1. Bоshlang‘ich funktsiya tushunchasi. Aniqmas integral va uning xоssalari

Aniqmas integral. Aniqmas integral jadvali. Hisоblash usullari.  

R e j a 

1.  Bоshlang‘ich funktsiya tushunchasi. 

2.  Aniqmas integral va uning xоssalari. 

3.  Aniqmas integralning hisоblash usullari. 

4.  Asоsiy elementar funktsiyalarning aniqmas integrallari jadvali. 

 

 

Biz  hozirgacha  biror  u=f(x)  funksiyasi  berilgan  bo’lsa,  bu  funksiyaning  hosilasini  yoki 

differentsialini  hisoblashni  o’rgandik.  Endi  hosila  olish  amaliga  teskari  bo’lgan  amal 

tushunchasini  kiritishga  harakat  qilamiz.  Agar  bizga  hosilasi    olingan  funksiya  berilgan  bo’lsa, 

ana shu funksiyani  hosilasi olingunga qadar, ya’ni uning boshlang’ich ko’rinishi qanday bo’lgan 

edi  degan savolga javob beramiz. 

 

Ta’rif.  Agar u=F(x)  funksiyasining hosilasi f(x) ga teng bo’lsa, ya’ni F′(x)=f(x)  tenglik 

o’rinli bo’lsa, u holda F(x) funksiyasi  f(x)  funksiya uchun boshlang’ich funksiya deyiladi. 

 

Misol 1.  

Agar  f(x)=x

2 

  bo’lsa,  uning  boshlang’ich  funksiyasi  F(x)=

x

3

3

  bo’ladi, 

chunki   F′(x)= 

3

3

2

x

=x

2

=f(x) bo’ladi. 

 

Misol  2.  Agar  f(x)=sinx  bo’lsa,  uning  boshlang’ich  funksiyasi  F(x)=-cosx  bo’ladi, 

chunki, F′(x)=(-cosx)′=sinx=f(x). 

Misol 3.  

Agar  f(x)=

1

1

2



x

  bo’lsa,  uning    boshlang’ich  funksiyasi    F(x)=arcsinx  

bo’ladi. 

Yuqoridagi  misollardan  ko’rinadiki,  agar  f(x)  funksiyasi  uchun  F(x)  funksiyasi 

boshlang’ich funksiya bo’ladigan bo’lsa, u holda F(x)+C funksiyasi ham boshlang’ich funksiya 

bo’ladi, chunki [F(x)+C]′=f(x),  S - o’zgarmas son. Bundan ko’rinadiki, agar f(x) funksiyasining 

boshlang’ich  funksiyasi  mavjud  bo’lsa  bunday    boshlang’ich  funksiyalar  cheksiz  ko’p  bo’lib, 

ular o’zgarmas son S ga farq qilar ekan. 1-misolda 

x

3

3

+C, 2-misolda (-cosx+C), 3-misolda esa 

(arcsinx+C) boshlang’ich funksiyalar bo’ladi. 

 

Ta’rif: f(x) funksiyasining boshlang’ich funksiyasining umumiy ko’rinishi F(x)+C ga shu 

f(x) funksiyasining aniqmas integrali deyiladi va u quyidagicha yoziladi:     



f(x)dx=F(x)+C 

Bu erda 



-integral belgisi, f(x)dx- integral ostidagi ifoda deb yuritiladi. 

 

Ta’rif.  f(x)  funksiyasini  boshlang’ich  funksiyasining  umumiy  ko’rinishi      F(x)+C  ni 

topish amaliga  integrallash amali deyiladi.  Bu ta’rifdan ko’rinadiki, f(x)-funksiyani integrallash 

amali  shu  funksiyani  hosila  olish  yoki  differentsiallash  amaliga  nisbatan  teskari  bo’lgan  amal 

ekan. Integrallash amali quyidagi muhim xossalarga ega: 

 

1-Xossa.  Agar  differentsiallash  belgisi  integrallash  belgisidan  oldin  kelsa,    ular  o’zaro 

teskari amallar bo’lgani uchun bir-birini yo’qotadi:  

 

 

 

 

d



f(x)dx=f(x)dx 

 

 

2-Xossa.  Differentsial  belgisi  integral  belgisidan  keyinda  kelsa,  bu  belgilar  bir-birini 

yo’qotgandan so’ng F(x) ga o’zgarmas S soni qo’shiladi. 

 

                  



df(x)dx=F(x)+C 

 

 

Isboti:     



dF(x)=



F′(x)dx=



f(x)dx=F(x)+C. 

 

3-Xossa. O’zgarmas sonni integral ishorasi tashqarisiga chiqarib yozish mumkin: 



k



f(x)dx=k



f(x)dx. 

 

 

Isboti:  d



k



f(x)dx=k



f(x)dx   

d(k



f(x)dx=k



f(x)dx)=k



f(x)dx 

 

4-Xossa.  Algebrik  yig’indining  (ayirmaning)  integrali  qo’shiluvchilar  (ayriluvchilar) 

integrallari-ning algebrik yig’indisiga (ayirmasiga) teng. 



[f(x) +  g(x)]dx=



f(x)dx + 



g(x)dx 

 

Isboti:      d



[f(x)+g(x)]dx=d{



f(x)dx + 



g(x)dx}= 

 

 

d



f(x)dx



d



g(x)dx=f(x)dx



g(x)dx 

 

INTEGRAL  JADVALI. 

   

 

        1. 



dx=x+C                   2. 

c

n

x

dx

x

n

n











1

1

 

       

c

a

a

dx

c

x

x













ln

.

4

|

|

ln

.

3

x

a

   

x

dx

     

 

c

a

x

a

x

a

a

c

a

x

x

a

c

a

x

arctg

a

x

c

a

x

arcs

x

c

ctgx

x

c

tgx

x

c

x

xdx

c

e

dx

x





































































|

|

ln

2

1

.

13

|

|

ln

.

12

1

.

11

sin

.

10

.

9

.

8

sin

cos

.

7

.

6

5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

dx

    

x

dx

    

a

dx

    

a

dx

   

sin

dx

    

2

x

cos

dx

     

c

+

-cosx

=

sinxdx

     

e

     

.

   

 

 

ANIQMAS INTEGRALDA O’ZGARUVCHINI ALMASHTIRISH. 

 

Faraz qilaylik, bizga I=



f(x)dx integralni hisoblash kerak bo’lsin. Integral ostida shunday 

f(x)  funksiyalar  mavjud  bo’ladiki,  bu  funksiyalarning  integralini  hisoblashlik  uchun  yangi 

o’zgaruvchi  kiritishga  to’g’ri  keladi.  Faraz  qilaylik,  I=



f(x)dx  integralda  x=



(t)    o’zgaruvchi 

almashtiraylik,  unda  dx=



′(x)dt  bo’ladi.  Ularni  integral  ostidagi  ifodaga  qo’ysak, 



f(x)dx=



f[



(t)]



′(t)dt    bo’ladi.  Bu  formula  aniqmas  integralda  o’zgaruvchi  almashtirish 

formulasi deyiladi. 

 

1-misol.  I

dx

x







5 3

ni hisoblang. 

 

5-3x=z 

I

dx

x

dz

z

z

x c





 

 

 









5 3

1

3

1

3

1

3

5 3

ln| |

ln|

|

   

 

 

x=

5

3



z

 

 

dx=



1

3

dz  

2-misol.  I

dx

x









1

1

3

  ni  hisoblang.  Buni  hisoblash  uchun  biz  o’zgaruvchi 

almashtirish usulidan foydalanamiz. 

x+1=z

3  

desak, x=z

3

-1,  dx=3z

2

dz 

c

x

x

x

c

z

z

z

z

dz

dz

z

z

z

z

dz

dz

z

z

dz

z

z

z

dz

z

x

dx

x

dx

I





















































































































|

1

1

|

ln

3

1

3

2

)

1

(

3

|

1

|

ln

2

3

1

1

)

2

)(

1

(

3

)

1

1

1

(

3

1

1

1

3

1

3

1

1

1

1

3

3

2

3

2

2

2

2

3

3

 

 

 

ANIQMAS INTEGRALNI BO’LAKLAB INTEGRALLASH. 

 

 

Bizga differensiallanuvchi bo’lgan U(x) va V(x) funksiyalari berilgan bo’lsin. 

bizga ma’lumki, d( U



 V)= VdU+UdV   edi. 

 

Bu  erdan  UdV  ni  topsak,  UdV=d(U



V)-VdU  bo’ladi.  Bu  tengliklarni  integrallasak,   



UdV=



d(UV)-



VdU,    



 UdV=UV - 



VdU 

Bu formula aniqmas integralda bo’laklab integrallash formulasi deyiladi. 

 

1-misol.       I= 



xlnxdx    ni  hisoblang. 

 

U=lnx                 dU=

1

x

dx 

dV=xdx              V=

x

2

2

 

I=



xlnxdx=

ln x

2



x

2

-



x

2

2



1

x

dx=

ln x

2



x

2

-

1

2



x

2

2

=

x

2

2



(lnx-

1

2

)+c 

 

Tekshirish. 

 

 



f(x)dx=F(x)+c      F′(x)=[

x

2

2



(lnx-

1

2

)+c]′= 

=2



x

2



(lnx-

1

2

)+x

2



1

x

=xlnx-

x

2

+

x

2

=xlnx=f(x). 

2- misol. I=



arctg

x

dx  integralni hisoblansin. 

 

  U=arctg

x

 bo’lsa dU=

1

1

2



x

dx

x

  dV=dx  desak V=x   bo’ladi.  Bo’laklab integrallash 

formulasiga ko’ra 



























x

dx

x

x

xarctg

x

x

xdx

x

xarctg

dx

x

arctg

I

1

2

1

1

2

 

xdx

x

1





 integralda 

x =t  desak, x=t

2

,  dx=2tdt   bo’lib 

c

x

arctg

x

c

arctgt

t

t

dt

dt

t

dt

t

dt

t

t

t

dx

x

x









































2

2

2

]

1

[

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

 

Bularga ko’ra berilgan integral quyidagiga teng bo’ladi. 

 

c

x

x

arctg

x

c

x

arctg

x

x

xarctg

dx

x

arctg

I





















1

 

 

Aniq integral. Nyutоn-Leybnits fоrmulasi. Xоssalari. 

R e j a 

1.  Aniq integral ta’rifi. 

2.  Nyutоn-Leybnits fоrmulasi. 

3.  Aniq integral xоssalari. 

4.  Aniq integralni xisоblash usullari. 

 

 

Masala.  Yuqoridan  y=f(x)    egri  chizig’i  bilan  chapdan  x=a,  o’ngdan  x=b  to’g’ri 

chiziqlari  hamda  ostki  tomondan  u=0  to’g’ri  chizig’i  bilan  chegaralangan  yuzi  hisoblansin. 

Masalaning  mazmuniga  ko’ra  chizma  yasasak  bu  aAVb  ko’rinishdagi  egri  trapesiya  deb 

ataluvchi  figura  hosil  bo’ladi.  Bizni  maqsad  ana  shu  egri  trapesiyani  yuzini  hisoblashdan 

iboratdir.  

Maktab  matematikasidan  ma’lumki,  yuqoridagi  egri  trapesiyani  yuzasini  elementar 

matematika  yordami  bilan  hisoblab  bo’lmaydi,  chunki  A  va  V  nuqtalarini  y=f(x)  ko’rinishdagi 

ixtiyoriy egri chiziq birlashtirgan.  aAVb ko’rinishdagi egri trapesiyani yuzini hisoblashlik uchun 

[a, b] ni a=x

0

, x

1

, x

2

, ... , x

i

, x

i+1

, ... , x

n

 =b nuqtalar yordamida ixtiyoriy n - ta bo’lakka bo’lamiz. 

Natijada  [a,b]  kesma  [x

i

,  x

i+1

]  (i=0,n-1)  ko’rinishdagi  n  -  ta  kesmachaga  ajraladi.  Bu  bo’linish 

nuqtalaridan  ordinata  o’qiga  parallel  to’g’ri  chiziqlar  chiqarilsa,  berilgan  egri  trapesiya 

x

i

P

i

P

i+1

x

i+1

    ko’rinishdagi  elementar    n-  ta  trapesiyachalarga  bo’linadi.  Faraz  qilaylik  u=f(x) 

funksiyasi  [a,  b]  da  aniqlangan  va  uzluksiz  funksiya  bo’lsin.    Bu  holda    [a,  b]  ni  maydalash 

natijasida  hosil  bo’lgan  har  bir    [x

i

,  x

i+1

]  kesmachada    ham  y=f(x)    funksiya  uzluksiz  bo’ladi. 

Shuning  uchun  Veyershtrasning  II  -    teoremasiga  ko’ra  y=f(x)  funksiya  har  bir    [x

i

,  x

i+1

]  da 

o’zining  aniq  quyi    m

i

    va  yuqori  M

i

    qiymatlariga  ega  bo’ladi.    Agar      x

i+1 

-  x

i

  = 



x

i     

deb 

belgilasak,  bu  erda 



x

i

      x

i

P

i

P

i+1

P

i

    egri  trapesiyaga  asosining  uzunligi.  Endi  quyidagi 

yig’indilarni tuzaylik. 

ye

y

   0              a           x

i

         x

i+1

     b                            x

 A

P

i

P

i+1

B

M

i

m

i



x

i

 

             S = m

0



x

0

 + m

1



x

1 

+m

2



x

2

 +...+ m

i



x

i

 +...+ m

n-1



x

n-1

  

 S = M

0



x

0

 + M

1



x

1 

+M

2



x

2

 +...+ M

i



x

i

 +...+ M

n-1



x

n-1

  yoki   

S=







1

0

N

I

m

i



x

i

 - ichki chizilgan to’g’ri to’rtburchaklar yuzasi. (i=0, n-1) 

S = 









1

0

N

I

i

i

x

M

 -tashqi chizilgan to’g’ri to’rtburchaklar yuzasi. (i=0, n-1) 



x

i 

 - larni ichida eng kattasini uzunligini  



 - deylik ya’ni  



=max(



x

i

)         

 

Ta’rif:  Agar 



0 da s va S lar umumiy  I limitga ega bo’lsa ya’ni,   

 

0

lim





s =

0

lim





S = I 

bo’lsa u holda bu limit izlanayapgan egri trapesiyaning yuzi deyiladi. 

 

Har  bir  [x

i

  ,  x

i+1

]  ga  tegishli  bo’lgan  ixtiyoriy 



i

  nuqtani  olib  bu  nuqtadagi  y=f(x)  ni 

qiymatini hisoblab quyidagi yig’indini tuzamiz. 



=







1

0

n

i

f(



i

)



x

i 

Bu hosil qilingan s ,S va  



 yig’indilar uchun quyidagi tengsizlik o’rinlidir. 

 

 

 

 

s



 



 S                     (1) 

Endi (1) tengsizlikni isbotlaylik. 

 

Bizda x

i 



 



i

 



 X

i+1  

bo’lgani uchun m

i 



 f(



i

) 



 M

i

 bo’ladi. Bu tengsizlikni barcha tomoni 



x

i

 ga ko’paytirsak m

i



x

i



f(



i

)



x

i



M

i



x

i 

bo’ladi. Bu tengsizlikdagi i ga 0 dan n-1 gacha qiymat 

berib quyidagi tengsizlikka ega bo’lamiz. 

 

 

m

0



x

0 



 f(



0

)



x

0 



 M

0



x

0 

 

 

m

1



x

1 



 f(



1

)



x

1 



 M

1



x

1 

                 

   

. . .          . . .           . . .

 

                     

m

n-1



x

n-1 



 f(



n-1

)



x

n-1 



 M

n-1



x

n-1        

 

yoki 

 



 m

i



x

i 



 



f(



i

)



x

i 



 



M

i



x

i     

 (i=0, n-1)  

     

yoki 

 

s 



 



 



  S        bo’ladi.       



0  da  s  va  S  lar  yoyga 



  ham  ana  shu  limitga  intiladi.    Agar 

izlanayapgan trapesiya yuzini R - desak, 

 

P = 

0

lim





 



      yoki 

 P=

0

lim











1

0

n

i

f(



i

)



x

i   

       (2) 

bo’ladi. 

 

Bundan  ko’rinadiki  berilgan  aABb  ko’rinishdagi  egri  trapesiyani  yuzasini  hisoblash  (2) 

ko’rinishdagi limitni hisoblashga olib keldi, bu limitni hisoblash esa aniq integral tushunchasiga 

olib keladi. 

 

Ta’rif: Agar 



0 da 



- yig’indi chekli I - limitga ega bo’lsa, bu limit [a, b] ni maydalash 

usuliga va har bir [x

i

, x

i+1

] kesmadagi 



i

 nuqtalarni tanlanishiga bog’liq bo’lmasa u holda bu limit 

y=f(x) ning [a,b] dagi aniq integrali deyiladi va  

 

I =

0

lim







 = 



a

b

f(x)dx 

kabi  belgilanadi. 

 

Bu erda f(x) integral ostidagi funksiya, f(x)dx esa integral ostidagi ifoda deyiladi. a - aniq 

integralni  quyi,  b  -  esa  yuqori  chegaralari  deyiladi.  Odatda 



  -  yig’indi  u=f(x)  ning  [a,  b]  dagi 

integral yig’indisi deyiladi,  yoki Riman yig’indisi deyiladi. 

s va S lar Darbu yig’indilari deyiladi. Darbuning quyi s va yug’ori S yig’indilari quyidagi muhim 

xossalarga ega. 

1. 

[a, b] ni ixtiyoriy maydalashga nisbatan s



S bo’ladi. 

2. 

[a, b] ni berilgan maydalashga nisbatan tuzilgan Darbuni quyi va yuqori yig’indilari aniq 

son qiymatlar bo’ladi. 

3.  [a, b] ni bo’linish nuqtalarining ustiga bo’linish nuqtalari qo’shilsa, Darbuning quyi yig’indisi 

s kichiklashmaydi, yuqori yig’indisi  S esa kattalashmaydi. 

4. 

 

0

lim





s = I

*

  va  

0

lim





S=I

*        

  bo’lsa  u holda  s  



  I

*   



  I

*   



 S tengsizligi o’rinli bo’ladi. 

Bizga ma’lumki ixtiyoriy maydalashga nisbatan  s 



 



 



 S edi, berilgan maydalashga nisbatan  s 

va  S  lar  o’zgarmasdir. 



  -  yig’indi  esa  o’zgaruvchidir,  chunki    [x

i

,  x

i+1

]  ga  tegishli  bo’lgan 



i

 

ixtiyoriy nuqtani tanlanishiga qarab 



 - yig’indi o’zgaradi, bu 



 - yig’indi qanchalik o’zgarmasin 

Darbuning quyi  yig’indisi   s dan kichik bo’la olmaydi  va  yuqori  yig’indisi   S  dan katta bo’la 

olmaydi. Shuning uchun s-ni 



 - integral yig’indini quyi chegarasi S ni esa 



 - integral yig’indini 

yuqori chegarasi deyiladi. 

 

 

Yuqoridagi ko’rilgan masala natijasidan quyidagi xulosa kelib chiqadi.   Biror   [a, b]  da 

ixtiyoriy   y=f(x)  uchun   

0

lim







 limit mavjud bo’lishi uchun yoki boshqacha qilib aytganda [a, b] 

dagi ixtiyoriy  y=f(x) uchun 

0

lim





=



a

b

f(x)dx aniq integral mavjud bo’lishi uchun  y=f(x) funksiyasi  

[a, b] kesmada chegaralangan bo’lishligi shart ekan. 

 

Agar  y=f(x)  funksiya  [a,b]  da  chegaralanmagan  bo’lsa,  uni  maydalash  natijasida  hosil 

qilingan  kesmalarni  kamida  bittasida  chegaralanmagan  bo’ladi,  natijada  f(x

i

)



x

i

  ifoda  ham 

chegaralanmagan  bo’ladi.  Bu  degan  so’z 











f x

x

i

i

i

n

(

)



0

1

    yig’indi  chegaralanmagan  bo’ladi. 

Bu  holda 



-  yig’indi  chekli  limitga  ega  bo’lmaydi.  Bu  degan  so’z  y=f(x)  funksiyaning  [a,b] 

oralig’ida aniq integrali mavjud bo’lmaydi deganidir.