1-bosqich 22. 02-guruh talabasi Rasulov Xurshidbekning “Analitik geometriya” fanidan tayyorlagan

Giperbola.
1. Ta’rifi, kanonik tenglamasi. Tekislikda har bir nuqtasidan fokuslar deb ataluvchi berilgan ikkita 1 2 F , F nuqtagacha bo’lgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati berilgan kesma uzunligiga teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami giperbola deb ataladi. Giperbola ta’rifidagi berilgan kesma uzunligini 2a(a  0) bilan, fokuslari orasidagi masofani 2c(c  0) bilan belgilaymiz. 30 Albatta 2a  2c . 10-chizma Giperboladagi M nuqtaning F1, F2 gacha masofalari uning fokal radiuslari deyiladi va r1, r2 bilan belgilanadi, ya’ni r pF ,M , r pF ,M  1  1 2  2 . Giperbolaning ta’rifiga binoan r1  r2  2a (1.2.20) (1.2.20) tenglik faqat giperbolada yotgan M nuqtalar uchungina o’rinli. Bu tenglikni koordinatalarda yozamiz. Buning uchun dekart reperini ellips bilan ish ko’rganimizdek qilib tanlaymiz. (10-chizma). Fokuslar orasidagi masofa pF ,F  2c 1 2  bo’lgani uchun olingan reperga nisbatan  ,0,  ,0 1 2 F c F  c . Shu reperga nisbatan giperboladagi ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalarini x, y bilan belgilaydi


Ellips tenglamasi ustida olib borilgan muhokamalarni takrorlab giperbolaning koordinatalar boshi, koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligi aniqlanadi. Giperbola Ox o’qni  ,0 A1 a va  ,0 A2  a nuqtalarda kesadi. (1.2.25) tenglama bilan aniqlangan giperbola Oy o’q bilan kesishmaydi. Haqiqatan (1.2.25) tenglamaga x  0 ni qo’ysak, 1 2 2   b y . Ravshanki, bu tenglik haqiqiy sonlar sohasida o’rinli bo’lmaydi. 1 2 A , A nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi. Shunday qilib, giperbolaning ikkita uchi bor ekan. Giperbolaning uchlari orasidagi masofa uning haqiqiy o’qi deyiladi. Ordinatalar o’qida 0 dan b masofada turuvchi B 0,b 1 va B 0, b 2 nuqtalarni belgilaymiz. B1B2  2b ni giperbolaning mavhum o’qi deyiladi. Agar M x, y nuqta giperbolada yotsa, uning uchun (1.2.25) tenglamadan: x  a . Demak, x  a to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan  a  x  a polosada giperbolaning nuqtalari yo’q . (1.2.25) tenglamani y ordinataga nisbatan yechamiz: 2 2 x a a b y    . (1.2.34) Bu tenglamadan ko’rinadiki, x miqdor a dan   gacha ortganda va –a dan  gacha kamayganda y miqdor    y   oraliqdagi qiymatlarni qabul qiladi. Demak, giperbola ikki qismdan iborat bo’lib, ular giperbolaning tarmoqlari deyiladi. Giperbolaning bir (o’ng) tarmog’i x  a yarim tekislikda, ikkinchi (chap) tarmog’i x  a yarim tekislikda joylashgan. 35 Eslatma. Agar giperbolaning fokuslari ordinatalar o’qida joylashgan bo’lsa, uning kanonik tenglamasi 1 2 2 2 2   a x b y ko’rinishda bo’ladi. 3. Giperbola asimptotalari. Giperbolaning shaklini yana ham aniqroq tasavvur qilish maqsadida tekis (yassi) chiziqning asimptotasi tushunchasini kiritamiz. Ta’rif. Agar M  G nuqta shu G chiziq bo’ylab harakatlanib borganida uning u to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasi nolga intilsa, to’g’ri chiziq G chiziqning asimptotasi deyiladi. Teorema. x a b x y a b y  ,   to’g’ri chiziqlar 1 2 2 2 2   b y a x giperbolaning asimptotalaridir. Isbot. Giperbola koordinatalar o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun giperbolaning birinchi chorakdagi qisminigina olish yetarli. SHu maqsadda x  a da giperbolaning birinchi chorakdagi qismini aniqlaydigan Parabola 1. Ta’rifi. Kanonik tenglamasi. Tekislikda har bir nuqtasidan berilgan nuqtagacha va berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan mpsofalari o’zaro teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami parabola deb ataladi. Berilgan nuqta berilgan to’g’ri chiziqda yotmaydi deb olinadi. Berilgan nuqta parabolaning fokusi, berilgan to’g’ri chiziq esa parabolaning direktrisasi deyiladi. Parabolaning fokusi va direktrisasini mos ravishda F va d bilan, fokusdan direktrisagacha bo’lgan masofani p bilan belgilaymiz. Ta’rifdan foydalanib, parabolatenglamasini keltirib chiqaraylik: buning uchun dekart reperini quyidagicha tanlaymiz: abstsissalar o’qi deb F nuqtadan o’tuvchi va d to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni qabul qilamiz, uning musbat yo’nalishi ko’rsatilgandek bo’lib, abstsissalar o’qining d to’g’ri chiziq bilan kesishgan nuqtasi N bo’lsin. Ordinatalar o’qini FN kesmaning o’rtasidan o’tkazamiz. Tanlangan reperda direktrisa tenglamasi F p x , 2   fokus esa , 2 p  0 koordinatalarga ega bo’ladi. Endi o’z navbatida (1.2.42) tenglamani (1.2.43) tenglamaning natijasi sifatida keltirib chiqarish mumkinligini ko’rsatamiz. Buning uchun koordinatalari (1.2.43) tenglamani qanoatlantiradigan har bir nuqta parabolaga tegishli ekanini ko’rsatish kifoya.   1 1 1 M x , y nuqtaning koordinatalari (1.2.43) tenglamani 41 qanoatlantirsin, ya’ni 1 2 y1  2 px sonli tenglik bajarilsin. SHu bilan birga 2 p x   tenglamaga ega bo’lgan d to’g’ri chiziq va       ,0 2 p F nuqta berilgan bo’lsin. M1 nuqtaning F va d dan bir xil masofada turishini ko’rsatishimiz kerak. Parabolaning tenglamasini hosil qilish uchun dekart reperini maxsus tanladik, ya’ni Ox o’qni fokus orqali direktrisaga perpendikulyar qilib o’tkazdik. Agar dekart reperini boshqacha usulda tanlasak, albatta, parabolaning tenglamasi ham (1.2.43) ko’rinishdan farqli bo’ladi. Masalan, agar parabola koordinatalar sistemasiga nisbatan 14-chizmada ko’rsatilgandek joylashgan bo’lsa, uning tenglamasi x 2 py 2  ko’rinishda bo’ladi. 13 va 14-chizmalarda tasvirlangan parabolaning tenglamalari mos ravishda y 2 px 2   , x 2 py 2   ko’rinishda bo’ladi.

Tekislikda biror affin (yoki dekart) reperda koordinatalari 2 2 1 0 2 2 0 0 0 0 2 1 2 2 2 2 a1 1x  a xy  a y  a x  a y  a  (1.2.44) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deb atalishi ma’lum. Bunda 1 1 1 2 1 0 2 0 0 0 a ,a ,a ,a ,a koeffitsentlar haqiqiy sonlar bo’lib, 11 12 22 a ,a ,a lardan kamida bittasi noldan farqlidir (bu shartni bundan buyon 0 2 22 2 12 2 a11  a  a  ko’rinishda yozamiz). Biz uchta chiziq: ellips, giperbola va parabolani o’rgandik, bu chiziqlar ham ikkinchi tartibli chiziqlardir, chunki (1.2.44) tenglamada y x 0 d F y x0 dF 44 , 1 1 , 1 1 1  2 2 2  2 a0 0   b a a a bo’lib, qolgan barcha koeffitsentlar nolь bo’lsa, u ellipsning kanonik tenglamasi, shu shartlarda yana 22 2 1 b a   bo’lsa, (1.2.44) tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi, a10  p; a22 1 bo’lib, qolgan koeffitsentlar nolь bo’lsa, (1.2.44) tenglama parabolaning kanonik tenglamasidir. Quyidagi tabiiy savol tug’iladi: tekislikda ko’rilgan bu chiziqlardan boshqa yana ikkinchi tartibli chiziqlar bormi? Bu savolga quyida javob berishga harakat qilamiz. Avvalo shuni ta’kidlaymiz: bizga ma’lumki, chiziqning tartibi koordinatalar sistemasining olinishiga bog’liq emas. Bundan foydalanib, koordinatalar sistemasini tegishlicha tanlash hisobiga barcha ikkinchi tartibli chiziqlar to’la geometrik tavsiflab chiqamiz. Ikkinchi tartibli  chiziq  i j     0, , dekart reperida (1.2.44) umumiy tenglamasi bilan ifodalangan bo’lsin. SHunday reperni tanlaymizki, unga nisbatan  chiziqning (1.2.44) tenglamasi mumkin qadar sodda – “kanonik” ko’rinishga ega bo’lsin, ya’ni 1) o’zgaruvchi koordinatalar ko’paytmasi qatnashgan had bo’lmasin; 2) birinchi darajali hadlar soni eng oz bo’lsin (iloji bo’lsa, ular butunlay qatnashmasin); 3) mumkin bo’lsa, ozod had qatnashmasin. Agar (1.2.44) tenglamada a12  0 bo’lsa, soddalashtirishni quyidagicha bajaramiz.  reperning o’qlarini 0 nuqta atrofida ixtiyoriy  burchakka burib, yangi  i j     0, , dekart reperini hosil qilamiz.  reperdan  reperga o’tish formulalari


Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi
Tekislikda biror affin (yoki dekart) reperda koordinatalari
( 57.1)
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deb atalishi ma’lum¹ (20–§). Bunda a₁₁, a₁₂, a₂₂, a₁₀, a₂₀, a₀₀ koyeffitsiyentlar haqiqiy sonlar bo’lib, a₁₁, a₁₂, a₂₂ lardan kamida bittasi noldan farqlidir (bu shartni bundan buyon ko’rinishida yozamiz).
Biz 40 – 55 – § larda uchta chiziq ellips, giperbola va parabolani o’rgandik, bu chiziqlar ham ikkinchi tartibli chiziqlardir, chunki (57.1) tenglamada bo’lib, qolgan barcha koeffitsiyentlar nol bo’lsa, u ellipsning kanonik tenglamasi, shu shartlarda yana bo’lsa, (57.1) tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi, a₁₀=r; a₂₂=1 bo’lib, qolgan koeffitsiyentlar nol bo’lsa, (57.1) tenglama parabolaning kanonik tenglamasidir.
Quydagi tabiiy savol tug’iladi: tekislikda ko’rilgan bu chiziqlardan boshqa yana ikkinchi tartibli chiziqlar bormi? Bu savolga quyida javob berishga harakat qilamiz. Avvalo shuni ta’kidlaymiz: 20–§ dan bizga ma’lumki, chiziqning tartibi koordinatalar sistemasining olinishiga bog’liq emas. Bundan foydalanib, koordinatalar sistemasini tegishlicha tanlash hisobiga barcha ikkinchi tartibli chiziqlarni to’la geometrik tavsiflab chiqamiz. Ikkinchi tartibli g chiziq Б = dekart reperida (57.1) umumiy tenglamasi bilan ifodalangan bo’lsin. Shunday reperni tanlaymizki, unga nisbatan g chiziqning (57.1) tenglamasi mumkin qadar sodda – «kanonik» ko’rinishga ega bo’lsin, ya’ni

1. 
   o’zgaruvchi koordinatalar ko’paytmasi qatnashgan had bo’lmasin;
   
2. 
   birinchi darajali hadlar soni eng oz bo’lsin (iloji bo’lsa, ular butunlay qatnashmasin);
   
3. 
   mumkin bo’lsa, ozod had qatnashmasin.
   

Agar (57.1) tenglamada a₁₂≠0 bo’lsa, soddalashtirishni quydagicha bajaramiz. B reperning o’qlarini 0 nuqta atrofida ixtiyoriy  burchakka burib, yangi Б`= Dekart reperini hosil qilamiz. Б reperdan Б`reperga o’tish formulalari (15–§)
(57.2)
dan x,y ni (57.1) ga qo’ysak va o’xshash hadlarini ixchamlasak, g chiziqni (57.1) tenglamasi B`reperda ushbu ko’rinishni oladi:
(57.3)
бунда: