1§ Boshlang’ich funksya va uning tasviri

Misol. 1) differensial tenglamaning

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan hususiy yechimi topilsin.

Yechish.

Bo’lgani uchun (2.1.3) formulaga asosan:

jadvaldan - izlangan yechim bo’ladi.

2) tenglamaning shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Yechish.

oxirgi kasrni elementar kasrlarga ajratamiz:

bundan jadvalga ko’ra

.

2. 
   Endi n- tartibli chiziqli differensial tenglama olamiz:
   

(2.1.5)

bunda o’zgarmas koeffitsentlar. Bu tenglamaning boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topamiz.

1. 
   tenglamani hadlab ga ko’paytramiz, (bunda ) va 0 dan gacha oraliqda bo’yicha integrallaymiz:
   

Bu tenglamani chap tomonida funksiya va uning hosilalarining tasvirlari, o’ng tomonida funksiyaning tasviri turibdi:

yoki

(2.1.6)

(2.1.6)- tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

(2.1.7)

(2.1.6) va (2.1.7) tenglama (2.1.5) differensial tenglamaning yordamchi tenglamasi yoki tasvirlovchi tenglamasi deyiladi.

Agar va

deb belgilasak, u holda

bo’ladi

(2.1.8)

Bu esa – funksiyani tasviridir, yani . Agar bo’lsa, u holda (2.1.8) dan

(2.1.9)

kelib chiqadi.

Misollar: 1) tenglamaning y(0)=0 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. jadvaldan

tenglamani yechimi ekanini topamiz.

2) bo’lsa

;

.

3) boshlang’ich shartli ;

.

4) boshlang’ich shart

yoki

yoki

jadvaldan .