1 eoremaga ko’ra bu kelib chiqadi

Signallarni qayta ishlash dasturida butun nuqtali simmetrik (WPS) filterlar yarim nuqtali simmetrik (HPS) filterlar kabi keng tarqalgan hisoblanadi. Biz Biortogonal Coifilet (BC) chelovlarini ko’rganmiz: Ularning filterbanklari Coifman mezoni sababli HPS bo’la olmaydi. Biz umumlashgan Coifman mezonidan foydalanamiz va cheklovlarni yengish uchun Coifman mezonining qo’shimcha erkinlik darajasidan foydalanamiz. Biz ½ bo’lish shartlari bo’yicha markazlashtirilgan masshtablash funksiyasi HPS filterbank lar va simmetrik waweletlar. Tasvir malumotlarini siqish uchun olingan filterbanklarning ish faoliyatini baholashimiz kerak
Tarixiy jihatdan Koifman mezoni birinchi marta ortogonal to'lqinli tizimlarni loyihalash uchun ishlatilgan . Biz uni biothogonal to'lqin tizimlarining yangi sinfini loyihalash uchun kengaytiramiz, biz ularni biortogonal Coiflet tizimlari deb ataymiz. Biz ushbu yangi to'lqin tizimlarining xususiyatlarini o'rganamiz va ularning bioortogonal to'lqin tizimlarining eng muvaffaqiyatli ilovalaridan biri bo'lgan tasvir ma'lumotlarini siqishda ishlatishni boshlimiz.

1- Ta’rif

Ta’rif: 2 A biortoganal to’lqin tizimi biortoganal coiflet tartib tizimidir. Agar tarifdan 1-teoremamiz kelib chiqadi

1 - eoremaga ko’ra bu kelib chiqadi

1.2 Dizayn
1-teorema va tarifga muofiq, 1.2 ekvivalentdir.



(1.3) ga teng.



(1.4) ga teng



Yuqoridagi tenglamalarga qo'shimcha ravishda, h va mukammal qayta hisoblashni qondirish kerak. berilgan qurilish shart.

1.2.1 Sintez filtrlarini qurish

Biz (1.8) ga javob beradigan barcha filtrlar orasida eng qisqa uzunlikka ega bo'lishni talab qilamiz. (1.8) da h bo'yicha 24 ta mustaqil shart mavjud bo'lganligi sababli, h ning hajmi [1- L, L bo'lishini aniqlaymiz. Filtr koeffitsientlari bo'yicha bu chiziqli shartlar tabiiy ravishda ikki qismga bo'linishini unutmang: juft indeksli shartlar. toq indeksli koeffitsientlar bo'yicha koeffitsientlar va shartlar. Birinchi to'plami shartlarini quyidagicha ifodalash mumkin.

Yechim aynan shunday ekanligini tushunish oson.

Ikkkinchi qismi quyidagicha yozilishi mumkin.

Ushbu bir vaqtda chiziqli tenglamalarning koeffitsient matritsasi bo'lmaganligi sababli yagona Vandermonde matritsasi, yagona yechim mavjud. Yopiq shakl toq indeksli nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar uchun ifodalar agar

• 
  Agar L=1, keyin h[2m-1]= ϐ[m]/2 bilan beriladi, bu Haar filtirini beradi
  
• 
  Agar L=K, K € Z , keyin –K<= m <= K-1,
  

• 
  Agar L=K+1, K € Z , keyin –K<= m <= K,
  

(4.11) dan h ning haqiqiy uzunligi L>1 uchun 2L-1 ekanligini tushunish oson. Xususan, indekslar 1- L dan L-1 gacha, agar L juft bo'lsa va 2- L dan L L toq
bo'lsa.
(4.11) ga javob beradigan filtrlar odatda interpolyatsiya qiluvchi filtrlar yoki d deb ataladi trous algoritmida uzluksiz to'lqinli konvertatsiya namunalarini tez hisoblash uchun ishlatiladigan trous filtrlari , agar L=2K uchun K =1,2,3… keyin I tartibdagi Lagrange yarim polosali past o'tkazuvchan filtriga to'g'ri keladi. Uning chastotali javobi tomonidan berilgan
Bu yerda 2K pastki belgisi biortogonalCoiffet tizimining tartibini bildiradi va

Agar L= 2K UCHUN K=1,2,3… (4.11) dan foydalaniladi, (4.14-4.15)
dan biz shuni olamiz.

4.2.2 Tahlil filtrlarini qurish

Endi h loyihalash uchun (1.24) va (4.6) dan foydalanamiz. h va I filtrlarining uzunliklari mos ravishda N va N deb faraz qilaylik. Demak, N=2L-1 va bizda jami bor Loyihalash uchun N erkinlik darajasi A. Berilgan A. uchun h bo'yicha (N+N-2)/ 2 chiziqli shartlarni beradi. 3- teoremaga ko'ra, (4.4) dagi shartlar bajarilganligi sababli (4.1) da berilgan shartlar avtomatik ravishda bajariladi demak, (N- N+2)/ 2 erkinlik darajalari qolgan. Biz (4.6) ning yo‘qolib borayotgan momentlari sonini ko‘paytirish uchun yoki teng ravishda L ni maksimallashtirish 7duchun qolgan barcha erkinlik darajalaridan foydalanamiz: ya’ni et L = (N- N+2)/ 2 ni o‘rnatamiz. Shunday qilib, N=2L+2L-3 degan xulosaga kelamiz. Faraz qilaylik h ning kattaligi -L- L+2,L+L-2). h ning koeffitsientlarini aniqlash uchun bir vaqtning o'zida jami N ta chiziqli tenglamani beradigan (1.24) va (4.6) ni yechishga harakat qilamiz.

(4.11) dan foydalanib, (1.24) da L+L-1 tenglamalarini qayta yozishimiz mumkin, ularning barchasi juft indeksli koeffitsientlarning aniq shartlarini o'z ichiga oladi, masalan, m = (- L- Z+2)/ 2 uchun. (- L- L+4)/ 2. (L+L-2)/ 2,

bu A ning L+L-1 juft indeksli koeffitsientlarini yuqoridagi L+L-1 tenglamalari bilan h va h ning toq indeksli koeffitsientlari bilan yagona aniqlash mumkinligini bildiradi. Demak, biz birinchi navbatda toq indeksli koeffitsientlarni aniqlash niyatidamiz. Har qanday h va I € Z filtri uchun belgini belgilaymiz

(4.6) ni chap tomonini qayta yozish uchun (4.19) dan foydalanamiz.

dan l= 0,1…. , L-1. Demak, agar L≥2 bo'lsa, L+L-2 toq indeksli koeffitsientlarni L+L-2 bir vaqtning o'zida jami chiziqli tenglamalarni, ya'ni o'sha juft indeksli koeffitsientlarning aniq shartlarisiz L-2 tenglamalarini yechish orqali aniqlashimiz mumkin. (1.24) dan va Z tenglamalari (4.6) yuqoridagi qayta yozilgan shakllar yordamida. Keyinchalik, ikkita L< L va L > L holatlari uchun ushbu chiziqli tenglamalarni qanday echishni muhokama qilamiz.
Bu L< =L tufayli (4.8), (4,6) keladi.

bundan l=0,1,…. L-1 uchun. Bu tenglamamalarni va (1.24) dan foydalangan holda ifodalaymiz, matritsa formati Ah=b, yoki

Bu yerda A va A([L/2]-1)* ([L/2]-1) pastki uchburchak matritsasi va
a A([L/2]-1)* ([L/2]-1) mos ravishda yuqori uchburchak matritsasi.

Bu matritsa A22 L x L V andermonde matritsasi

matritsalar A12, A13, A31 va A32 to'g'ri o'lchamdagi nol matritsalar b1, b3 - uzunliklarning nol vektorlari (mos ravishda [L/ 2]-1 va [L/2]-1,

b2 uzunlikdagi vektor L va b2=[1/2 ..000] tomonidan berilgan.
A ning determinanti A11 A22 va A33 ning determinantlarining ko'paytmasi bo'lganligi sababli, bularning barchasi yagona bo'lmagan matritsalardir, A matritsa ham birlik emas. Shunday qilib, har doim yagona yechim mavjud h=A**-1b.
Biz beramiz uchta holatda h ning nolga teng bo'lmagan toq indeksli barcha koeffitsientlari uchun formulalar:

Ko'ramizki, A matritsa faqat I ga bog'liq bo'lgani uchun, ning toq indeksli koeffitsientlari ham faqat L ga bog'liq. Bundan tashqari, (4.14) va (4.15) ni (4.31) va (4.32) bilan taqqoslab, agar L<= L bo'lsa, unda degan xulosaga kelamiz.

Har qanday L uchun ning koeffitsientlari barcha ikkilik kasrlar ekanligini bilganimiz uchun (4.33) va (4.19) dan h ning koeffitsientlari ham ikkilik kasrlar degan xulosaga kelamiz. L > L holi: bir vaqtning o'zida chiziqli tenglamalarning tuzilishi bu ish uchun ko'proq ishtirok etadi. Biz bu tenglamalarni yechish uchun bilvosita yondashuvdan foydalanamiz. Aslida, (4.25) [l] ni rekursiv hisoblash usulini taqdim etadi.

Bu yerda [0]= 1/2 , endi yozamiz

L=0,1…. uchun va (1.24) dan Ah= b matritsa formati yordamida vektori berilgan

b1 va b3 - mos ravishda [L/ 2]-1 va [1/2]-1 uzunlikdagi nol vektorlar va, A va h L 1 uchun 2(L+Z)-3 ga teng. Xususan, indekslar -L- L+2 dan L+L-2 gacha. Agar L > L bo'lsa, u holda


4.3 Xususiyatlari
Biz bioortogonal Coiflet tizimlari bir nechta qiziqarli va kerakli xususiyatlarga ega ekanligini ko'rsatamiz: simmetriya, interpolyatsiya qiluvchi masshtablash funktsiyalari va ikki tomonlama ratsional filtr koeffitsientlari.
4.3.1 Simmetriya (4.11) dan boshlab. (4.14) va (4.15), h koordinata boshiga nisbatan butun nuqtali simmetrik, yaʼni.
h[n] = h[-n] (4:43)

agar va faqat L juft bo'lsa. Tabiiyki, bir nechtasini qurish mumkin bo'lgan savol tug'iladi h uzunligini oshirish orqali h ni ko'proq erkinlik darajasini olish uchun torting. Natijada uning (a) yarim nuqtali simmetrik yoki (6) butun nuqta simmetrikligi g'alati emasmi L?

Birinchi qismga javob (48) da keltirilgan. Agar € Z va L> 1 uchun

h[n]= h[2 +1- n] bo'lsa, (48) ga muvofiq.

4.1- jadval: Ba'zi bioortogonal Coiflet tizimlarida filtr banklarining filtrlash koeffitsientlari (ba'zi uzun filtrlar uchun biz koeffitsientlarning yarmini sanab o'tamiz, ikkinchisini esa simmetriya orqali chiqarish mumkin)

Nol bo’lishi mumkin emas shuning uchun men uni yarim nuqta simmetrik qilmadim, agar Z>L bo’lsa
Endi biz ikkinchi qismiga javob beramiz, agar bazi € Z uchun h[n]=h[2 - n] bolsa va L tartibi toq bo’lsa (4.5) va(4.7) dan foydalanib shunday xulosaga kelamiz.

Bu ni bildiradi.



Bu degan manoni anglatadi. Bu to’lqin kva masshtabli funksiyaning yo’qolib ketish momentlar darajasini L degan farazga zid keladi. Shuning uchun agar L toq bo’lsa , butun h nuqta simmetrik bula olmaydi .
Agar h[n]=h[-n] va h[n] (1.26) va (4.6) ni qanoatlantirsa, h[-n] ni ham (1.26) va (4.6) ni qanoatlantiradi. h[n] yagona echim bo’lgani uchun h ni qondirishi kerak
H[n]=h[-n]
Agar L bo’lsa.
4.3.2 Interpalyatsiyalash masshtablash funksiyalari
Sizdirmaslik funksiyasi kartinalda miferpolyatsiya bo’ladi.

Namuna olish va interpolyatsiya qilishda interpolyatsiya qiluvchi funksiyalar maqsadga muvofiqdir. Agar funksiya va interpolyatsiya funksiyasining yagona namunalaridan foydalansak f sifatida tuziladi

Har qanday I € Z uchun

biz o'sha namuna olish nuqtalarida aniq rekonstruksiyani olamiz. Misol uchun, Shannon to'lqinlar tizimining miqyosidagi nozik tioni berilgan

(4.55) qanoatlantiradi va shuning uchun interpolyatsiya qilinadi. [37] dagi 10- teoremaga asoslanib, buni tekshirish oson bioortogonal Coiffet tizimlarida sintez masshtablash funktsiyalari interpolyatsiya qilinadi.
Biroq, ikki turdagi interpolyatsiya o'rtasida ikkita asosiy farq mavjud masshtablash funktsiyalari:

• 
  Shennon masshtablash funksiyasining butun songa siljigan versiyalari ortogonaldi va tug'ilgan Coiflet masshtablash funksiyasi emas
  

• 
  Bioortogonal Coilet masshtablash funksiyasi ixcham quvvatlanadi, Shannon masshtablash funksiyasi esa qo‘llab- quvvatlanmaydi. Bu a ning juda orzu qilingan xususiyatidir biortogonal Coiffet masshtablash funktsiyasi, chunki hech qanday kesish kerak emas u amalda qo'llanilganda.