1-bosqich 22. 02-guruh talabasi Rasulov Xurshidbekning “Analitik geometriya” fanidan tayyorlagan

2. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNING MARKAZI

Biz bu mavzuda tekislikda dekart koordinatalar sistemasida

(16)
tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni tekshirish bilan shug‘ullanamiz. Bu ishni koordinatalar sistemasini o‘zgartirish va (16) tenglamani soddalashtirish yordamida amalga oshiramiz. Birinchi navbatda parallel ko‘chirishda (16) tenglama koeffitsientlari qanday o‘zgarishini tekshiramiz. Buning uchun
(17)
formulalar yordamida almashtirishlarni bajaramiz. Bu holda koordinata o‘qlarining yo‘nalishlari o‘zgarmaydi,faqat koordinata boshi O'(x₀, y₀) nuqtaga ko‘chadi. Bu formulalardan x,y larni topib va (1) ga qo‘yib
(18)
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamada koeffitsientlar uchun
(19)
tengliklar o‘rinli bo‘lib, F(x, y) bilan (16) tenglamaning chap tomonidagi ifoda belgilangan.
Yuqoridagi (18) formulalardan ko‘rinib turibdiki, paralllel ko‘chirishda ikkinchi darajali hadlar oldidagi koefitsientlar o‘zgarmaydi. Agar O'(x₀,y₀) nuqtaning koordinatalari
(20)
sistemani qanoatlantirsa, (18) tenglamada birinchi darajali hadlar qatnashmaydi.
Bundan tashqari, agar nuqtaning koordinatalari (20) sistemani qanoatlantirsa, nuqta ikkinchi tartibli chiziq uchun simmetriya markazi bo‘ladi. Haqiqatan ham bu holda koordinatalar markazini nuqtaga ko‘chirsak, tenglamada birinchi darajali hadlar qatnashmaydi. SHuning uchun yangi koordinatalar sistemasida tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak nuqta chiziq uchun simmetriya markazidir. Va aksincha, agar birorta A nuqta chiziq uchun simmetriya markazi bo‘lsa uning koordinatalari (20) sistemani qanoatlantirishini ko‘rsatamiz. Koordinata boshini A nuqtaga joylashtirib, yangi y koordinatalar sistemasini kiritamiz. Agar M(x, y) nuqta chiziqqa tegishli bo‘lsa, F(x, y) = 0 tenglik o‘rinli bo‘ladi. Koordinata boshi simmetriya markazi bo‘lgani uchun F(-x,- y) = 0 tenglik ham o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklarni ikkinchisini birinchisidan ayirib a_l2 x + a₂₃ = 0 tenglikni hosil qilamiz. Agar a_l3, a₂₃ koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farqli bo‘lsa, bu tenglama to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi, ya’ni ikkinchi tartibli chiziqning hamma nuqtalari bir to‘g‘ri chiziqda yotadi. Agar ikkinchi tartibli chiziq bir to‘g‘ri chiziqda yotmasa, bu koeffisientlarning har ikkalasi ham nolga teng bo‘ladi. Bu esa A nuqtaning koordinatalari (5) sistemani qanoatlantirishini ko‘rsatadi. Bu faktlarni hisobga olsak quyidagi ta’rifning geometrik ma’nosi yaxshi tushynarli bo‘ladi.