1. Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida tushuncha. Sistema-ning yechimi

2. Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligi va yagonaligi haqida teoremalar.
(1) umumiy ko`rinishdagi chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikdalik va aniqlik masalasini quyidagi teorema ochib beradi.
Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo`lishi uchun uning asosiy matritsasi rangining kengaytirilgan matritsasi rangiga teng bo`lishi zarur va yetarli.
Agar asosiy A matritsa rangi kengaytirilgan (A | B) matritsa rangiga teng bo`lib, teng ranglar o`z navbatida noma`lumlar soni m ga teng bo`lsa, ya`ni rang(A) = rang(A | B) = m, sistema aniq bo`ladi.
Agar A matritsa rangi kengaytirilgan (A | B) matritsa rangiga teng bo`lib, teng ranglar noma`lumlar soni m dan kichik bo`lsa, ya`ni rang(A) = rang(A | B) < m, sistema aniqmas bo`ladi.
Agarda asosiy matritsa rangi kengaytirilgan matritsa rangidan kichik bo`lsa, sistema birgalikda bo`lmaydi.
n ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi normal ko`rinishda berilgan bo`lsin:

(2)
(2) sistema uchun uning aniqlik sharti muhimdir.

Kramer teoremasi. n ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi aniq bo`lishi uchun uning asosiy matritsasi determinantining noldan farqli bo`lishi zarur va yetarli. Yagona yechim ; ; …; ; …; tartiblangan tizimdan iborat bo`ladi, bu yerda A_j asosiy A matritsadan j-ustunning ozod hadlar ustuni bilan almashtirilgani bilan farq qiluvchi matritsa. Agarda detA = 0 bo`lsa, (2) sistema yoki aniqmas yoki birgalikda bo`lmaydi.
Masala. Quyida berilgan chiziqli tenglamalar sistemalarini birga-likda va aniqligini tekshiring. Birgalikdagi sistemalarni Kramer formulalari yordamida yeching:
1) 2)

3)
Berilgan sistemalar uch noma`lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi bo`lgani uchun, dastlab, Kramer teoremasini tatbiq etamiz:

1) bo`lgani uchun - sistema aniq.

Yagona yechim Kramer formulalari yordamida topiladi:

, ,
. Sistema yechimi: ( -3; 2; 1).

2) . Kramer teoremasiga ko`ra, sistema yoki aniqmas yoki birgalikdamas. Kroneker-Kapelli teoremasiga murojaat etib, sistema kengaytirilgan matritsasi rangini Gauss algoritmi yorda-mida aniqlaymiz:
  .
rang(A) = 2 = 2 = rang(A | B) < 3 (noma`lumlar soni) shartlar bajarilgani uchun sistema aniqmas va quyidagi sistemaga teng kuchli:

Oxirgi sistemani Kramer formulasi yordamida yechish mumkin:

Sistema yechimi:

3) detA = 0 bo`lgani uchun sistema yoki aniqmas yoki birgalikdamas.

Sistema kengaytirilgan matritsasi rangini nollar yig`ib, hisoblaymiz:

 
rang(A) = 2 < 3 = rang(A | B) munosabat o`rinli bo`lgani uchun sistema birgalikdamas.