1. Funksiyaning differensiali tushunchasi

1.Funksiyaning differensiali tushunchasi.
f(x) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan bo‘lib, x#(a;b) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. Ya’ni funksiyaning x nuqtadagi orttirmasini (2.1)
ko‘inishda yozish mumkin bolsin, bunda
Та ’rif. x nuqtada differensiallanuvchi f(x) fimksiya orttirmasi (2.1) ning bosh qismi f(x)Ax berilgan f(x) funksiyaning shu nuqtadagi differensiali deyiladi va dy yoki df(x) orqali belgilanadi, ya’ni .
Masalan, y=x² funksiya uchun dy=2xAx ga teng.
Agar f(x)=x bo‘Isa, u holda f’(x)=1 va df(x)=1*Ax, ya’ni dx=Ax boMadi. Shuni hisobga olgan holda argument orttirmasini, odatda, dx bilan belgilashadi.
Buni nazarga olsak, f(x) funksiya differensialining formulasi dy=f’(x)dx yoki dy=y’dx (2.2) bo‘ladi.
2.Differensiallashning sodda qoidalari.
1. O`zgarmas miqdorning hosilasi nolga teng, ya’ni agar y=c bo`lsa(c=const) y'=0 bo`ladi.
2. O‘zgarmas ko`paytuvchini hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin: y=cu(x) bo`lsa y'=cu'(x) bo`ladi.
3.Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar yig`indisining hosilasi shu funksiyalar hosilalarining yig`indisiga teng:

4. Ikkita differensiallanuvchi funksiyalar ko`paytmasining hosilasi birinchi funksiya hosilasining ikkinchi funksiya bilan ko`paytmasi hamda birinchi funksiyaning ikkinchi funksiya hosilasi bilan ko`paytmasining yig`indisiga teng:
y=u  bo`lsa  .
3.Murakkab funksiyaning differensiali.
Aytaylik, y=F(u) murakkab funksiya bo`lsin, ya’ni y=F(u),  yoki  u – o`zgaruvchi, oraliq argumenti deyiladi. y=F(u) va  differensiallanuvchi funksiyalar bo`lsin. Murakkab funksiyaning differensiallash qoidasini keltirib chiqaramiz.
Teorema: Murakkab F(u) funksiyaning erkli o`zgaruvchi x bo`yicha hosilasi bu funksiya oraliq argumenti bo`yicha hosilasini oraliq argumentining erkli o`zgaruvchi x bo`yicha hosilasining ko`paytmasiga teng, ya’ni


4.Funksiya differensiyali va taqribiy formulalar.
Funksiya differensiyali yordamida taqribiy formulalar yuzaga keladi. Aytaylik, f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsin. U holda da bo’ladi. Ayni paytda f(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, uning differensiali bo’ladi.
Ravshanki, bo’lib, da bo’ladi. Natijada ya’ni taqribiy formula hosil bo’ladi.

5.Hosila yordamida funksiyani monotonlikka tekshirish.
Agar ma'lum bir raqamli intervalda funktsiya ortib borayotgan argument bilan ortib boradigan bo'lsa, unda bu segmentda funktsiya bir xilda ortadi. Monotonik o'sish segmentidagi funktsiya grafigi pastdan yuqoriga yo'naltirilgan. Agar argumentning har bir kichik qiymati funktsiyani oldingisiga nisbatan kamaygan qiymatiga to'g'ri keladigan bo'lsa, unda bunday funktsiya monoton ravishda kamayadi va uning grafigi doimiy ravishda kamayib boradi. Monoton funktsiyalar ma'lum xususiyatlarga ega. Masalan, bir xildagi ortib boruvchi (kamayuvchi) funktsiyalarning yig'indisi ortib borayotgan (kamayuvchi) funktsiya. Borayotgan funktsiya doimiy ijobiy omilga ko'paytirilsa, bu funktsiya monotonik o'sishni saqlaydi.
6.