1§ Boshlang’ich funksya va uning tasviri

I BOB LAPLAS ALMASHTIRISHI VA UNING XOSSALARI

1.1 § Laplas almashtirishi

Haqiqiy argument - ning qiymatlarda aniqlangan funksiya berilgan bo’lsa (yoki desak, t<0 bo’lganda deb olamiz) va – funksiya chekli sondagi 1 tur uzilishga ega bo’lsin.

Bu funksiya cheksiz intervalda integrallanuvchi bo’lishi uchun

(1.1.1)

bo’lishi kerak (). Endi funksiyaning kompleks funksiyaga ko’paytmasini ko’ramiz. (bunda , )

(1.1.2)

(1.1.2)- funksiya haqiqiy argumentning komplekis funksiyasidir, haqiqatdan ham:

Quyidagi hosmas integralni ko’ramiz:

(1.1.3)

Agar funksiya (1.1.1) shartni qanoatlantirsa va bo’lsa u holda (1.1.3) ning o’ng tomonidagi integrallar mavjud bo’ladi va absolyut yaqinlashadi:

- son funksiyani o’sish ko’rsatkichi deyiladi.

(Shunga o’xshash ikkinchi integralni ham yaqinlashishini ko’rsatish mumkin). Shunday qilib mavjud va - ning biror funksiyasidir; biz uni deb belgilaymiz:

(1.1.4)

– funksiya funksiyaning Laplas tasviri yoki 1- tasvir (yoki tasviri) deyiladi. funksiya original funksiya yoki original deyiladi. F(t)- funksiyaning – originalga nisbatan tasvir ekani quyidagicha yoziladi:

yoki yoki

(1.1.4) - integralni Laplas almashtirishi deb ham yurutiladi.

Tasvirlari bir hil bo’lgan funksiyalar haqida quyidagi teorema o’rinlidir.