o'lchovli integralning mavjudligi haqidagi teoremaga asosan da va yuzning eng katta diametri nolga intilganda bu yig'indining limiti mavjud va u funksiyaning D soha bo'yicha olingan ikki o'lchovli integraliga teng ekanligi kelib chiqadi. (2) tenglikning chap tomonida turgan ikki karrali iltegralning qiymati ga bog'liq emas. Shunday qilib, (2) tenglikda limitga o'tib, quyidagini hosil qilamiz:

yoki

Endi ikki karrali integralning aniq ifodasini yozib olib, oxirgi natijani chiqaramiz:

1-izoh. bo'lganda, (4) formulaning geometrik ma'nosi yaqqol ko'rinadi. sirt, tekislik va yasovchisi Oz o'qqa parallel, yo'naltiruvchisi esa sohaning chegarasidan iborat bo'lgan silindrik sirt bilan chegaralangan jismni qaraymiz (9-rasm). Bu jismning hajmini hisoblaymiz. Bu jismning hajmi funksiyaning soha bo'yicha olingan ikki o'lchovli integraliga teng ekanligi yuqorida ko'rsatilgan edi:

Endi bu jismning hajmini I t. XII bobining 4- paragrafidagi parallel kesimlarning yuzlari bo’yicha jismning hajmini hisoblashga doir natijadan foydalanib hisoblaymiz. Qaralayotgan jismni kesuvchi const tekislik o'tkazamiz.

kesimda
hosil
bo'ladigan
figuraning yuzini hisoblaymiz.

9-rasm.
Bu figura const chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapesiyadir. Demak, bu yuz:

integral bilan ifodalanadi. Parallel kesimlarning yuzlarini bilgan holda, jismning hajmini topish oson:

yoki yuz o'rniga uning (6) ifodadagi qiymatini qo'ysak, quyidagi tenglik hosil bo'ladi:

(5) va (7) formulalarning chap tomonlari teng, shuning uchun o'ng tomonlari ham tengdir:

Endi ikki karrali integralni baholash haqidagi teoremaning geometrik ma'nosini tushuntirish qiyin emas (oldingi paragrafdagi 2-xossa): sirt, tekislik va yo'naltiruvchisi sohaning chegarasidan iborat bo'lgan silindrik sirt bilan chegaralangan jismning hajmi, asosi balandligi bo'lgan silindrning hajmidan katta, lekin asosi , balandligi bo’lgan silindrning hajmidan kichik [bunda va lar funksiyaning sohadagi eng kichik va eng katta qiymatlaridir (10-rasm). Bu esa ikki karrali integral o'sha jismning hajmiga teng ekanligidan kelib chiqadi.
1-misol. Agar D soha to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan bo'lsa, ikki o'lchovli integral hisoblansin.
Yechish. Bu integral (7) formulaga asosan hisoblanadi:

2-misol. funksiyaning (11- rasm) chiziqlar bilan chegaralangan soha bo'yicha olingan ikki o'lchovli integrali hisoblansin.

10- rasm.

11- rasm.