1 Funktsiyaning differentsiali

3. Lagranj teoremasi
3-teorema (Lagranj teoremasi).  funksiya  kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Agar funksiya   intervalda chekli hosilaga ega bo‘lsa, u holda shunday  nuqta topiladiki,
(5.4)
bo‘ladi.
Misol
parabolaning urinmasi  va  nuqtalarni tutashtiruvchi  vatarga parallel bo‘lgan nuqtasini topamiz.
funksiya  va  nuqtalarning abssissalari chetki nuqtalar bo‘lgan  kesmada uzluksiz, chekli hosilaga ega. Shu sababli, bu funksiya uchun Lagranj teoremasini qo‘llash mumkin. Teoremaga ko‘ra  parabolada hech bo‘lmaganda bitta  nuqta topiladiki, funksiya grafigiga bu nuqtada o‘tkazilgan urinma  vatarga parallel bo‘ladi.
Lagranj formulasidan topamiz:
yoki .
Bundan U holda  .
Demak,  nuqtada berilgan parabolaning urinmasi  va
nuqtalarni tutashtiruvchi  vatarga parallel bo‘ladi.
1-natija. Agar biror intervalda funksiyaning hosilasi nolga teng bo‘lsa, funksiya shu intervalda o‘zgarmas bo‘ladi.  
2-natija. Agar biror intervalda ikkita funksiya teng hosilalarga ega bo‘lsa,
funksiyalar bir-biridan o‘zgarmas qo‘shiluvchiga farq qiladi.
Misol
ekanini ko‘rsatamiz. Bunda
deb olsak,  da  bo‘ladi
U holda natijaga ko‘ra  , ya’ni   bo‘ladi.  ni
topish uchun  ga biror qiymatni, masalan,  ni qo‘yamiz:
yoki . Bundan


4. Koshi teoremasi
4-eorema (Koshi teoremasi).  va   funksiyalar  kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Agar funksiyalar    intervalda chekli hosilaga ega bo‘lib,  uchun   bo‘lsa, u holda shunday  nuqta topiladiki,
(5.8)
bo‘ladi^[1].