1-bosqich 22. 02-guruh talabasi Rasulov Xurshidbekning “Analitik geometriya” fanidan tayyorlagan

1.IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNING KANONIK TENGLAMALARI
Biz bu mavzuda ikkinchi darajali tenglamalar bilan aniqlanadigan chiziqlarga doir masalalarni qaraymiz.
Birinchi masala: tekislikda ixtiyoriy nuqtasidan berilgan ikkita fokuslari deb ataluvchi F₁ va F₂ nuqtalargacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi o‘zgarmas 2a miqdorga teng bo‘lgan М nuqtalarning geometrik o‘rni topilsin. Bu geometrik o‘rin hosil qiluvchi chiziq ellips deb ataladi. Hozir biz qulay koordinatalar sistemasida uning tenglamasini topamiz va uni ellipsning kanonik tenglamasi deb ataymiz.
Koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz: koordinatalar boshi sifatida F₁ F₂ kesmaning o‘rtasi O nuqtani, Ox o‘qi sifatida F₁ F₂ to‘g‘ri chiziqni, Oy o‘qi sifatida esa O nuqtadan Ox o‘qiga perpendikulyar ravishda o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni tanlaymiz (1-chizma) U holda agar I(F₁F₂) = 2c bo‘lsa, ta’rifga ko‘ra ellipsga tegishli М nuqtalar uchun o‘rinli bo‘lgan ushbu MF_X + MF₂ = 2a munosabat
(1)
ko‘rinishga ega bo‘ladi. Bu tenglikning chap tomonidagi qo‘shiluvchilardan birini o‘ng tomonga o‘tkazamiz va tenglikning ikkala tomonini ikki marta kvadratga oshirsak, (1) tenglik
x²(a² - с²) + a²у² = a²(a² - с²) (2)
ko‘rinishni oladi. Va nihoyat biz belgilashni kiritsak, (2) tenglik
(3)
ko‘rinishni oladi va (3) tenglama ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi. Kanonik (3) tenglamani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy N(x₀, y₀) nuqta ellipsda yotadi. Haqiqatan ham, agar NF + NF₂ = 2a' bo‘lsa, yuqoridagidek ushbu

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni (3) bilan taqqoslab tenglikni olamiz. SHuningdek bo‘lganligidan bo‘ladi.
Mos ravishda biz a' = a ni hosil qilamiz.
а, b sonlar ellipsning yarim о‘qlari deb ataladi. (3) tenglikdan ko‘rish mumkinki, koordinata o‘qlari ellipsning simmetriya o‘qlari bo‘ladi (nima uchun?), koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari esa ellipsning uchlari, koordinata
boshi ellipsning simmetriya markazi bo‘ladi.

1-chizma

Ellipsning birinchi chorakda joylashgan qismi oshkor ko‘rinishdagi
funksiyaning grafigidan iborat bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki oraliqda yning qiymati b dan 0 gacha kamayadi. YUqoridagilarni inobatga olsak, ellipsning ko‘rinishi 1-chizmada tasvirlangan kabi bo‘ladi. Biz oldingi mavzuda o‘rgangan aylana ellipsning xususiy holi bo‘lib, ikkala fokuslari ellips simmetriya markazi bilan ustma-ust tushgan holga to‘g‘ri keladi. Xuddi yuqoridagiga o‘xshash giperbolani ham tekislikda munosabat o‘rinli bo‘ladigan М nuqtalarning geometrik o‘rni sifatida aniqlashimiz mumkin. Belgilashlar ham yuqoridagidek bo‘lib, F₁ va F₂
nuqtalar fokuslari bo‘ladi. Kanonik koordinatalar sistemasi xuddi ellipsdagidek kiritilib, giperbolaning kanonik tenglamasi
(4)
ko‘rinishida bo‘lishini (bu erda va bu tenglamani qanoatlantiruvchi
ixtiyoriy nuqta giperbolada yotishini hosil qilamiz.
Koordinata boshi giperbolaning simmetriya markazi, koordinata o‘qlari giperbolaning simmetriya o‘qlari bo‘ladi, koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari esa giperbolaning uchlari bo‘ladi (Oy o‘qdagi uchlari mavhum nuqtalar bo‘ladi). Giperbolaning birinchi chorakda joylashgan qismi oshkor ko‘rinishdagi

2-chizma

funksiyaning grafigidan iborat bo‘ladi. YUqoridagilarni inobatga olsak, giperbolaning ko‘rinishi 2-chizmada tasvirlangan kabi bo‘ladi. Giperbola ikkita shoxdan iborat bo‘ladi. tenglamalar bilan aniqlangan to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari bo‘ladi: giperbolaga tegishli nuqtalar da asimptotalarga cheksiz yaqinlashadi

.
Agar a = b bo‘lsa, chiziq teng tomonli giperbola deyiladi va uning kanonik tenglamasi x² - у² = a² ko‘rinishda bo‘ladi. Agar koordinata o‘qlari orasidagi burchak bissektrisalarini koordinata o‘qlari sifatida olsak, u holda teng tomonli giperbola tenglamasi xy = к ko‘rinishini oladi (nima uchun?), bu erda к o‘zgarmas.
Endi biz ellips va giperbolaning ikkinchi ta’rifini hamda yangi egri chiziqparabolani aniqlaymiz.
Tekislikda berilgan tayin F nuqta - fokus, F nuqtadan o‘tmaydigan berilgan /
-
3-chizma
to‘g‘ri chiziq direktrisa deb ataladi.
Biz tekislikdagi (5)
munosabatni qanoatlantiruvchi M nuqtalarning geometrik o‘rnini topamiz. Bu nuqtalar o‘rni egri chiziq bo‘ladi, o‘zgarmas son e esa ekssentrisitet deb ataladi (3-chizma).
Buning uchun ortogonal koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz: F nuqtadan o‘tuvchi va l ga perpendikulyar to‘g‘ri chiziqni Ox o‘qi, F nuqtaning koordinatalarini (c,0), l to‘g‘ri chiziqning tenglamasini x = d deb
faraz qilamiz (3-chizma) (keyingi hisoblashlar shuni ko‘rsatadiki bunday faraz noqulaylik tug‘diradi, shuning uchun d = 0 deb olamiz).
U holda (5) munosabat quyidagi ko‘rinishni oladi:
(6)
bu tenglikning ikkala tomonini kaadratga oshirib, unga ekvivalent bo‘lgan x²(1 - e²) + y² + 2x(de² - c) + (c² - e²d²) = 0 (7)
tenglikni hosil qilamiz.
Agar bo‘lsa, Oy o‘qini shunday tanlash mumkinki, de²-c=0 bo‘ladi, ya’ni yoki H,F,O nuqtalarning oddiy nisbati
. U holda (7) tenglik ushbu ko‘rinishni oladi:
c² - e²d² = d²e²(e² -1) va (7) tenglik ushbu tenglikka ekvivalent bo‘ladi:
(8)
Mos ravishda, agar bo‘lsa, (8) tenglik yarim o‘qlari quyidagicha bo‘lgan ellipsni ifodalaydi:
(9)
Agar bo‘lsa, (8) tenglik yarim o‘qlari quyidagicha bo‘lgan
giperbolani ifodalaydi:
(10)
Bundan tashqari teskari natijalar ham o‘rinli, ya’ni har qanday ellips
(giperbola) uchun (9) ((10)) tenglikni qo‘llasak, ni hosil
qilamiz. Bu erda c soni chiziq fokusining abssissasi, x = d to‘g‘ri chiziq l direktrisa vazifasini bajaradi. Ellips (giperbola) esa (5) munosabatni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik to‘plamidir. Ellips (giperbola) koordinatalar o‘qlariga nisbatan simmetrik bo‘lganligi uchun ikkinchi direktrisa x = -d va ikkinchi fokus F(-c,0) ga ham ega bo‘ladi (5) munosabatni qanoatlantiradi (1 va 2-chizmalar).
Endi (7) tenglikka qaytamiz va e = 1 hol uchun nuqtalarning geometrik o‘rnini qaraymiz. Bu holda nuqtalarning geometrik o‘rni parabola deyiladi. Boshqacha so‘z bilan aytganda parabola - fokus deb ataluvchi qo‘zg‘almas nuqtadan va direktrisa deb ataluvchi tayin to‘g‘ri chiziqdan bir xil masofada yotuvchi nuqtalarning geometrik o‘rnidir. Oy o‘qi har qanday tanlanganda ham parabola tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:
y² + 2x(d - c) + (c² - d²) = 0 (11)
Bu esa parabola uchun kanonik koordinatalar sistemasini qulay tanlash imkonini beradi: koordinatalar boshi sifatida
HF kesmaning o‘rtasini olamiz (4- chizma). Bu holda d = -c bo‘ladi.
Yuqoridagi koordinatalar sistemasiga nisbatan (11) tenglama parabolaning kanonik tenglamasi deb ataluvchi ushbu ko‘rinishni oladi:
y²-2px = 0 (12), bu erda p = 2c bo‘lib, u parabolaning parametri deyiladi.
Ravshanki, parabola koordinatalar boshidan o‘tadi.
Koordinatalar boshi parabolaning uchi deyiladi, Ox o‘qi parabolaning simmetriya

4-chizma
o‘qi bo‘ladi. Parabolaning ko‘rinishi 4-chizmadagi kabi bo‘lishini ko‘rish qiyin emas(elementar matematikadan kvadrat funksiya grafigi haqidagi mulohazalarni eslang).
Konikalar (ikkinchi tartibli chiziqlar: ellips, giperbola va parabola)ning sodda parametrik tenglamalari mavjudligini ta’kidlab o‘tamiz. (3) tenglamadan ko‘rish mumkinki, ellipsga tegish bo‘lgan nuqtalarni ushbu
x = a cos t, y = b sin t (13)
formulalardan ham aniqlash mumkin. (4) tenglamadan esa giperbola
x = ach t, y = bsht (14)
Ko‘rinishdagi parametrik tenglamalarga ega ekanligini hosil qilamiz. Parabola uchun esa (12) tenglama o‘rniga parametrik tenglamalar sifatida quyidagi tenglamalarni yozishimiz mumkin:
(15)