1 Chiziqli tenglamalar sistemalari h

Endi yuqoridagi Gauss usulida bajarilgan amallarning formulalarini ko‘rsatish uchun quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topish tartibini ko‘ramiz:

(12)

Aytaylik, berilgan sistemada (etakchi element) bo‘lsin, aks holda tenglamalarning o‘rinlarini almashtirib, x₁ oldidagi koeffitsienti noldan farqli bo‘lgan tenglamani birinchi o‘ringa ko‘chiramiz.

Sistemaning birinchi tenglamasining barcha koeffitsientlarini a₁₁ ga bo‘lib,

bundan

(13)

birinchi yetakchi tenglamani hosil qilamiz, bu yerda.

Bu topilgan (13) tenglamadan foydalanib, yuqoridagi sistemaning qolgan tenglamalaridagi x₁ qatnashgan hadni yo‘qotish mumkin. Buning uchun (13) tenglamani ketma-ket a₂₁, a₃₁ va a₄₁ larga ko‘paytirib, mos ravishda sistemaning ikkinchi, uchinchi va to‘rtinchi tenglamalaridan ayiramiz.

Natijada quyidagi uchta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

(14)

bu sistemadagi koeffitsiyentlar

, ( i=2,3,4; j=2,3,4,5) (15)

formula yordamida hisoblanadi. Endi (14) sistemaning birinchi tenglamasini yetakchi element a⁽¹⁾₂₂ ≠0 ga bo‘lib,

(16)

ikkinchi etakchi tenglamani hosil qilamiz, bu yerda

(16) tenglama yordamida (14) sistemaning keyingi tenglamalaridan x₂ ni, yuqoridagidek, qoida asosida, yo‘qotamiz va quyidagi tenglamalar sistemasini topamiz:

(17)

bu yerda

(18)

(17) sistemaning birinchi tenglamasini etakchi element ga bo‘lib,

(19)

uchinchi etakchi tenglamani hosil qilamiz, bu yerda

Bu (19) tenglama yordamida (17) sistemaning ikkinchi tenglamasidan x₃ ni yo‘qotamiz. Natijada

,

tenglamani hosil qilamiz, bu yerda

(20)

Shunday qilib, biz qarayotgan sistemani unga ekvivalent bo‘lgan quyidagi uchburchakli chiziqli tenglamalar sistemasiga olib keldik.

(21)

Bu (21) sistemadan foydalanib, ketma –ket quyidagilarni topamiz:

(22)

Demak, yuqorida keltirilgan Gauss usulida sistemaning yechimini topish 2 qismdan iborat bo‘lar ekan.

Olg‘a borish – (12) sistemani uchburchakli (21) sistemaga keltirish

Ortga qaytish- (22) formulalar yordamida noma’lumlarni topish.

Gauss usuli bilan n noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish uchun bajariladigan arifmetik amallarning miqdori quyidagidan iborat:

(n³+3n²-n)/3 ta ko‘paytirish va bo‘lish,

(2n³+3n²-5n)/6 ta qo‘shish.

Xususan:

n=2 da (2³+3*2²-2)/3=6 ko‘paytirish va bo‘lish

(2*2³+3*2²-5*2)/6=3 qo‘shish,

n=3 da (3³+3*3²-3)/3=17 ko‘paytirish va bo‘lish

(2*3³+3*3²-5*3)/6=11 qo‘shish.