1. fazoda ekstremal funksiyani hisoblash Sobolevning davriy funksiyalar fazosida optimal interpolyatsion formulaning ekstremal funksiyasi normasini topish

Chiziqli funksionallar

Ta’rif. chiziqli fazoda aniqlangan sonli funksiya funksional deb ataladi. Agar barcha lar uchun
bo’lsa f additiv funksional deyiladi.
2-ta’rif.Agar barcha va barcha lar uchun

bo’lsa, f bir jinsli funksional deyiladi. Agar barcha va barcha sonlar uchun

bo’lsa, u holda kompleks chiziqli fazoda aniqlangan f funksional qo’shma bir jinsli deyiladi, bu yerda soni ga qo’shma kompleks son.
3-ta’rif. Additiv va bir jinsli funksional bir chiziqli funksional deyiladi. Additiv va qo’shma bir jinsli funksional qo’shma chiziqli (yoki antichiziqli) funksional deyiladi. Chiziqli funksionallarga misollar keltiramiz.
1.misol. n-o’lchamli vektor fazo va belgilangan element bo’lsin. U holda

moslik da chiziqli funksional bo’ladi.

tenglik bilan aniqlanuvchi akslantirish qo’shma chiziqli funksional deyiladi.

2-misol. Quyidagi funksionallar

fazodagi chiziqli va qo’shma chiziqli funsionallarga misol bo’ladi.
3-misol. berilgan element bo’lsin. Har bir funksiyaga

sonni mos qo’yamiz. Bu funksionalning chiziqliligi integrallash amalining asosiy xossalaridan kelib chiqadi.

funksional fazoda qo’shma chiziqli funksional bo’ladi.
4.misol. fazoda chiziqli funksionalga misol keltiramiz. k-belgilangan natural son bo’lsin . dagi har bir uchun
deymiz. Bu funksionalning chiziqliligi ko’rinib turibdi.
Chiziqli funksionalning geometrik ma’nosi.
Bizga chiziqli fazoda aniqlangan,nolmas chiziqli funksional berilgan bo’lsin. Bu funksional uchun shartni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to’plami uning yadrosi deyiladi va ko’rinishda belgilanadi. to’plam ning qism fazosi bo’ladi. Haqiqatan ham, agar bo’lsa, u holda ixtiyoriy a,b sonlar uchun

tenglik o’rinli.
qism fazoning o’lchami birga teng. Haqiqatan ham, ga qarashli bo’lmagan, ya’ni (aynan nolga teng emas). Umumiylikni chegaralamasdan hisoblashimiz mumkinki, (aks holda biz ni olgan bo’lar edik, chunki Ixtiyoriy element uchun desak, u holda ya’ni . qaralayotgan element va bo’lsin. u holda
tenglik o’rinli. Agar bo’lsa, ekanligi ko’rinib turibdi. Agar bo’lsa, u holda

ekanligi kelib chiqadi, ikkita elementlari qism fazo bo’yicha bitta qo’shni fazoda yotishi uchun shartning bajarilishi zarur va yetarli. Haqiqatan ham tenglikdan
tenglik kelib chiqadi. Bu yerdan ko’rinib turibdiki, bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarli.
qism fazo bo’yicha har qanday sinf o’zining ixtiyoriy vakili bilan bir qiymatli aniqlanadi. Bunday vakil sifatida ko’rinishdagi elementni olish mumkin. Bu yerdan ko’rinadiki, fazoning o’lchami birga teng ekan, ya’ni ning o’lchami birga teng.
Chiziqli funksionalning yadrosi o’zida nolga aylanadigan funksionalni o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida bir qiymatli aniqlaydi.
Haqiqatan ham funksionallari yadrolari teng bo’lsin, ya’ni . u holda uchun elmentni shunday tanlaymizki, bo’lsin. Ko’rsatamizki, ixtiyoriy uchun tengliklarga egamiz. Agar bo’lsa. bo’lar edi.
Ko’p o’lchami birga teng bo’lgan ixtiyoriy qism fazo berilgan bo’lsin. U holda shunday chiziqli funksional mavjudki, bo’ladi. Buning uchun L` qism fazoda yotmaydigan ixtiyoriy x₀ЄL elementni olamiz va ixtiyoriy elementni ko’rinishda yozamiz. Bunday yoyilma yagona tenglik yordamida aniqlanuvchi chiziqli funksionalning yadrosi bo’ladi.
chiziqli fazoda koo’lchamli birga teng bo’lgan qandaydir qism fazo berilgan bo’lsin. U holda l fazoning qism fazo bo’yicha har qanday qo’shni sinfi qism fazoga parallel bo’lgan gipertekislik deyiladi. (xususan, qism fazoning o’zi elementni saqlovchi, ya’ni “koordinata boshidan o’tuvchi “gipertekislik hisoblanadi). Boshqacha aytganda, qism fazoga parallel bo’lgan gipertekislik bu qism fazoni qandaydir vektorga parallel ko’chirishdan paydo bo’ladigan to’plam, ya’ni
ko’rinib turibdiki, agar bo’lsa, bo’ladi,agarda bo’lsa, u holda Agar chiziqli fazoda aniqlangan chiziqli funsional bo’lsa, to’plam qism fazoga parallel gipertekislik bo’ladi.
Ikkinchi tomondan , agar -koo’lchamli birga teng bo’lgan qism fazoga parallel va koordinata boshidan o’tmaydigan gipertekislik bo’lsa, u holda shunday yagona chiziqli funksional mavjudki,
bo’ladi. Haqiqatan ham, bo’lsin. U holda har qanday element yagona ravishda ko’rinishda tasvirlanadi. tenglik yordamida aniqlanadigan chiziqli funksional izlanayotgan funksional bo’ladi. Uning yagonaligi quyidagidan kelib chiqadi:
Agar da bo’lsa, u holda da bo’ladi.
Bundan
tenglik kelib chiqadi.