1. Chiziqli differensial tenglamalar

20-ma’ruza. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar
Reja:

1. Chiziqli differensial tenglamalar

1. Chiziqli differensial tenglamalar

 

Agar o'zgarmas nolga teng bo'lmasa va quyidagi ko'rinishga ega bo’lsa

u holda yechim ikki qismdan iborat:

(i) bir jinsli bo'lgan qism yechimi

(ii) xususiy yechim .

Bir jinsli bo'lmagan yechim (CF) yuqorida ko'rsatilgan o'zgarmas koeffitsientli differensial tenglama yechimi bilan bir xil, ya'ni

Xususiy yechim (PS) to'liq differensial tenglamaning ixtiyoriy aniq yechimi hisoblanadi. Odatda u xususiy integrali deb ham nomlanadi. Ko'pkina iqtisodiy masalalarda noma'lum funksiyaning so'nggi muvozanat qiymatini aniq yechimda foydalanishingiz mumkin.

Xususiy yechim (PS) to'liq differensial tenglamaning ixtiyoriy aniq yechimi hisoblanadi. Odatda u xususiy integrali deb ham nomlanadi. Ko'pkina iqtisodiy masalalarda noma'lum funksiyaning so'nggi muvozanat qiymatini aniq yechimda foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, umumiy yechim (GS) ikki yechimdan iborat, ya'ni

GS = CF + PS

Bu quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

t biror bir qiymatida biror bir qiymatida biror bir qiymatida y aniqlangan bo'lsa, unda ixtiyoriy o'zgarmas A qiymatini hisoblash mumkin. Aniqlangan A qiymat uchun hosil bo'lgan yechim umumiy yechimning aniqlangan yechimi deyiladi(DS).

t biror bir qiymatida biror bir qiymatida biror bir qiymatida y aniqlangan bo'lsa, unda ixtiyoriy o'zgarmas A qiymatini hisoblash mumkin. Aniqlangan A qiymat uchun hosil bo'lgan yechim umumiy yechimning aniqlangan yechimi deyiladi(DS).

Iqtisodiy modelda bu aniqlangan yechimni quyidagicha yozib olish mumkin

y = {muvozanatdan og'ishni ko'rsatuvchi funksiya} + {muvozanat qiymati}

Quyida berilgan misollar orqali bu usulni qanday qo'llanilganligi ko'rsatilgan.

Tа’rif. Birinchi tartibli chiziqli tеnglаmа dеb

Tа’rif. Birinchi tartibli chiziqli tеnglаmа dеb

ko’rinishdаgi tеnglаmаgа аytilаdi, bu yеrdа

uzluksiz funksiyalаr.

Bu tеnglаmаni «o’zgаrmаsni vаriаtsiyalаsh usuli» bilаn yеchаmiz.

Dаstlаb, bir jinsli tеnglаmаning umumiy yechimi tоpilаdi

2. To’la differensial tenglamalar

2. To’la differensial tenglamalar

 

Ta’rif.Agar (1) tenglamada M(x,y) va N(x,y) uzluksiz

differensiallanuvchi funksiyalar uchun (2) ) munosabat o’rinli bo’lsa,u holda (1) tenglamaga to’la differensialli differensial tenglama deyiladi.

• shatning bajarilishi (1) tenglamaning o’ng tomoni biror u(x,y) funksiyaning to’la differensiali ekanligini anglatadi.U holda (1) tenglama du(x,y)=0 yoki u(x,y)=C umumiy integralga ega bo’ladi.Bunda

(1) tenglamaning umumiy yechimi

3. Integrallovchi ko’paytuvchi

3. Integrallovchi ko’paytuvchi

(1) tenglamadagi M(x,y) va N(x,y) uzluksiz

differensiallanuvchi funksiyalar uchun (2) munosabat o’rinli bo’lmasligi mumkin.U holda (1) tenglamaning chap qismi biror funksiyaning to’la differensiali bo’lmaydi.Bunday hollarda shunday funksiya topish mumkinki,tenglamaning barcha hadlarini shu funksiyaga ko’paytirilganda tenglamaning chap qismi birob funksiyaning to’la differensiali bo’ladi.Bu usul bilan topilgan tenglamaning umumiy yechimi berilgan tenglamaning umumiy yechimi bilan bir xil bo’ladi. Odatda,

funksiyaga (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi deyiladi.

funksiyaga (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’lsin. Unda tenglamada

funksiyaga (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’lsin. Unda tenglamada

shart o’rinli bo’ladi.

Ya’ni yoki

yoki Oxirgi tenglamani umumiy holda yechish qiyin masala.Ba’zan,xususiy hollarda bu masalani sodda yechish mumkin.