Sobolev fazolar va kuchsiz (umumlashgan) hosilalar.
Chiziqli fazolar va ularga misollar
REJA:
1. fazoda ekstremal funksiyani hisoblash
2. Sobolevning davriy funksiyalar fazosida optimal interpolyatsion formulaning ekstremal funksiyasi normasini topish
3. Interpolyatsion formula xatolik funksionalining normasi
4. Chiziqli fazolar va ularga misollar
1. Fazoda ekstremal funksiyani hisoblash fazo
1-ta’rif. Agar o’lchovli funksiya
shartni qanoatlantirsa, kvadrati bilan jamlanuvchi funksiya deb ataladi.
Barcha kvadrat bilan jamlanuvchi funksiyalar sinfi. bilan yoki qisqacha bilan belgilanadi.
1-misollar
1. funksiya. ga kiradi.
2. funksiya esa ga kiradi.
sinfga kiradigan funksiyalarning asosiy xossalari bilan tanishamiz.
Kvadrati bilan jamlanuvchi funksiya ya’ni 2 ta funksiyaning ko’paytmasi jamlanuvchi funksiyadir.
(1)
tengsizlikning har ikkala tomonidan integral olsak, xossa isbotlanadi.
Chegaralangan to’plamda kvadrati bilan jamlanuvchi funksiya jamlanuvchidir, ya’ni Bu xossaning to’g’riligi (1) ga qo’yilsa, kelib chiqadi.
. dan olingan ikkita funksiyaning yig’indisi yana ga tegishlidir.
Haqiqatdan ham,
(2)
ekanligidan 1-xossaga asoslanib bu xossa ham isbotlandi.
.Agar bo’lib, k ixtiyoriy chekli son bo’lsa ,
haqiqatdan ham,
(3)
.Agar funksiyalar . sinfga kirsa, u holda
va bundan
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Norma. O’rta ma’noda yaqinlashish va sust yaqinlashish
to’plamni segmentga teng deb olamiz. sinfdan olingan har bir funksiya uchun
Son funksiyaning normasi deyiladi va bu norma bilan belgilanadi. Har bir funksiya uchun kiritilgan son quyidagi xossalarga ega.
1 bo’lib, bo’lgandagina .
2.
3. (uchburchak tengsizligi)
1- va 2- munosabatlar normaning ta’rifidan bevosita ko’rinadi,3- tengsizlik Koshi tengsizligidan kelib chiqadi.
Normadan foydalanib, fazoda Evklid fazosi uchun o’rinli bo’lgan ko’pgina teoremalarni isbot etish mumkin. Tegishli xossalar quyida keltiriladi. fazoning ko’pgina xossalari n-o’lchamli Evklid fazosining xossalariga juda yaqin.
sinfni birinchi marta nemis matematigi D.Gilbert chuqur o’rgana boshlagan va bu fazoga chekli o’lchamli Evklid fazosi nuqtai nazaridan qaragan:shu sababli sinfni Gilbert fazosi ham deb ataydilar. Bu fazoda ikki funksiyalar orasidagi masofa tushunchasi kiritiladi. Masofa sifatida ular ayirmasining normasi qabul qilinadi, ya’ni
bu masofani odatda to’g’ri chiziq, tekislik va Evklid fazolaridagi masofa tushunchalarining umumlashgani deb ham qarash mumkin.
Albatta, ikki ekvivalent funksiyalar bu fazoda birgina nuqta sifatida qabul qilinadi.
Masofa yordamida Gilbert fazosi nuqtalari ketma-ketligi uchun yaqinlashish tushunchasini kiritish mumkin.
2.Ta’rif. Agar uchun da
bo’lsa, u holda nuqta ketma-ketlikning limiti deyiladi va
yoki (4) ko’rinishda yoziladi.
Bu ma’noda yaqinlashishni o’rta ma’noda yaqinlashish deyiladi. Normaning ta’rifiga muvofiq (4) munosabatni yana quyidagicha yozishimiz ham mumkin:
Agar segmentda funksiyalar ketma-ketligi funksiya tekis yaqinlashsa , u holda bu ketma-ketlik shu funksiyaga o’rta ma’noda ham yaqinlashadi.
Haqiqatan, funksiyalar ketma-ketligi funksiya tekis yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlik shu funksiyaga ham o’rta ma’noda yaqinlashadi. son hamda barcha yetarlicha katta n natural sonlar uchun
munosabat barcha uchun bajariladi. Bundan
tengsizlik o’rinli bo’lib, funksiyalar ketma-ketligining funksiyaga o’rta ma’noda yaqinlashishi kelib chiqadi.
Agar funksiyalar ketma-ketligi segmentdagi funksiyaga deyarli yaqinlashsa , u holda bu ketma-ketlik shu funksiyaga o’rta ma’noda yaqinlashmasligi mumkin. Masalan,
funksiya barcha uchun da , lekin bundan,
O’rta ma’noda yaqinlashishga oid bir necha teoremani isbot qilamiz.
1-Teorema.O’rta ma’noda yaqinlashuvchi ketma-ketlik birgina limitga ega.
Isbot. ketma-ketlik ikki turli limitlarga ega deb faraz qilaylik,ya’ni bo’lsin.
Normaning 3-xossasidan, ya’ni uchburchak tengsizligidan foydalanib, ushbu
tengsizlikni yozishimiz mumkin. Bu tengsizlikning o’ng tomoni da nolda intiladi. Demak, birinchi aksiomaga muvofiq yoki funksiyalar fazoda ilgari aytganimizdek, bir nuqtagina tasvirlaydi. Bu esa farazim
2-teorema. Agar bo’lsa u holda
Isbot. Normaning 3-xossasiga asosan va tengsizliklar o’rinli. Bulardan
tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa teoremani isbotlaydi.
Normaning bu xossasi uning uzluksizligi deyiladi.
Endi o’rta ma’noda yaqinlashish tushunchasi deyarli va o’lchov bo’yicha yaqinlashish tushunchalariga nisbatan qanday munosabatda ekanligini aniqlaymiz.
3-teorema. Agar funksiyalar ketma-ketligi o’rta ma’noda ga yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlik ga o’lchov bo’yicha ham yaqinlashadi.
Isbot. Har qanday musbat son uchun quyida munosabatlar o’rinli bo’ladi:
(5)
bu yerda
Ravshanki, (4) munisabatdan (6) munosabati kelib chiqadi.
Bu ta’rifning (3) ta’rifdan farqi shundaki,bu yerda ketma- ketlik limitining mavjudligi haqida biron narsa deya olmaymiz, ya’ni bu ta’rifda ketma-ketlik limitining mavjud bo’lishi shart emas.
Bu ta’rifdagi (6) shart haqiqiy sonlarning yaqinlashish haqidagi Koshi shartiga o’xshashdir.
Matematik analizdan ma’lunki sonlar ketma-ketligi uchunyaqinlashishning Koshi sharti bajarilsa u ketma-ketlik limitga ega bo’ladi.
Mana shunga o’xshaash jumla fazodan olingan ketma –ketliklar uchun ham yaqinlashishning Koshi shartini bajarilsa, u ketma-ketlik limitga ega bo’ladi.
4-teorema. Agar ketma-ketlik fazodagi fundamental ketma-ketlik bo’lsa, u holda fazoda shunday funksiya topiladiki, ketma-ketlik o’rta ma’noda yaqinlashadi.
Isbot. Ketma-ketlikning fundamentalligiga asosan, har bir k natural son uchun shunday natural sonlar mavjudki, ular uchun ushbu ,
Do'stlaringiz bilan baham: |
